Multizentrische Taub-NUT-Geometrie und homologisch nichttriviale Zyklen

1. Die Existenz normierbarer harmonischer 2-Formen in einer multizentrischen Taub-NUT-Geometrie ist in der Tat überhaupt nicht offensichtlich. Die spezifische Form dieser Formen kann in Sen's "Dynamics of Multiple Kaluza-Klein Monopoles in M- and String Theory" gefunden werden , der sie (angepasst an die Notation in der Frage) als bezeichnet

   $$\begin{align} \omega_i & = \mathrm{d}\xi_i \tag{1a}\\ \xi_i & = V^{-1} V_i (\mathrm{d}x^{10} + \omega\cdot\mathrm{d}x) - \omega_i \cdot \mathrm{d}x,\tag{1b}\end{align}$$ Wo$V_i = \frac{m}{x-x_i}$. Sen wiederum zitiert Rubacks „The motion of Kaluza-Klein monopoles“ als Ursprung dieser Formeln, wo sich herausstellt, dass die äußere Ableitung in Gl. (1a) soll nur als Ableitung für die Koordinaten des Taub-NUT-Raums funktionieren, die dies nicht sind $x^{10}$, wenn ich Rubacks Notation richtig lese. Ruback zitiert seinerseits hilfreich "Page, DN: Private communication; Yuille, AL, PhD. Thesis, University of Combridge (1980) unveröffentlicht" als Ursprung dieser Formeln, also endet die Spur hier.

2. $\omega^0$im Zitat von Gubser "verdankt seine Existenz keiner bestimmten Eigenschaft", da es nicht mit der Basis von 2-Zyklen verbunden ist, die sich aus den Linien zwischen dem Zentrum der Taub-NUT-Monopole ergibt - Sie werden feststellen, dass die Anwendung der Poincaré-Dualität zu diesen$n-1$Zyklen gibt uns nur$n-1$kompakt unterstützte (und damit normalisierbare) Modi. Beachten Sie auch, dass diese Modi nicht die sind$\omega_i$aus Gl. (1a), da sie zwar normalisierbar sind, aber nicht kompakt unterstützt werden. Was Gubser also meint, ist das$\omega^0$ist ein zusätzlicher normalisierbarer Modus, der nicht durch die Poincaré-Dualität auftaucht, während der Rest der normalisierbaren Modi "kompakt unterstützte Versionen" haben, die wir durch das homologische Argument sehen können. Praktischerweise erklärt dies eine Diskrepanz zwischen der Taub-NUT-Version der Spurweitenerweiterung und dem Typ IIa$D_6$-brane Gauge-Verbesserung:

Wenn Sie sich den Typ-IIa-Ansatz ansehen, werden Sie feststellen, dass es die gesamte Spurweite gibt$\mathrm{U}(N) = \mathrm{SU}(N)\times\mathrm{U}(1)$, aber dass der Taub-NUT-Ansatz, der nur die Zyklen betrachtet, liefert$\mathrm{SU}(N)$. Der zusätzliche normierbare Modus, der nicht aus den Zyklen entsteht, ist genau die Erklärung für die$\mathrm{U}(1)$.

Ich biete hier einen kleinen Knochen an. Ich interessiere mich ein wenig für die Rolle der Taub-NUT-Raumzeiten, und daher wird mir das Beitragen helfen, dies zu verfolgen, um andere Beiträge zu lesen. Danke für das Gubser-Papier.

Aus einer eher physikalischen Perspektive werde ich einfach etwas mit magnetischen Monopolen herauswerfen, die mit Taub-NUT-Raumzeiten verwandt sind, die einen gravimagnetischen Monopolinhalt haben. Ich versuche gerne, fortgeschrittene Themen in den Kontext einfacher Ideen zu stellen. Der Dirac-Monopol ist ein halbunendliches Solonoid, wobei das Ende des Solonoids ungefähr ein magnetischer Monopol ist. Das bedeutet, dass das andere Ende so weit entfernt ist, dass das Dipolfeld in der Nähe dieser Öffnung nicht lokal sichtbar ist. Wir haben dann die Phase, die auf einer Wellenfunktion induziert wird, die das Solonoid passiert

$$\psi \rightarrow e^{i\frac{e}{\hbar}\oint\vec A\cdot d{\vec x}}\psi.$$ Dies ist der Aharanov-Bohm-Effekt. Wenn wir das Solonoid eliminieren wollen, müssen wir zusätzlich die Phase damit eliminieren $\frac{e}{\hbar}\oint\vec A\cdot d{\vec x} = 2\pi N$, für $N \in \mathbb Z$. Die Stokes-Regel bedeutet $$\frac{e}{\hbar}\oint\vec A\cdot d{\vec x} = \frac{e}{\hbar}\int\int\nabla\times \vec A\cdot d{\vec a} = 2\pi N.$$ Diese Integration des Magnetfeldes ist die magnetische Ladung $g = \int\int\vec B\cdot d\vec x$was die Bohr-Sommerfeld-Beziehung ergibt $eg = 2\pi N\hbar$präsentiert von Olive und Montenen.

Dies ist ein Ergebnis mit einer Holonomie oder Phase aufgrund einer Pegelverbindung oder eines Feldflusses durch eine Schleife oder einen davon eingeschlossenen Bereich. Die Verallgemeinerung auf Taub-NUT-Räume betrifft den Fluss durch Dp-Branes und eine Dualität mit gravitär-magnetischer Ladung oder NUT-Parameter. Die homologischen Zyklen definieren die AB-Phase, die eine diskrete Struktur haben. Ich denke, das spiegelt sich auf Seite 172 des Buches mit dem wieder$A_{k-1}$Singularitäten auf$\mathbb C^2/\mathbb Z_k$mit$(z_1, z_2)\rightarrow (e^{2\pi i/k}z_1, e^{2\pi i/k}z_2)$das sind$SU(2)$Und$\frac{1}{2}$supersymmetrisch.

Dies wird nur teilweise angesprochen, und ich bin hauptsächlich daran interessiert zu sehen, welche anderen Aktivitäten bei dieser interessanten Frage auftreten.