Partielle Vollständigkeitsrelation für Dirac-Spinoren

Bei der Untersuchung von Spurentechniken zur Gewinnung von Matrixelementen stieß ich auf ein Problem, als wir die Streuung von Neutrinos an Protonen behandelten. Da diese Neutrinos angeblich in einem schwachen Zerfall entstehen, sind sie alle linkshändig. Das bedeutet, dass wir bei der Summe aller Spins nicht über die beiden Spins für das Neutrino summieren.

Normalerweise verwenden wir die Relation ∑ S u S u ¯ S = γ μ P μ + M wobei s für den Spin-Zustand steht (oben oder unten). Dies kann entweder durch explizites Lösen der Dirac-Gleichung unter Verwendung der Pauli-Darstellung der Matrix oder durch Verwendung der hier veranschaulichten darstellungsfreien Methode bewiesen werden: https://arxiv.org/pdf/physics/0703214.pdf .

Jetzt versuche ich zu sehen, ob es eine darstellungsfreie Notation für gibt u u P u ¯ u P . Ich kann es mit einer darstellungsabhängigen Methode ableiten , aber ich hätte gerne ein darstellungsfreies Ergebnis, um es mit den Trace-Techniken verwenden zu können.

Ich habe weitere Informationen gefunden: Wenn wir nehmen S z + 1 2 ( γ μ P μ + M dann ist es gleich u u P u ¯ u P weil es läuft u S , v S für S = ( u P , D Ö w N ) ist dasselbe. Das Problem, das bleibt, ist also auszudrücken S z als Funktion der Gammamatrizen, falls das möglich ist.

was ist S z ? Ist es der Rotationsgenerator? (In diesem Fall, S z = ich 4 [ γ 1 , γ 2 ] , wie gewöhnlich)
In der Tat, S z ist der Erzeuger von Rotationen, und ich habe gerade herausgefunden, dass es eine Beziehung zu den Gamma-Matrizen hat. Vielleicht hättest du ein bisschen nachdenken sollen, bevor du fragst!
kein Problem. Denken Sie daran, dass Sie ermutigt werden, die Antwort unten zu posten, wenn Sie die Antwort selbst gefunden haben, damit sie für zukünftige Leser nützlich sein kann. Danke für Ihre Zusammenarbeit :-)

Antworten (1)

Hier ist die Antwort. Wir werden aus dem verlinkten Papier verwenden u ¯ S u S ' = 2 M δ S S ' Und u ¯ S v S ' = 0 . Wir wissen auch, dass der Betreiber γ μ P μ + M "wählt" Teilchenspinoren in dem Sinne aus, dass ( γ μ P μ + M ) u S = 2 M u S Und ( γ μ P μ + M ) v S = 0 .

Das wissen wir auch anhand der Beziehungen aus dem Papier u u P u ¯ u P ergibt 0 auf jedem Spinor außer u u P , für die es nachgibt 2 M .

Wir stellen dann fest, dass wir nur zuerst den Partikel-Spinor auswählen müssen und dann den Spin-up-Teil davon auswählen. Dies geschieht einfach durch Verketten der beiden Operatoren, was ergibt: u u P u ¯ u P = Σ z + 1 2 ( γ μ P μ + M ) . Hier Σ z ist die erweiterte Pauli-Matrix, definiert durch Σ z u u P = u u P , Σ z u D Ö w N = − u D Ö w N und umgekehrt für Antiteilchen-Spinoren. Es bleibt nur noch, dies nur in Form der Gamma-Matrizen auszudrücken. Dies geschieht einfach durch Bemerken Σ z = ich γ 1 γ 2 .

Daher lautet die Antwort: u u P u ¯ u P = ich γ 1 γ 2 + 1 2 ( γ μ P μ + M ) . Und es lässt sich erwartungsgemäß verifizieren u u P u ¯ u P + u D Ö w N u ¯ D Ö w N = ( γ μ P μ + M )

Warum Σ z + 1 2 ( P + M ) und nicht ( P + M ) Σ z + 1 2 ? Mit anderen Worten, woher wissen wir, was die richtige Reihenfolge der Projektoren ist?
Wenn wir die Wirkung der beiden Ordnungen vergleichen, scheint es, dass die beiden Operatoren gleich sind. Ich kann es jedoch anscheinend nicht durch Kommutierungsbeziehung zeigen ... Hier ist definitiv etwas faul
ja das dachte ich mir... und überhaupt Σ z Und P pendeln nicht. Vielleicht ist der richtige Ausdruck mit P ⋅ Σ anstatt Σ z ?
Tatsächlich würden wir dann die Vollständigkeitsbeziehungen für Helicitäten anstelle von Spins verwenden. Es wäre dann P ⋅ Σ P anstatt Σ z . Aber pendelt die Helizität mit P ?In jedem Fall sollten wir in der Lage sein, beide zu verwenden, also sollte eine Formel in beiden Fällen möglich sein, richtig ?
Aus dem Kopf heraus weiß ich nicht, ob die Helizitätsmatrix mit pendelt P , aber es scheint mir, dass es sollte. Schließlich pendelt es mit dem Dirac-Hamilton-Operator (weil die Helizität erhalten bleibt) und es pendelt auch mit γ 0 , und daher vermute ich, dass es mit pendelt P .
Ich glaube, ich habe es herausgefunden: Sie haben absolut Recht, wir sollten Helizität verwenden (es pendelt mit P , ich habe es verifiziert). Das funktioniert also. Der Grund, warum wir den Spin nicht verwenden können, liegt darin, dass für einen Impuls ungleich Null die Lösungen der Dirac-Gleichung für freie Teilchen aufgrund der Kommutatoren ungleich Null auch keine Spin-Eigenzustände sein können. Daher die Verwendung von Σ z ist falsch ! In dem Fall, den ich in Betracht gezogen habe, war der Impuls des Neutrinos jedoch entlang z, daher vereinfacht sich die Formel zum Spin-Fall. Ich werde die Lösung korrigieren, danke!
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