Proportionale Beschleunigung aufgrund sich ändernder Dichte der Erde

Ich bin mir nicht ganz sicher, wie er auf einen Wert kommt$36.36$für diese Konstante, weil es ein bisschen davon abhängt, wie er seine Näherungen genau macht und welche Werte er für verschiedene Konstanten annimmt. Aber im Grunde ist es so:

Für eine kugelsymmetrische Massenverteilung wie die hier betrachtete ist die Erdbeschleunigung nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz einfach:

$$a=\frac{-GM(<R)}{R^2}$$

Für die im Radius eingeschlossene Masse$R$, die ich schreibe$M(<R)$, nimmt er eine konstante Dichte an, also ist die Masse nur das Volumen der Kugel (mit Radius$R$, das hängt davon ab, wo Sie sich befinden) mal der Dichte:

$$M(<R) = \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)\sigma$$

Setzt man die beiden Gleichungen zusammen,

$$a = -\frac{4}{3}G \pi R\sigma$$

Oder es so aussehen lassen wie er:

$$a = -\left(\frac{4G\pi\sigma R_\oplus}{3}\right)\frac{R}{R_\oplus}$$

Die Menge in Klammern ist das, was er mit 36,36 bewertet (das sollte sein${\rm m}\,{\rm s}^{-2}$). Ich bin mir nicht sicher, wofür er es verwendet$R_\oplus$; Es ist nicht klar, ob es der Durchmesser der Erde ist (wie es aus der Gleichung aussieht) oder der Durchmesser der Erde weniger$\Delta x=2.87\times10^6\,{\rm m}$, wie es auf dem Diagramm aussieht. Er erwähnt auch nicht, was er für die Dichte verwendet, aber aus einem Diagramm sieht es so aus, als ob es ungefähr wäre$10^4\,{\rm kg}\,{\rm m}^{-3}$. Der Wert der Konstante ist verdächtig; seit um$R=R_\oplus$Die fallende Person verlässt gerade den Teil der Fahrt mit "konstanter Beschleunigung", ich würde erwarten, dass die Beschleunigung hier ist$10\,{\rm m}\,{\rm s}^{-2}$, nicht$36.36$...

Woher die trigonometrischen Gleichungen kommen, hängt mit der Punktnotation zusammen. Ein Punkt zeigt normalerweise eine Zeitableitung an, also:

$$v=\dot{R}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}R(t) \\ a = \ddot{R} = \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}R(t)$$

Die gleichung:

$$\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}R(t) = -k^2R(t)$$

Wo$k$eine Konstante ist eine Differentialgleichung . Die Lösung dieser Gleichung ist eine Funktion$R(t)$so dass die Gleichheit für alle Werte von gilt$t$. Dies ist wahrscheinlich die bekannteste existierende Differentialgleichung, die einfache harmonische Oszillatorgleichung . Sie können überprüfen, ob die allgemeine Lösung:

$$R(t)=A\sin(kt)+B\cos(kt)$$

löst die Gleichung durch Einsetzen in die Differentialgleichung und Auswerten der Ableitung. Hier kommt seine Gleichung her, sobald er herausgefunden hat, was die Konstanten sind$A$,$B$Und$k$sollte sein. Ich werde darauf nicht eingehen, da das Lösen der einfachen harmonischen Oszillatorgleichung eine so allgegenwärtige Übung ist, dass Sie sie praktisch in jedem Buch oder im Internet nachschlagen können.

Ich bin mir bei der Ableitung in diesem Video nicht sicher, obwohl sie richtig sein könnte?

Mein Zweifel liegt an der Gleichung für die Beschleunigung$a$für die innere Phase der Bewegung wo$R$ist der Abstand vom Erdmittelpunkt und der Erdradius ist$R_\oplus = 6.37 \times 10^6$M.

$$\ddot{R}(t) = a(t)=-36.36\dfrac{R}{ R_\oplus}$$

Während der konstant beschleunigenden (äußeren) Phase der Bewegung ist die zurückgelegte Strecke$2.87 \times 10^6$m und somit liegt die innere Phasenbewegung innerhalb der folgenden Grenzen$3.5 \times 10^6 \le R \le 3.5 \times 10^6$M

Putten$R = 3.5 \times 10^6$m in die Gleichung für die Beschleunigung während der inneren Bewegungsphase gibt$-20$MS$^{-2}$nicht das Erwartete$-10$MS$^{-2}$.

