Obergrenze der Produktspur einer einheitlichen und willkürlichen Matrix

Lassen Sie das Feld komplex sein, U Bohne N × N einheitliche Matrix, M beliebig sein N × N Matrix und | M | bezeichnen die Matrix, die gebildet wird, indem der Absolutwert jedes Eintrags von genommen wird M .

Bearbeitete Frage: Was ist die allgemeine Obergrenze? | T R A C e ( U M ) | ?

Wie zuvor gefragt, ist die folgende Aussage falsch -

Es existiert eine Permutationsmatrix Π , so dass | T R A C e ( U M ) | ≤ T R A C e ( Π | M | )

Gegenbeispiel: U = [ [ 1 / 2 , ( 1 + ich 2 ) / 2 ] , [ ( 1 − ich 2 ) / 2 , − 1 / 2 ] ] , M = [ [ 1.1 , 0 ] , [ 1 , 0 ] ]

Offensichtliche Gegenbeispiele gibt es, wenn Π ist immer ICH . Die Ungleichung scheint für andere spezifische Werte von 2x2-Einheiten zu gelten. Das Prüfen für allgemeine 2x2-Einheiten scheint schnell chaotisch zu werden.

Antworten (2)

Lassen M = ∑ ich = 1 N A ich v ich w ich T sei eine Singulärwertzerlegung von M , dh, A ich ≥ 0 , { v 1 , … , v N } Und { w 1 , … , w N } sind orthonormale Basen von C N .

Wenn U ist dann eine unitäre Matrix { U v 1 , … , U v N } ist immer noch eine orthornormale Basis von C N .

Daher, | T R ( U M ) | = | T R ( ∑ ich = 1 N A ich U v ich w ich T ) | ≤ ∑ ich = 1 N A ich | T R ( U v ich w ich T ) | ≤ ∑ ich = 1 N A ich | U v ich | | w ich | ≤ ∑ ich = 1 N A ich .

Lassen U = ∑ ich = 1 N w ich ¯   v ich ¯ T . Beachte das U ist einheitlich.

Jetzt, | T R ( U M ) | = | T R ( ∑ ich = 1 N A ich U v ich w ich T ) | = | T R ( ∑ ich = 1 N A ich w ich ¯ w ich T ) | = ∑ ich = 1 N A ich .

Somit ist eine scharfe Obergrenze für | T R ( U M ) | die Summe der Singularwerte von ist M .

Was sind die Spektralwerte von M ? Der Absolutwert jedes Eigenwerts von M ?
@ user193319 Ich meinte die Einzelwertzerlegung anstelle der Spektralzerlegung. Der A ich S sind die singulären Werte von M , dh die Quadratwurzeln der Eigenwerte von M M ¯ T .

Gegenbeispiel (zur vorherigen Frage): U = [ [ 1 / 2 , ( 1 + ich 2 ) / 2 ] , [ ( 1 − ich 2 ) / 2 , − 1 / 2 ] ] , M = [ [ 1.1 , 0 ] , [ 1 , 0 ] ]

Obergrenze der Produktspur einer einheitlichen und willkürlichen Matrix
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