Phasenverschiebungen in der Streutheorie

Angenommen, Sie behandeln die Streuung eines Teilchens in einem Zentralpotential. Dies bedeutet, dass der Hamiltonoperator$H$pendelt mit den Drehimpulsoperatoren$L^2$und$L_z$. Daher können Sie simultane Eigenfunktionen finden$\psi_{k,l,m}$. Vielleicht wissen Sie zum Beispiel von der Lösung des Wasserstoffatoms, dass diese Funktionen durch die Kugelflächenfunktionen ausgedrückt werden können:

$$\psi_{k,l,m}(x) = R_{k,l}(r) \Psi_m^l(\theta, \varphi)$$ wo der radiale Teil erfüllt $$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR_{k,l}}{dr}\right) +\left(n^2 - U(r) - \frac{l(l+1)}{r^2}\right) R_{k,l} = 0$$ mit $U(r) = 2m/\hbar^2 V(r)$, Ihr zentrales Potenzial, und $k$ist die Wellenzahl des Teilchens, dh $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}.$

Der erste Schritt besteht darin, einen Spezialfall mit einfachen Lösungen zu suchen. Dies wäre das freie Teilchen , mit$U(r) = 0$. Dann ist die Radialgleichung ein Spezialfall der Besselschen Gleichung. Die Lösungen sind die sphärischen Besselfunktionen $j_l(kr)$und$n_l(kr)$, bei dem die$j_l$sind am Ursprung regelmäßig , während die$n_l$sind am Ursprung singulär . Daher sind die Lösungen für ein freies Teilchen Überlagerungen der$j_l$:

$$\psi(x) = \sum_{l,m} a_{l,m} j_l(kr) Y^l_m(\theta, \varphi)$$

Nur wenn wir auch Achsensymmetrie haben$m = 0$ist relevant. Dann können wir die sphärischen Harmonischen mit Legendre-Polynomen umschreiben. Dies führt zu

$$\psi(x) = \sum_{l,m} A_{l} j_l(kr) P_l(\cos \theta)$$ Ein wichtiger Spezialfall einer solchen Entwicklung ist die Rayleigh-Ebenen-Wellen-Entwicklung $$e^{ikz} = \sum_l (2l+1) i^l j_l(kr) P_l(\cos\theta)$$ die wir im nächsten Schritt benötigen.

Wir entfernen uns von freien Teilchen und betrachten die Streuung an einem Potential mit endlicher Reichweite (das schließt die Coulomb-Streuung aus!). So,$U(r) = 0$zum$r > a$wo$a$ist die Reichweite des Potentials. Der Einfachheit halber nehmen wir Achsensymmetrie an. Dann muss die Lösung außerhalb des Bereichs wieder die eines freien Teilchens sein. Aber dieses Mal ist der Ursprung nicht im Bereich enthalten, also können (und müssen) wir den einschließen$n_l(kr)$Lösungen der Bessel-Gleichungen:

$$\psi(r) = \sum_l (a_l j_l(kr) + b_l n_l(kr)) P_l(\cos \theta)$$ Beachten Sie, wie die Lösung für eine bestimmte $l$hat zwei Parameter $a_l$und $b_l$. Wir können uns eine andere Parametrisierung vorstellen: $a_l = A_l \cos\delta_l$und $b_l = -A_l \sin \delta_l$. Der Grund dafür wird im nächsten Schritt deutlich:

Die sphärischen Bessel-Funktionen haben Annäherungen mit großer Reichweite :

$$j_l(kr) \sim \frac{\sin(kr - l\pi/2)}{kr}$$ $$n_l(kr) \sim \frac{\cos(kr - l\pi/2)}{kr}$$ die wir in die Wellenfunktion einfügen können, um eine Annäherung mit großer Reichweite zu erhalten. Nach etwas Trigonometrie erhalten wir $$\psi(r) \sim \sum_l \frac{A_l}{kr} \sin(kr - l\pi/2 + \delta_l) P_l(\cos \theta)'$$ So sieht also unsere Wellenfunktion für groß aus $r$. Aber wir wissen bereits, wie es aussehen sollte : wenn das einfallende gestreute Teilchen als ebene Welle beschrieben wird $z$-Richtung, sie hängt mit der Streuamplitude zusammen $f$über $$\psi(\vec{x}) \sim e^{ikz} + f(\theta) \frac{e^{ikr}}{r}.$$ Offensichtlich sind beide Formen zum Niederschreiben eine langreichweitige Näherung für $\psi$sollte dasselbe geben, also verwenden wir die Rayleigh-Ebenenwellenentwicklung, um die letztere Form umzuschreiben. Wir schreiben auch die um $\sin$Funktion mit komplexen Exponentialen. Die anschließenden Berechnungen sind etwas mühsam, aber an sich nicht kompliziert. Sie fügen einfach die Erweiterungen ein. Was wir danach tun können, ist, die Koeffizienten in beiden Ausdrücken für dieselben Terme zu vergleichen, z. B. die Koeffizienten für gleichzusetzen $e^{-ikr}P_l(\cos\theta)$werde dir geben $$A_l = (2l+1)i^l e^{i\delta_l}$$ während Gleichsetzungskoeffizienten für $e^{ikr}$gibt Ihnen $$f(\theta) = \frac{1}{2ik} \sum_l (2l+1) \left( e^{2i\delta_l} - 1 \right) P_l(\cos \theta).$$

Interpretation der Phasenverschiebung: Denken Sie an die Langstreckengrenze der Wellenfunktion. Es führte zu einem Ausdruck für die$l$-te radiale Wellenfunktion im Fernbereich von

$$u_l(r) = kr\psi_l(r) \sim A_l \sin(kr - l\pi/2 +\delta_l).$$ Für ein freies Teilchen die Phasenverschiebung $\delta_l$wäre $0$. Man könnte also sagen, dass die Phasenverschiebung misst, wie weit die asymptotische Lösung Ihres Streuproblems am Ursprung von der asymptotischen freien Lösung verschoben ist.

Interpretation der Partial Wave Expansion: In der Literatur werden Sie häufig auf Begriffe wie z$s$-Wellenstreuung. Die partielle Wellenausdehnung zerlegt den Streuprozess in die Streuung einlaufender Wellen mit definierter Drehimpulsquantenzahl. Es erklärt auf welche Weise$s$-,$p$-,$d$-Wellen usw. werden durch das Potential beeinflusst. Für Niedrigenergiestreuung nur die ersten paar$l$-Quantenzahlen sind betroffen. Wenn alle außer dem ersten Term verworfen werden, werden nur die$s$-Wellen nehmen am Streuprozess teil. Dies ist eine Näherung, die beispielsweise bei der Streuung der Atome in einem Bose-Einstein-Kondensat gemacht wird.