Pendeln verschiedene Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren immer?

Wenn beide Operatoren mit Fermionen verknüpft sind, werden sie stattdessen antikommutieren, aber ansonsten ja.

Zuerst werde ich eine ähnliche Frage wie Ihre beantworten. Die Essenz der Quantenfeldtheorie besteht darin, dass wir typischerweise kleine Störungen um freie Theorien herum betrachten. Das heißt, gegeben eine Reihe von$N_b$Bosonische Felder$\phi_i$Und$N_f$Fermionische Felder$\psi_i$(Betrachten wir nur Spin$0$und drehen$1/2$), dann ist die betrachtete typische Aktion gegeben durch

Wo$\epsilon$ist ein kleiner Parameter, um den herum wir stören. Die Erweiterung der Felder in Bezug auf Fouriermoden ist nur bei wahrhaft gültig$\epsilon=0$, an diesem Punkt gibt es keine Wechselwirkung zwischen den Feldern, und die volle Aktion ist einfach die Summe mehrerer freier Aktionen verschiedener Teilchen. Somit wird jedes unabhängig quantisiert, da der Zeitentwicklungsoperator keine Möglichkeit hat, die Felder zu mischen.

Wann also$\epsilon=0$, gibt es keine Möglichkeit, dass die Fourier-Modi (Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren) verschiedener Felder (anti-)kommutieren könnten, um ein Ergebnis ungleich Null zu liefern. (Ich sollte vorsichtig sein, dies zu sagen. Lassen Sie uns eine Klammer definieren$[.,.\}$so dass es einen Kommutator für zwei bosonische Operatoren, einen Antikommutator für zwei fermionische Operatoren und einen Kommutator für einen bosonischen und einen fermionischen Operator ergibt. Dann ist diese Aussage das, wenn zwei Fourier-Modi gegeben sind$a$Und$b$aus verschiedenen Bereichen, sollten wir haben$[a,b\}=0$.) Dann sind Interaktionen dadurch gegeben, dass die Interaktionsaktion$S_{\text{int}}$enthält Produkte von Fouriermoden aus verschiedenen Bereichen.

Um nun den ersten Teil Ihrer Frage zu den Kommutierungsbeziehungen komplexer Skalarfelder zu beantworten. Betrachten wir die freie Teilchenwirkung

Dies kann durch Einführen auf die Summe der skalaren Teilchenaktionen zurückgeführt werden$\varphi_1=(\varphi+\varphi^{\dagger})/\sqrt{2}$Und$\varphi_2=(\varphi-\varphi^{\dagger})/\sqrt{2}\,i$, was bedeutet, dass$\varphi_1$Und$\varphi_2$sind real. Die Handlung hier wird

Angesichts der von Ihnen angegebenen Zerlegung können wir einführen$c_{\textbf{k}}\equiv(a_{\textbf{k}}+b_{\textbf{k}})/\sqrt{2}$Und$d_{\textbf{k}}\equiv(a_{\textbf{k}}-b_{\textbf{k}})/\sqrt{2}\,i$, dann können wir unsere Felder so erweitern

Nun, aufgrund der Analyse von früher wissen wir, dass die$c$Und$d$Betreiber pendeln. Außerdem gibt uns die kanonische Quantisierung

Mit allen anderen Beziehungen verschwinden. Daraus ist es nicht schwer zu zeigen, dass die$a$Und$b$Betreiber pendeln miteinander.

Es gibt eine Angelegenheit, wenn dies viel subtiler ist und die Quantisierung durch Einführen von Fourier-Modi nicht nützlich ist. Wenn Sie in der Aktion oben auf diese Antwort nicht haben$\epsilon\ll 1$, dann können wir nicht mehr daran denken$S$als Deformation einer freien Quantenfeldtheorie. Die klassischen Bewegungsgleichungen werden nicht mehr die eines freien Teilchens sein, und da die Wechselwirkungen von Kombinationen verschiedener Felder abhängen, werden wir nicht länger die Translationsinvarianz haben, die die Klein-Gordon-Gleichung durch Fourier-Zerlegung lösbar gemacht hat.

Nun werde ich ein Beispiel dafür zeigen, wann eine stark wechselwirkende Feldtheorie in der Natur existiert (QCD). Betrachten Sie die Aktion für$SU(N)$Yang-Mills-Theorie (wenn Sie sich noch nicht mit der nicht-abelschen Eichtheorie befasst haben, was der Fall zu sein scheint, ist die Analyse immer noch zugänglich), gegeben durch

Wo$F_{\mu\nu}$ist ein Tensor von$N\times N$Matrizen gegeben durch

(Beachten Sie, dass wir in der euklidischen Signatur arbeiten, wo die Metrik durch gegeben ist$\delta_{\mu\nu}$). Der$A_{\mu}$sind Vektorfelder (traditionell Gluonen) gegeben durch$N\times N$Matrizen leben in der Lie Algebra von$SU(N)$. Es ist klar, dass diese Aktion kubische und quartische Wechselwirkungen zwischen den Gluonen hat. Wenn wir nun die Feldumdefinitionen vornehmen$A\to gA$, dann werden kubische Terme in der Aktion gewichtet mit$g$und die quartischen Terme werden gewichtet mit$g^2$. Somit ist alles bestens und gut wenn$g\ll 1$. Wie auch immer, wenn$g$groß ist, dann können die Wechselwirkungsterme nicht länger als Störungen betrachtet werden, und die Fourier-Zerlegung ist nicht länger nützlich. Genau das ist bei der QCD der Fall, wo die Kopplungskonstante bei niedrigen Energien groß ist.

Ich hoffe, das hat geholfen!

Im Allgemeinen definieren Menschen diese Operatoren, damit sie diese Regeln befolgen. Es ist eine Voraussetzung dafür, dass sie Zahlenoperatoren sind und daher von jeglichem Nutzen sind.