Newton-Euler-Starrkörper

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Newton-Euler-Starrkörper

Dwayne

Hallo, ich bin damit beschäftigt, Newton-Euler-Gleichungen zu verwenden, um die Dynamik einer Quad-Drohne zu erhalten. Wenn ich jedoch online nach Papieren schaue, sehe ich meistens 2 verschiedene Arten von Gleichungen.

\begin{matrix} (1) & [\begin{matrix} M ICH & 0 \\ 0 & J \end{matrix}] [\begin{matrix} {\dot{v}}_{G} \\ {\dot{ω}}_{G} \end{matrix}] + [\begin{matrix} M ω_{G} \times v_{G} \\ ω_{G} \times J ω_{G} \end{matrix}] = [\begin{matrix} F \\ τ_{G} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} mI & 0 \\ 0 & J \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{v}_G \\ \dot{\omega}_G \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} m\omega_G\times v_G \\ \omega_G\times J\omega_G \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f \\ \tau_G \end{bmatrix} \tag1 \end{equation}$

\begin{matrix} (2) & [\begin{matrix} M ICH & 0 \\ 0 & J \end{matrix}] [\begin{matrix} {\dot{v}}_{G} \\ {\dot{ω}}_{G} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ ω_{G} \times J ω_{G} \end{matrix}] = [\begin{matrix} F \\ τ_{G} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{bmatrix} mI & 0 \\ 0 & J \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{v}_G \\ \dot{\omega}_G \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \omega_G\times J\omega_G \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f \\ \tau_G \end{bmatrix} \tag2 \end{equation}$

Sogar Gleichung 2 ist auf Wikipedia zu finden, aber die meisten Artikel verwenden Gleichung 1 und meine Frage ist, was ist der Unterschied und wann werden beide verwendet?

Sammy Rennmaus

Sagen Ihnen die Online-Papiere / Wikipedia nicht, wie Sie diese Gleichungen verwenden?

rauben

Es wäre hilfreich, wenn Sie einige der Artikel, die Sie gelesen haben, verlinken könnten.

John Alexiou

Es kommt darauf an, ob

{\dot{v}}_{G}

$\dot{v}_G$ ist materielle oder räumliche Beschleunigung.

John Alexiou

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Antworten (1)

Newton-Euler-Starrkörper

Sagen Ihnen die Online-Papiere / Wikipedia nicht, wie Sie diese Gleichungen verwenden?
Es wäre hilfreich, wenn Sie einige der Artikel, die Sie gelesen haben, verlinken könnten.
Es kommt darauf an, ob $\dot{v}_G$ ist materielle oder räumliche Beschleunigung.

John Alexiou · Answer 1

Die richtige Gleichung am Schwerpunkt ist

\begin{aligned} {\hat{F}}_{G} & = {\hat{J}}_{G} \dot{{\hat{v}}_{G}} + {\hat{v}}_{G} \times {\hat{J}}_{G} {\hat{v}}_{G} \\ [\begin{matrix} F \\ τ_{G} \end{matrix}] & = [\begin{matrix} M \\ J \end{matrix}] [\begin{matrix} {\dot{v}}_{G} \\ \dot{ω} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ω \times & 0 \\ v_{G} \times & ω \times \end{matrix}] [\begin{matrix} M \\ J \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{G} \\ ω \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} M \\ J \end{matrix}] [\begin{matrix} {\dot{v}}_{G} \\ \dot{ω} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ω \times M v_{G} \\ ω \times J ω \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat{f}_G &= \hat{\rm J}_G\, \dot{\hat{v}_G} + \hat{v}_G \times \hat{\rm J}_G\,\hat{v}_G \\ \begin{bmatrix}f\\ \tau_{G} \end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}m\\ & J \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{v}_{G}\\ \dot{\omega} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\omega\times & 0\\ v_{G}\times & \omega\times \end{bmatrix}\begin{bmatrix}m\\ & J \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{G}\\ \omega \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix}m\\ & J \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{v}_{G}\\ \dot{\omega} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\omega\times m\,v_{G}\\ \omega\times J\omega \end{bmatrix} \end{aligned}$

Wo $v_G$ ist die Geschwindigkeit im Massenmittelpunkt, und $\dot{v}_G$ ist die räumliche Beschleunigung im Massenmittelpunkt.

Die Materialbeschleunigung des Massenmittelpunkts ist

A_{G} = {\dot{v}}_{G} + ω \times v_{G}

$a_G = \dot{v}_G + \omega \times v_G$ sowie die Identität

a = \dot{ω}

$\alpha = \dot{\omega}$

Nachweisen

Die Standardform der Gleichungen ist

\begin{aligned} F & = M A_{G} \\ τ_{G} & = J a + ω \times J ω \end{aligned}

$\begin{aligned} f & = m a_G \\ \tau_G & = J \alpha + \omega \times J \omega \end{aligned}$

Und

F = M ({\dot{v}}_{G} + ω \times v_{G}) = M {\dot{v}}_{G} + ω \times (M v_{G})

$f = m (\dot{v}_G + \omega \times v_G) = m \dot{v}_G + \omega \times (m v_G)$

An einem anderen Ort A als dem Massenmittelpunkt, wo $c$ ist der Vektor von diesem Ort zum CM, das die NE-Bewegungsgleichungen sind

\begin{aligned} {\hat{F}}_{A} & = {\hat{J}}_{A} \dot{{\hat{v}}_{A}} + {\hat{v}}_{A} \times {\hat{J}}_{A} {\hat{v}}_{A} \\ [\begin{matrix} F \\ τ_{A} \end{matrix}] & = [\begin{matrix} M & - M [C \times] \\ M [C \times] & J - M [C \times] [C \times] \end{matrix}] [\begin{matrix} {\dot{v}}_{A} \\ \dot{ω} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ω \times & 0 \\ v_{A} \times & ω \times \end{matrix}] [\begin{matrix} M & - M [C \times] \\ M [C \times] & J - M [C \times] [C \times] \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{A} \\ ω \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat{f}_A &= \hat{\rm J}_A\, \dot{\hat{v}_A} + \hat{v}_A \times \hat{\rm J}_A\,\hat{v}_A \\ \begin{bmatrix}f\\ \tau_{A} \end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}m & -m [c \times] \\ m [c \times] & J-m [c\times][c\times] \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{v}_{A}\\ \dot{\omega} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\omega\times & 0\\ v_{A}\times & \omega\times \end{bmatrix}\begin{bmatrix}m & -m [c \times] \\ m [c \times] & J-m [c\times][c\times] \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{A}\\ \omega \end{bmatrix} \end{aligned}$

Ich überlasse es dem Leser, dies zu beweisen, basierend auf den Standardtransformationsgleichungen für Drehmoment, Geschwindigkeit und räumliche Beschleunigung.

Bitte lesen Sie diese Antwort für die geometrische Grundlage der obigen Gleichungen

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Dwayne

Sammy Rennmaus

rauben

John Alexiou

John Alexiou

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John Alexiou

John Alexiou

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