Primäre Operatoren in der Ising CFT

Das 1D-Ising-Modell bei Kritikalität ist durch den Hamilton-Operator gegeben H = − N ∑ ich ( σ ich X σ ich + 1 X + σ ich z ) in Bezug auf Pauli-Operatoren und eine Normalisierung N . In der CFT-Sprache soll der Operatorinhalt dieser Theorie durch die üblicherweise genannten primären Felder beschrieben werden 1 , ϵ , ψ Und ψ ¯ mit Skalierungsabmessungen Δ 1 = 0 , Δ ϵ = 1 Und Δ ψ = Δ ψ ¯ = 1 / 2 . Darüber hinaus erwähnen viele Artikel (wie dieser ) die Felder σ Und μ mit Δ σ = Δ μ = 1 / 8 .

Frage : Welchen physikalischen (lokalen) Operatoren/Observablen entsprechen diese Felder? Mein bisheriges Verständnis:

  • Das Identitätsfeld 1 scheint einem lokalen Identitätsoperator äquivalent zu sein.

  • Ist die "Energie" ϵ vor Ort ich einfach σ ich X σ ich + 1 X + σ ich z ? Der Ising CFT Wikipedia-Artikel erwähnt auch ein Feld namens ϵ ' mit Δ ϵ ' = 4 , dessen Bedeutung ungeklärt ist.

  • Die Felder ψ Und ψ ¯ scheinen den Majorana-Modi zu entsprechen C 2 ich − 1 Und C 2 ich nach Jordan-Wignerisierung des Hamiltonian.

  • Die Bestellung" σ scheint dem Pauli-Operator zu entsprechen σ ich X vor Ort ich .

  • Ich habe keine Ahnung, was die "Störung" μ entspricht, aber es scheint ein Ordnungsparameter auf dem dualen Gitter zu sein.

Das einzige richtige Lehrbuch, das ich derzeit zur Verfügung habe (Christe/Henkels "Introduction to Conformal Invariance and Its Application to Critical Phenomena") spricht über diese Felder, erklärt es aber nicht σ Und μ , wobei nur erwähnt wird, dass sie nicht lokal in Bezug auf geschrieben werden können ϵ und das ψ , ψ ¯ .

Dazu gibt es ein ganzes Kapitel im großen gelben CFT-Buch.

Antworten (1)

Gitterkontinuumskorrespondenz für die Primärfelder der Ising CFT:

