Muss die Ableitung der Wellenfunktion im Unendlichen Null sein?

Nicht unbedingt. Betrachten Sie diese Funktion als Beispiel:

$$\psi(x) = \frac{C\sin x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

Diese Funktion ist quadratintegrierbar und gegen Null asymptotisch$x\to\pm\infty$, aber seine Ableitung geht zu$2\cos x^2$in der gleichen Grenze.

In der Quantenmechanik gehen wir oft davon aus, dass reale Systeme durch Wellenfunktionen repräsentiert werden, die keine interessanten Eigenschaften mehr haben, wenn man sich weit genug vom Ursprung entfernt. In der Praxis bedeutet dies, dass die Funktion und alle ihre Derivate "kompakte Unterstützung" haben:

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\partial^n\psi}{\partial x^n} = 0\ \forall\ n\in\mathbb{Z}_{0,+}$$

Diese mathematische Aussage entspricht der physikalischen Annahme, dass Sie alles ignorieren können, was sich weit genug entfernt von Ihrem Experiment abspielt.

Es gibt jedoch Situationen, in denen es sinnvoll ist, diese Annahme fallen zu lassen. Wenn Sie beispielsweise ein Kristallgitter analysieren, erleichtert es die Berechnungen, anzunehmen, dass sich das Gitter unendlich weit in alle Richtungen erstreckt, und in diesem Fall würden Sie eine Wellenfunktion verwenden, die bis ins Unendliche periodisch ist. Natürlich haben solche Wellenfunktionen gewöhnlich Werte ungleich Null zusätzlich zu Ableitungen ungleich Null im Allgemeinen$|x|$. Ich kenne ohne weiteres kein Beispiel, das eine Wellenfunktion verwenden würde, die gegen Null asymptotisch ist, deren Ableitungen dies jedoch nicht tun, obwohl es mich überhaupt nicht überraschen würde, von einer zu erfahren.