Physikalische Darstellung von Volumen zu Oberfläche

Für den Fall einer Kugel ist das gefundene Verhältnis:

$$\frac{V}{S} = \frac{ \frac{4}{3} \pi R^3}{4 \pi R^2} = \frac{R}{3}$$

Das Volumen können wir hier eigentlich als Integral der Oberfläche ausgeben. Das ist passabel, wenn Sie den Kalkül überprüfen.

Ein Ansatz besteht dann darin, zu fragen, "was eine Funktion geteilt durch ihre Ableitung ist". Dies ist dem Verhältnis von Fläche zu Umfang eines Kreises sehr ähnlich.

$$\frac{A}{P} = \frac{ \pi R^2}{ 2 \pi R} = \frac{R}{2}$$

Natürlich sehen Sie die "2" wegen des Wertes des Exponenten, der daher kommt, dass es zwei Dimensionen gibt, genau wie die Kugel. Jetzt haben wir also einen Teil der Antwort erklärt, nämlich dass die lineare Dimension durch die Anzahl der Dimensionen geteilt wird. Dies ist immer noch unbefriedigend, da wir keine klare Vorstellung davon haben, wie wir diese spezielle "charakteristische Länge" definieren sollen.

Ein Versuch zur Lösung dieses Problems wäre, die Idee für ein Quadratwürfelsystem zu testen.

$$\frac{V}{S} = \frac{ R^3}{ 6 R^2} = \frac{R}{6}$$

$$\frac{A}{P} = \frac{ R^2}{4 R} = \frac{R}{4}$$

Sie können sehen, dass es immer noch unserer erforderlichen Regel folgt, aber die "charakteristische Länge" ist jetzt die Hälfte einer Seitenlänge. Natürlich wollen wir ein allgemeines Statement zu allen Shapes abgeben. Dies wird noch durch die Definition der "charakteristischen Länge" verworren. Vermeiden wir es also, indem wir eine Aussage über das Verhältnis von "Innerem" zu "Äußerem" für jede Klasse von Formen machen, die sich von einer Dimension in eine andere bewegen.

$$\left( \frac{I}{O} \right)_{n+1} = \frac{n}{n+1} \left( \frac{I}{O} \right)_{n}$$

Dies erfordert die Definition der "charakteristischen Länge", die ich nennen werde$l$.

$$l \equiv n \left( \frac{I}{O} \right)_{n}$$

Leider kann ich nicht behaupten etwas Neues erfunden zu haben. Das ist die Idee hinter Hydraulischer Durchmesser . Der einzige Unterschied ist ein Faktor von 2. Ein 4D-Wesen mit einem Rohr mit konstantem 3D-Querschnitt würde Ihre Formel verwenden, um den hydraulischen Radius zu berechnen. Wikipedia enthält auch die gleiche Beobachtung, die ich gerade gemacht habe:

Bei einem vollständig gefüllten Kanal oder Rohr, dessen Querschnitt ein regelmäßiges Polygon ist, entspricht der hydraulische Durchmesser dem Durchmesser eines Kreises, der in den benetzten Umfang eingeschrieben ist.

Ich habe gezeigt, dass dies auch wahr ist, indem ich an einen Würfel im Vergleich zu einer Kugel denke. Vorausgesetzt, wir korrigieren Ihre$3.3 cm$Durch Multiplizieren mit der Anzahl der Dimensionen erhalten Sie eine Art verallgemeinerten Radius. Andere, exotischere Formen sind nicht so einfach zu erklären. Wenn Sie eine Kugel mit einer holprigen Oberfläche hätten und die Fläche zählen würden, die Sie malen müssten, würde dies den hydraulischen Radius der Form verkleinern.

Eine Möglichkeit, dieses Konzept zu rechtfertigen, bezieht sich auf die Fluiddynamik. Der hydraulische Durchmesser wird verwendet, weil das Drücken von Flüssigkeit durch ein "holpriges" Rohr so ​​ist, als würde man es durch ein kleineres glattes Rohr pumpen. Die Zahl ist also eine Art Stellvertreter für den viskosen Widerstand. Nun, das kann eine Verwendung sein.

