Partikelgeschwindigkeiten direkt nach einem unelastischen Aufprall auf eine glatte reibungsfreie Oberfläche

Question

Partikelgeschwindigkeiten direkt nach einem unelastischen Aufprall auf eine glatte reibungsfreie Oberfläche

Meclassic

Betrachten wir die folgende Situation, in der eine Hantel auf eine glatte und reibungsfreie Oberfläche fällt.

Die Hantel besteht aus 2 Teilchen, jedes aus Masse $m$ , verbunden durch einen masselosen langen Stab $l$ . Vor dem Aufprall auf die Oberfläche $\theta=45^{\circ}$ Und $\dot\theta=0\,rad.s^{-1}$ . Da die Oberfläche glatt ist, wird die Kollision als unelastisch angesehen und es gibt keinen Rückprall.

Jetzt sollte der einzige Impuls, der beim Aufprall auf Partikel 1 ausgeübt wird, vertikal sein, da die Oberfläche reibungsfrei ist. Da die Kollision unelastisch ist, sollte Teilchen 1 außerdem horizontal von seiner Ausgangsposition weggleiten. Da kein horizontaler Impuls vorhanden ist, ist der horizontale lineare Impuls des Massenschwerpunkts der Hantel gleich Null.

Ich versuchte mir vorzustellen, was direkt nach der Kollision passieren würde (in hellgrau gezeichnet) und da es keinen horizontalen Impuls gibt, würden sich die Teilchen 1 und 2 mit der gleichen Geschwindigkeit horizontal von ihren Ausgangspositionen wegbewegen. Der Massenschwerpunkt wird offensichtlich weiterhin streng vertikal nach unten fallen. Nehmen wir also Teilchen 1 als Bezugspunkt $P$ , Partikel 2 Geschwindigkeit direkt nach dem Aufprall wäre

v_{2} = l \dot{θ} \vec{e_{θ}} = l \dot{θ} (- \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{ich} + \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{J})

$\begin{equation} \mathbf{v}_2 = l\dot\theta\vec{e_\theta} = l\dot\theta \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j} \right) \end{equation}$

Wo $\vec{e_\theta}$ ist senkrecht zum radialen Einheitsvektor; $\vec{i}$ Und $\vec{j}$ sind Einheitsvektoren der $(x,y)$ rahmen.

Da sich nun die beiden Teilchen horizontal von ihren jeweiligen Anfangspositionen wegbewegen und der Schwerpunkt nicht, nehme ich an, dass ihre horizontalen Geschwindigkeiten gleich und entgegengesetzt sein müssen. Aber da das Teilchen 1 bereits nach dem Aufprall eine Geschwindigkeit hat, bin ich mir nicht sicher, ob die obige Gleichung gelten kann. Da es sich um einen unelastischen Kontakt handelt, sollte auch ein gewisser Geschwindigkeitsverlust auftreten. All diese Faktoren verwirren mich.

Wie soll ich die Geschwindigkeiten dieser beiden Teilchen berechnen?

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Partikelgeschwindigkeiten direkt nach einem unelastischen Aufprall auf eine glatte reibungsfreie Oberfläche

Meclassic · Answer 1

Ich habe endlich einen Weg gefunden, diese Geschwindigkeiten mit Kalkül zu erhalten. Ich bin sicher, dass man immer versuchen kann, die Teilchengeschwindigkeiten durch bloße Logik abzuleiten; Tatsächlich "dachte" ich mehr als einmal über die Antwort nach, die ich schließlich fand. Aber ich fühlte mich ohne eine Analysis-Entwicklung nicht wohl.

Bestimmung der Geschwindigkeit von Teilchen 1

Wir können zunächst die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des Systems berechnen, indem wir Teilchen 1 als Referenz nehmen.

{\vec{v}}_{C} = {\vec{v}}_{1} + \dot{θ} \vec{k} \times \frac{l}{2} {\vec{e}}_{R}

$\begin{equation} \vec{v}_c = \vec{v}_1 + \dot\theta\vec{k} \times \frac{l}{2}\vec{e}_r \end{equation}$

Wo $\vec{v}_c$ ist die Massenschwerpunktgeschwindigkeit des Systems; $\vec{v}_1$ ist die Gesamtgeschwindigkeit von Teilchen 1; $\dot\theta\vec{k}$ ist die Winkelgeschwindigkeit um eine Achse senkrecht zu der $(x,y)$ Ebene; $\times$ ist der Kreuzproduktoperator ;und $\vec{e}_r$ ist der radiale Vektor entlang des masselosen Stabs.

Wir wissen, dass Teilchen 1 wegen der Annahme eines inelastischen Stoßes keine vertikale Geschwindigkeit haben kann. Die obige Gleichung wird also:

{\vec{v}}_{C} = {\vec{v}}_{1 X} + \dot{θ} \vec{k} \times \frac{l}{2} {\vec{e}}_{R}

$\begin{equation} \vec{v}_c = \vec{v}_{1x} + \dot\theta\vec{k} \times \frac{l}{2}\vec{e}_r \end{equation}$

Wo $\vec{v}_{1x}$ ist die horizontale Geschwindigkeit von Teilchen 1. Durch Entwickeln der obigen Gleichung erhalten wir am Ende:

{\vec{v}}_{C} = {\vec{v}}_{1 X} + \frac{l \dot{θ} \sqrt{2}}{4} (- \vec{ich} + \vec{J})

$\begin{equation} \vec{v}_c = \vec{v}_{1x} + \frac{l\dot\theta\sqrt{2}}{4} \left( -\vec{i} + \vec{j} \right) \end{equation}$

Wenn sich nun der Schwerpunkt des Systems nicht horizontal bewegt, bedeutet dies, dass die horizontale Komponente seiner Geschwindigkeit Null sein muss . Folglich gilt in obiger Gleichung:

{\vec{v}}_{1 X} - \frac{l \dot{θ} \sqrt{2}}{4} \vec{ich} = 0

$\begin{equation} \vec{v}_{1x} - \frac{l\dot\theta\sqrt{2}}{4}\vec{i} = 0 \end{equation}$

und da die vertikale Geschwindigkeit von Teilchen 1 einfach Null ist, dann:

{\vec{v}}_{1} = \frac{l \dot{θ} \sqrt{2}}{4} \vec{ich}

$\begin{equation} \vec{v}_{1} = \frac{l\dot\theta\sqrt{2}}{4}\vec{i} \end{equation}$

Bestimmung der Geschwindigkeit von Teilchen 2

Die Geschwindigkeit von Teilchen 2 kann nun einfach berechnet werden als:

{\vec{v}}_{2} = {\vec{v}}_{1} + \dot{θ} \vec{k} \times l {\vec{e}}_{R}

$\begin{equation} \vec{v}_2 = \vec{v}_1 + \dot\theta\vec{k} \times l\vec{e}_r \end{equation}$

und durch Entwicklung der obigen Gleichung:

{\vec{v}}_{2} = \frac{l \dot{θ} \sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2} \vec{ich} + \vec{J})

$\begin{equation} \vec{v}_2 = \frac{l\dot\theta\sqrt{2}}{2} \left( -\frac{1}{2}\vec{i} + \vec{j} \right) \end{equation}$

Partikelgeschwindigkeiten direkt nach einem unelastischen Aufprall auf eine glatte reibungsfreie Oberfläche

Meclassic

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