Muss die Wellenfunktion stetig sein und andere Randbedingungen erfüllen?

Ignorieren Sie diese Frage also bitte nicht, weil Sie denken, es sei ein Duplikat oder so. Ich habe alle Antworten auf StackExchange und in anderen Artikeln gelesen, aber entweder ist die Mathematik zu verwirrend oder die Antworten ergeben keinen Sinn.

Ich habe also einen ersten Kurs in Quantenmechanik, und ich folge Griffiths hauptsächlich wegen Problemen und Theorie. Als ich also über den unendlichen quadratischen Brunnen las, kam ich zu dem Schluss, dass der Grund, warum die Energien in solchen Problemen (oder sagen wir jedem Problem mit der Energieeigenfunktionsgleichung / TISE) quantisiert werden, in der Grenzkontinuität und Normalisierbarkeit liegt. Da die Energieeigenfunktionen stetig sein müssen, nehmen wir nur Sinuswellen, die an der Grenzfläche des Brunnens bei 0 beginnen und enden, und deshalb sind nur bestimmte Energien zulässig.

Aber in einem der Probleme gibt er als anfängliche Wellenfunktion eine unvernünftig diskontinuierliche Funktion an, die an der Grenze nicht einmal gegen Null geht, und erwähnt dies in einer Fußnote, und ich zitiere direkt aus Problem 2.8, DJ Griffiths, Introduction to QM , 2. Auflage. -

Ein Massenteilchen M in einem unendlichen Quadrat beginnt der Brunnen in der linken Hälfte des Brunnens und ist bei T = 0 mit gleicher Wahrscheinlichkeit an jedem Punkt in dieser Region zu finden.

Es gibt keine Einschränkung hinsichtlich der Form der Startwellenfunktion, solange sie normierbar ist. Insbesondere, ψ ( X , 0 ) muss tatsächlich keine stetige Ableitung haben, ψ ( X , 0 ) muss nicht einmal eine stetige Funktion sein.

Nun, wenn dies etwa wahr ist T = 0 , sollte das nicht für alle Zeiten wahr sein? Was ist daran so besonders T = 0 ? Aber wenn die Wellenfunktion nicht kontinuierlich sein muss, dann macht unsere gesamte Analyse der Energieeigenzustände des unendlichen Brunnens mit quantisierten Energien keinen Sinn. Was sind also die Bedingungen für eine physikalische Wellenfunktion und warum existieren sie?

physical.stackexchange.com/q/38181 Dies könnte relevant sein
Ja @QMechaniker. Ich habe die meisten Ihrer Antworten gelesen, aber die Frage trotzdem gepostet, weil ich die Terminologie nicht genau verstehe L 2 Und C N und vieles mehr in den Antworten. Ich wäre also sehr dankbar, wenn man die Antwort auf elementarer Ebene geben könnte (ich weiß nicht viel über Quantenmechanik. Dies ist das erste Mal, dass ich sie studiere).

Antworten (1)

Hier geht es um mehrere Probleme:

  • Die Wellenfunktionen sollen stetig sein und die Randbedingungen erfüllen. Dies lässt sich physikalisch begründen, ist aber auch aus der Schrödinger-Gleichung ersichtlich, die impliziert, dass eine Wellenfunktion eine Zeitableitung und die erste und die zweite räumliche Ableitung hat.
  • Bei der Lösung physikalischer Probleme machen wir oft Näherungen oder gehen von Grenzfällen aus, die die mathematische Lösung des Problems erleichtern. Dies ist übrigens der Fall des unendlichen quadratischen Brunnens - die Lösung für die Energieniveaus eines endlichen Brunnens ist viel schwieriger. Square Well selbst ist eine Annäherung an realistischere, glattere Formen. Ein weiterer häufig verwendeter Fall ist eine Barriere oder ein Brunnen, der durch eine Delta-Funktion modelliert wird - dies führt zur Diskontinuität der zweiten Ableitung der Wellenfunktion.
  • Der erste Teil Ihrer Frage hat mit den Eigenfunktionen im unendlichen Quadrat gut zu tun, der zweite mit einer zeitabhängigen Entwicklung einer Wellenfunktion. Letztere ist keine Eigenfunktion, sondern kann in ihnen entwickelt werden, was der springende Punkt des Problems ist, und kann durchgeführt werden. Das Problem ist schlecht gestellt, und Sie hatten Recht, es in Frage zu stellen, aber schließlich ist es nur ein Übungsproblem, keine echte wissenschaftliche Forschung.
Aber Griffiths erwähnt das ausdrücklich ψ ( X , 0 ) kann buchstäblich alles sein, sogar diskontinuierlich. Wie passt das dann zu dem, was Sie sagen? Sie sagten auch, dass die Wellenfunktion eines Delta-Potentials eine diskontinuierliche zweite Ableitung hat. Wie sind diese Dinge möglich, wenn sie in der Quantenmechanik nicht erlaubt sind?
Wie ich bereits erwähnt habe, werden diese Annäherungen genannt - sie sind im wirklichen Leben nicht möglich, aber als theoretische Werkzeuge nützlich. Die klassische Mechanik ist übrigens voll davon: ein punktförmiges Teilchen, das sich im Vakuum mit konstanter Geschwindigkeit bewegt - nichts in diesem Satz ist möglich.
Wann weiß ich also, ob diese Annäherungen gültig sind oder nicht? Woher weiß ich, dass ich kontinuierliche Wellenfunktionen für unendliche Quadrate gut berücksichtigen sollte oder nicht?
Ich hätte auch noch eine Frage. Nehmen wir an, ich breche diese Wellenfunktion in eine Überlagerung von Energieeigenfunktionen des unendlichen quadratischen Brunnens auf. Ich bekomme die Entwicklung einer solchen Wellenfunktion als
ψ ( X , T ) = ∑ N = 1 , 3 , 5... ∞ 2 N π Sünde ⁡ ( N π X A ) e − ich ω N T + ∑ N = 2 , 6 , 10... ∞ 4 N π Sünde ⁡ ( N π X A ) e − ich ω N T
Kann ich jetzt nicht einfach die doppelte Ableitung einer unstetigen Funktion finden, indem ich eine Ableitung der unendlichen Summe nehme?
Die Annäherungen sind gültig, solange ihre Ergebnisse nahe an dem liegen, was als wahr erwartet wird. In Ihrem zeitabhängigen Problem ist dies der Fall, wenn Sie nicht zu nahe an den Rand des Brunnens schauen, wo das Problem mit den Randbedingungen besteht. Auch hier liefert die Erweiterung nicht das richtige Ergebnis. Griffiths ist wirklich bekannt für seine Fehler und schlecht gestellten Probleme. Ich bevorzuge Schiff, aber es ist ein altes. Landau ist noch besser - aber nichts für Anfänger.
Muss die Wellenfunktion stetig sein und andere Randbedingungen erfüllen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v