Einheit einer logarithmischen Normalwahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Einheiten einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) für eine Menge$x$, sind die Umkehrung der Einheiten von$x$. Zum Beispiel, wenn$x$Längeneinheiten hat, dann ist das PDF$P(x)$hat Einheiten von 1/Länge, so dass die Wahrscheinlichkeit$P(x) dx$ist dimensionslos.

Die Tatsache, dass die funktionale Form des PDF eine logarithmische Normalverteilung sein kann, ist für die Dimensionen des PDF nicht relevant.

Beachten Sie, dass sich das Akronym PDF auch auf eine Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion im Zusammenhang mit diskreten Zufallsvariablen beziehen kann . Natürlich ist eine logarithmische Normalverteilung kontinuierlich, sodass sich Ihre Frage vermutlich auf Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen bezieht. Um jedoch Verwirrung zu vermeiden, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion im Zusammenhang mit diskreten Zufallsvariablen, wie von @JohnDarby hervorgehoben, dimensionslos, da sie dimensionslose Wahrscheinlichkeiten für jedes mögliche Ergebnis angibt.

Betrachten Sie eine beliebige kontinuierliche Zufallsvariable$V$mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion$p_V$. Für$v$irgendein bestimmter Wert von$V$,$p_{V}(v)$ist keine Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit einen bestimmten Wert von$V$ist genau$v$ist immer Null und ist bedeutungslos; was aussagekräftig ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass$V$ist drinnen$dv$um$v$und diese Wahrscheinlichkeit ist$p_V(v)dv$was immer dimensionslos ist, unabhängig von den Einheiten von V, wie es sein muss, da es eine Wahrscheinlichkeit ist. Also die Einheiten von$p_{v}$sind die inversen Einheiten von$V$. Siehe die frühere Antwort von @Andrew.

Für eine diskrete Zufallsvariable$R$mit Wahrscheinlichkeitsdichte$p_{R}$, die Wahrscheinlichkeit, dass$R$ist der spezifische Wert$r$Ist$p_{R}(r)$.$p_{R}$für eine diskrete Variable ist die "Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion", die manchmal als "Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion" bezeichnet wird, und sie ist immer dimensionslos, unabhängig von den Einheiten von R, wie es sein muss, da es sich um eine Wahrscheinlichkeit handelt.

Eine Log-Normalverteilung ist ein Sonderfall. Eine logarithmische Normalverteilung für die kontinuierliche Zufallsvariable$X$bedeutet, dass der Logarithmus von$X$ist normalverteilt. Wenn$Y=ln(X)$und Y normalverteilt ist, dann ist die Verteilung für$X$ist eine Log-Normalverteilung. Die Variable Y ist dimensionslos, da sie der Logarithmus einer Zahl ist. Also die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion$p_{Y}$ist auch für diesen Spezialfall dimensionslos.$X$können Dimensionen haben, also die Einheiten von$p_{X}$sind die inversen Einheiten von$X$.