  1. In der Tat das Identitätsfeld 1 entspricht einfach dem Identitätsoperator auf dem Verband. Allgemeiner gesagt hat jeder Gitteroperator mit einem endlichen Erwartungswert im Grundzustand Unterstützung auf dem Identitätsfeld im Kontinuum.
  2. Das Energiefeld ε entspricht σ N X σ N + 1 X − σ N z . Beachten Sie das relative Minuszeichen, das nicht in Ihrer Formel enthalten war! Dies ist wesentlich: Ohne das Minuszeichen hätte der Operator einen Erwartungswert ungleich Null (natürlich, da es sich um die Hamilton-Dichte handelt), was bedeutet, dass er (teilweise) eine Unterstützung hätte 1 im Kontinuum. Aber mit dem Minuszeichen ist es jetzt ungerade unter der Kramers-Wannier-Dualität. Das bedeutet erstens, dass sie am kritischen Punkt Null ist, aber darüber hinaus, wenn man hinzufügt G ε zur Aktion/Hamilton, dann je nach Vorzeichen G , landet man in der symmetriegebrochenen oder paramagnetischen Phase.
  3. Das Auftragsfeld σ : Sie haben Recht, dass es dem Bestellparameter entspricht σ N X auf dem Gitter.
  4. Das Unordnungsfeld μ entspricht σ 1 z σ 2 z ⋯ σ N z auf dem Gitter. Es gibt einige Möglichkeiten, dies zu interpretieren: (a) Beachten Sie, dass dies der Operator ist, auf den abgebildet wird σ N X unter der Kramers-Wannier-Dualität, (b) physischer, erstellt dieser Operator eine Domänenwand zwischen Sites N Und N + 1 (und auch in der Nähe des Standorts 1 , aber es ist bequem, sich dort offene Randbedingungen vorzustellen). Daher die Tatsache, dass die paramagnetische Phase hat ⟨ μ ⟩ = ⟨ σ 1 z σ 2 z ⋯ σ N z ⟩ ≠ 0 sagt uns genau, dass Domänenwände in den Grundzustand kondensiert sind. Schließlich, (c) von einem allgemeineren Standpunkt aus, entsteht dieser nicht-lokale Operator als String-Ordnungsparameter für die triviale symmetriegeschützte topologische Phase. (Wenn Sie also mehr über diese letztere Perspektive erfahren möchten, googeln Sie einfach nach "String Order Parameter".)
  5. In Bezug auf die fermionischen Felder ψ , ψ ¯ , soweit ich mich erinnere, entsprechen sie nicht genau den Gitter-Majorana-Operatoren γ N Und γ ~ N , sondern ihre Linearkombinationen γ N ± γ ~ N . (Eine Möglichkeit, dies zu sehen, ist, dass man im Kontinuum Ausdrücke wie erhält ψ ∂ ψ , noch auf dem Gitter γ kann nur koppeln γ ~ .)
Da Sie sich identifizieren ϵ mit σ N X σ N + 1 X − σ N z = ich γ ~ N ( γ N + 1 + γ N ) , bedeutet das, dass wir uns identifizieren sollten ψ mit γ ~ N Und ψ ¯ mit γ N + 1 + γ N , So ich ψ ψ ¯ gibt uns einen "Massenbegriff"?
Nach diesem Skript (Seite 28) kann man von physikalischen fermionischen Operatoren transformieren C ich auf einem Gitter der Breite A zu physikalischen Feldern Ψ ( X N ) = C N / A . Dann ist der Hamilton-Term proportional zur Lücke C N † C N = 1 + ich γ N γ ~ N , was auf die Identifizierung hindeutet ϵ ∼ γ N γ ~ N Und ψ , ψ ¯ ∼ C N , C N † . Dies scheint mit Ihrer Argumentation nicht vereinbar zu sein.
@Scytale Ich habe mich vielleicht in Bezug auf die fermionischen Felder geirrt (mein Punkt (5)), das ist der Teil, über den ich nicht allzu sorgfältig nachgedacht habe. Aber bzgl ε , der Grund zu bevorzugen X X − Z ist, dass es unter Kramers-Wannier ungerade ist, was sicherstellt, dass sein Erwartungswert am kritischen Punkt Null ist. Der Vorschlag ε ∼ Z (was Sie vorschlagen) ist nicht gut, weil ⟨ Z ⟩ ≠ 0 am kritischen Punkt, was das impliziert Z hat Unterstützung im Identitätsbereich 1 .
Ich verstehe Ihren Standpunkt, aber er scheint gegen die übliche Definition zu verstoßen ϵ = ich ψ ψ ¯ Wo ψ Und ψ ¯ sind die kontinuierliche Version der fermionischen Operatoren auf dem Gitter. Vielleicht denke ich an die falsche Kontinuumsgrenze?
@Scytale Ich weiß nicht, warum du sagst, dass dies die übliche Definition von ist ε . Verwechseln Sie die ε -Feld mit der Hamiltonschen Energiedichte?
Nach Franceso/Matthieu/Senechal, Kap. 12.2.1, „der Energieoperator ist nur die Zusammensetzung der beiden fermionischen Felder, nämlich ϵ ( z , z ¯ ) = ich : ψ ψ ¯ : ". Später heißt es: "...etwas abseits der Kritikalität erhält die Ising-Aktion einen Massenbegriff ich M ∫ ψ ψ ¯ ∝ ( K − K C ) ∫ ϵ „Das sollte also richtig sein ϵ , Rechts?
Primäre Operatoren in der Ising CFT
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 1v