Auch der im Video angegebene Ausdruck ist maßlich nicht korrekt.

$$R(t) = 3.5 \times 10^6 \cos\left( \sqrt{\dfrac{ R_\oplus}{36.36}}t\right) - 3.2 \times 10^6 \sin\left(\sqrt{\dfrac{R_\oplus}{36.36}}t\right)$$

Die Klammern für die Kosinus- und Sinusfunktionen sollten sein$\left( \sqrt{\dfrac {36.36}{ R_\oplus }}t\right)$nicht$\left( \sqrt{\dfrac{ R_\oplus}{36.36}}t\right)$

Der Ausdruck$t = \tan^{-1}(1.1)\sqrt{\dfrac{R_\oplus}{36.36}} = 348\,{\rm s}$kann verwendet werden, um den Wert des Erdradius zu finden, der im Video verwendet wird.

Wenn dies geschehen ist, gibt dies$R_\oplus = 6.35 \times 16^6$m, was mit dem akzeptierten Wert übereinstimmt.

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Zurück zu den Anfängen für eine gleichmäßig dichte Erde der Ausdruck für die Beschleunigung$a$als Funktion der Entfernung vom Zentrum kann geschrieben werden als$a = - \dfrac {9.8}{R_\oplus} R$die die Form der Bewegungsgleichung für shm hat$a = - \omega^2 R$Wo$\omega$ist eine Konstante der Bewegung.

Verwenden$R_\oplus = 6.37 \times 10^6$m gibt$\omega = 1.24\times 10^{-3}$S$^{-1}$.

Der Zeitraum dieser Bewegung ist$T = \dfrac {2 \pi}{\omega}$gibt eine halbe Periode von$2532$S$\approx 42$Protokoll.

Für diesen Antrag$R(t) = 6.37 \times 10^6 \cos \omega t = 6.37 \times 10^6 \cos \left( \sqrt{\dfrac {10}{ R_\oplus }}\; t\right)$.

Wenn der Ausdruck für$R(t)$einmal differenziert wird

$$v(t) = \dot R(t) = -6.37 \times 10^6 \omega\sin \omega t$$

dann zur zeit$t =0$die Geschwindigkeit ist Null und wird nochmals differenziert

$$a(t) = \ddot R(t) = -6.37 \times 10^6 \omega^2\cos\omega t$$

was das zeigt$R(t) = 6.37 \times 10^6 \cos \omega t$ist eine Lösung der Gleichungto$a = - \omega^2 R$.

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Das Verfahren für die gemischte Zusammensetzung Erde besteht aus zwei Teilen, und es ist der zweite Teil, den Sie abgefragt haben.

Die Größe der Beschleunigung in einem Abstand vom Zentrum$R_i = 3.5 \times 10^6$m ist gegeben als$10$MS$^{-2}$und ändert sich linear mit der Entfernung vom Erdmittelpunkt.

Die Bewegungsgleichung für diese innere Phase lautet$a = -\dfrac {10}{R_i} R = -\dfrac {10}{R_\oplus}\dfrac{R_\oplus}{R_i} R = -\dfrac{18.2}{R_\oplus}R$während es als gegeben ist$a = -\dfrac {36.36}{R_\oplus} R$in dem Video.

Gibt es dafür einen Grund?

Das gibt$\omega = \sqrt{\left(-\dfrac{18.2}{R_\oplus} \right )} = 1.69 \times 10^{-3}$S$^{-1}$.

$R(t) = 3.5 \times 10^6 \cos \omega t$ist eine Lösung dieser Gleichung, aber die Geschwindigkeit bei$t =0$Null ist, was nicht richtig ist.

Eine Geschwindigkeit von haben$-7580$MS$^{-1}$zu Beginn ein zusätzliches Semester$-4.06\times 10^6 \sin\omega t$muss hinzugefügt werden, um den Ausdruck zu erhalten

$$R(t) = 3.5 \times 10^6 \cos \left (\sqrt{\dfrac{18.2}{R_\oplus} }\; t \right) - 4.49\times 10^6 \sin \left (\sqrt{-\dfrac{18.2}{R_\oplus} }\; t \right)$$

Beachten Sie, dass der zusätzliche Sinusterm zu Beginn der Bewegung negativ ist, wodurch die Entfernung vom Erdmittelpunkt schneller abnimmt, als wenn nur der Kosinusterm vorhanden wäre.
Genau wie Sie vielleicht erwarten, da die Masse eine anfängliche Einwärtsgeschwindigkeit hat, wenn$t=0$.

Um die Zeit zu finden, um das Zentrum zu erreichen, machen Sie$R(t) = 0$und das gibt

$$t = \tan^{-1}\left (\dfrac{3.5}{4.49}\right )\sqrt{\dfrac{R_\oplus}{18.2}} = 392\,{\rm s}$$