Betrachten wir einige einfache Beispiele: eine Kugel, einen Würfel und ein rechteckiges Parallelepiped. Lassen Sie uns das Verhältnis des Volumens zur Oberfläche eines bestimmten Objekts mit bezeichnen$\ell$, dann haben wir

$$\begin{align} \ell(\mathrm{sphere}) &= \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi R^2} = \frac{1}{3} R = \frac{1}{6}D \\ \ell(\mathrm{cube}) &= \frac{L^3}{6L^2} = \frac{1}{6}L \\ \ell(\mathrm{parallelepiped}) &= \frac{LWH}{2(LW + LH + WH)} \end{align}$$ Wo $R$ist der Radius der Kugel, $D$ist der Durchmesser der Kugel, $L$ist die Seitenlänge des Würfels, und $L,W,H$sind die Länge, Breite und Höhe des rechteckigen Parallelepipeds. Beachten Sie, dass wir im Fall des Würfels und der Kugel eine Länge erhalten, die uns ungefähr die seitlichen Abmessungen des Objekts in jeder gegebenen Richtung angibt, was man geneigt sein könnte, die "charakteristische Länge" zu nennen. Betrachten Sie andererseits a das Parallelepiped mit $W=H=\epsilon$Wo $\epsilon$ist klein. In diesem Fall können wir die Bestellbedingungen außer Acht lassen $\epsilon^2$bezogen auf die Bestellung $\epsilon$Begriffe, und wir bekommen $$\ell = \frac{L\epsilon^2}{2(L\epsilon + L\epsilon + \epsilon^2)}\sim \frac{1}{4}\epsilon$$ und das sehen wir $\ell$wird sehr klein. In diesem Fall gibt das Verhältnis bei einem sehr langen, schmalen Parallelepiped also eine gute Vorstellung von den seitlichen Abmessungen in zwei der Dimensionen, aber nicht in der dritten. Wenn Sie ein Objekt haben, das ungefähr kugelsymmetrisch ist (und nicht auf andere Weise pathologisch), gibt das Verhältnis im Allgemeinen eine gute Vorstellung davon, wie groß alle Dimensionen des Objekts sind, aber wenn diese Symmetrie fehlt, dann das Konzept der durch dieses Verhältnis definierten charakteristischen Länge bricht etwas zusammen.

Die physikalische Darstellung hängt von der Geometrie des Systems ab. Im Fall einer Kugel haben wir dann das einfache Ergebnis

$$\frac{V}{A} = \frac{(4\pi/3)R^3}{4\pi R^2} = \frac{R}{3}.$$ Das heißt, das Verhältnis ist ein Drittel des Radius.

Nun sind Kugeln insofern etwas Besonderes, als sie dieses Verhältnis maximieren. Angenommen, Sie hätten einen Würfel mit Seitenlänge$s$. Dann

$$\frac{V}{A} = \frac{s^3}{6s^2} = \frac{s}{6}.$$ Um sicherzustellen, dass wir Äpfel mit Äpfeln vergleichen, sollten wir uns natürlich darauf beziehen $s$Zu $R$auf sinnvolle Weise, sagen wir durch Gleichsetzen von Volumina. Wenn $(4\pi/3)R^3 = s^3$, Dann $s = (4\pi/3)^{1/3} R$, und so ist das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche für einen Würfel $$\frac{V}{A} = \frac{1}{6} \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{1/3} R \approx 0.27 R.$$

Viele Dinge in der Natur nehmen Kugelformen an, weil dies die mit der Oberflächenspannung verbundene potentielle Energie minimiert, unter der Bedingung, dass all Ihr "Zeug" ein festes Volumen hat.

Übrigens wird das Verhältnis von Oberfläche zu Länge offensichtlich wichtig, wenn man die Kapazität in CGS-Einheiten untersucht. Die Kapazität einer Kugel mit Radius$R$Ist$A/(4\pi R) = R$(ja, Zentimeter sind die Einheit der Kapazität in CGS) und die Kapazität eines planparallelen Leiters der Fläche$A$und Trennung$d$ist (unter Vernachlässigung von Randeffekten)$A/(4\pi d)$.

Wenn Sie ein Volumen durch eine Fläche teilen, erhalten Sie eine Länge (wie Sie festgestellt haben). Diese Länge ist physikalisch nur die Länge eines Zylinders, wenn Sie das XKCD-Beispiel verwenden (Sie könnten jedes n-seitige Prisma verwenden), bei dem die Kreisfläche eine hat Fläche gleich der Oberfläche (Ihrer ursprünglichen Form).

Sie können dieses Bild sehen, das es demonstriert:

HINWEIS: Der Maßstab zwischen der Kugel und dem Zylinder ist nicht korrekt, die Länge wäre viel kleiner als hier dargestellt.