Probleme beim Abrufen der Matrixdarstellung eines Hamilton-Operators mit 4 Zuständen

$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|} \newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$Ich habe einen einfachen Hamiltonian mit 4 Zuständen und versuche, die Matrixdarstellung zu finden (um die Eigenwerte der Energie für das System zu bestimmen); Ich lande jedoch immer wieder bei der falschen Matrix, daher würde ich mich über etwas Hilfe freuen, um herauszufinden, welches Konzept ich falsch verstehe.

Wir haben, dass der Hamiltonoperator gegeben ist durch:

$$\begin{equation} \hat{\mathbf{H}}=\sum_{n=1}^{4}E_{0}\left|n\right\rangle\left\langle n \right|+\sum_{n=1}^{4}W\{\left| n \right\rangle\left\langle n+1 \right| + \left|n+1\right\rangle\left\langle n \right|-\left|2\right\rangle\left\langle 3\right|-\left|3\right\rangle\left\langle 2 \right| \} \end{equation}$$

Verwendung der Distributivität der Summe über den durch das Tensorprodukt gebildeten Raum$\mathbb{C}^{4} \otimes \mathbb{C}^{4}$, haben wir, dass dies geschrieben werden kann durch:

$$\hat{\mathbf{H}}=E_{0}\sum_{n=1}^{4}\ket{n}\bra{n}+W\left\{\sum_{n=1}^{4}\ket{n}\bra{n+1}+\sum_{n=1}^{4}\ket{n+1}\bra{n}-\sum_{n=1}^{4}\ket{2}\bra{3}-\sum_{n=1}^{4}\ket{3}\bra{2}\right\}$$

Wir können dies weiter reduzieren, indem wir Folgendes bemerken:$\sum_{n=1}^{4}k = 4k$,$\forall k \in \mathbb{C}^{4}\otimes \mathbb{C}^{4}$, und somit:

$$\hat{\mathbf{H}}=E_{0}\sum_{n=1}^{4}\ket{n}\bra{n}+W\sum_{n=1}^{4}\ket{n}\bra{n+1}+W\sum_{n=1}^{4}\ket{n+1}\bra{n}-4W\ket{2}\bra{3}-4W\ket{3}\bra{2}$$ Wenn wir in einem Bereich arbeiten, in dem: $$\ket{n}=\begin{cases}\hat{\mathbf{e}}_{n} & n \in \{1,2,3,4\} \\ \mathbf{0} & n \not\in \{1,2,3,4\}\end{cases}$$

Dann haben wir:

$$\sum_{n=1}^{4}\ket{n}\bra{n}=\mathbf{I}_{4\times 4} \quad\land\quad \ket{2}\bra{3} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \quad\land\quad \ket{3}\bra{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$

Und:

$$\sum_{n=1}^{4}\ket{n}\bra{n+1}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \quad\land\quad \sum_{n=1}^{4}\ket{n+1}\bra{n}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Somit haben wir:

$$\hat{\mathbf{H}}=E_{0}\mathbf{I}_{4\times 4}+\begin{pmatrix}0 & W & 0 & 0 \\ 0 & 0 & W & 0 \\ 0 & 0 & 0 & W \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ W & 0 & 0 & 0 \\ 0 & W & 0 & 0 \\ 0 & 0 & W & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4W & 0 \\ 0 & 4W & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$

Wir erweitern, wir haben:

$$\hat{\mathbf{H}} = \begin{pmatrix}E_{0} & W & 0 & 0 \\ W & E_{0} & -3W & 0 \\ 0 & -3W & E_{0} & W \\ 0 & 0 & W & E_{0}\end{pmatrix}$$

Was falsch ist, da ich weiß, dass die Eigenwerte sind$\{E_{0}\pm W\}$, und der Hamiltonoperator kann in Matrixform geschrieben werden als:

$$\hat{\mathbf{H}} = \begin{pmatrix}E_{0} & W & 0 & 0 \\ W & E_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & E_{0} & W \\ 0 & 0 & W & E_{0}\end{pmatrix}$$

Ich bin mir jedoch nicht sicher, wo ich meinen Fehler gemacht habe, jeder Schritt scheint mir gültig zu sein?