Problem der Funktionsanalyse. [geschlossen]

Finde den kleinsten Wert von F ( X ) = X 2 X − 9 auf dem Intervall ( 9 , + ∞ ) .

Wir sollten im Grunde den größten finden A so dass X 2 X − 9 ≥ A . Wir können beide Seiten mit multiplizieren X − 9 da es positiv ist und als wir bekommen X 2 − A X + 9 A ≥ 0. Ich weiß nicht, wie ich weiter vorgehen soll.

Was hast du versucht? Schreiben Sie Ihre eigene Arbeit in den Hauptteil Ihrer Frage, damit sie nicht abgelehnt und sogar geschlossen wird.
@DonAntonio wird es bald tun
Sie haben Ihre Frage mit "Analyse, Funktionsanalyse" usw. markiert. Kennen Sie sich mit Ableitungen aus, was sagt ihr Vorzeichen über die Funktion, Extrempunkte usw. aus? Übrigens ist Ihr Weg auch gut: Wann "schwebt" eine Aufwärtsparabel die ganze Zeit über die x-Achse? Finden Sie das heraus und Sie erhalten Ihren minimalen Wert ...!
@DonAntonio Ich bin mit ihnen vertraut (wenn auch nicht gut), aber ich würde eine Lösung ohne sie bevorzugen. Trotzdem würde ich eine abgeleitete Lösung nicht ablehnen.

Antworten (3)

Du bist fast da: X 2 − A X + 9 A ≥ 0 ⟺ Δ ≤ 0 ,Wo Δ := die Diskriminante des gegebenen Quadrats. Können Sie von hier aus fortfahren? Ohne Ableitungen und so: nur grundlegende Algebra und grundlegende Geometrie.

danke, das führt direkt zur lösung!
In der Tat, wenn wir den minimalen Wert dieser Funktion mit dem identifizieren j − Wert des Scheitelpunkts der Parabel X 2 − A X + 9 A ...

Hier ist ein rein algebraischer Weg, der die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel (AM-GM) verwendet:

Für X > 9 wir haben

X 2 X − 9 = X 2 − 81 + 81 X − 9 = X + 9 + 81 X − 9 = X − 9 + 81 X − 9 + 18 ≥ A M − G M 2 81 + 18 = 36

Gleichheit gilt genau dann, wenn

X − 9 = 81 X − 9 ⇔ X > 9 X = 18

Danke, diese Methode ist auch sehr schön!

Umformuliert:

j := X − 9 , j ∈ ( 0 , ∞ ) ;

F ( j ) = ( j + 9 ) 2 j =

j + 18 + 81 j =

( j 1 / 2 − 9 j 1 / 2 ) 2 + 18 + 18 ≥ 36 ;

Gleichheit für

j 1 / 2 = 9 j 1 / 2 ,

j = 9.

Problem der Funktionsanalyse. [geschlossen]
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