Rudin gegen Pugh für Lehrbuch für den ersten Kurs in Realanalyse

Jedes großartige Buch zu einem bestimmten Thema wird Dinge enthalten, die ein anderes großartiges Buch auslässt. Nachdem ich sowohl Rudin als auch Pugh gesehen habe, würde ich sagen, dass sie beide eine ausgezeichnete Wahl für einen strengen Kurs in mathematischer Analyse sind. Pughs Buch ist möglicherweise leichter zu verstehen, da Rudin sehr knapp ist.

Oft ist das, was wir die Bibel nennen, genau das, was seit vielen Jahren von vielen Menschen verwendet wird, aber es gibt neuere Alternativen, die ebenso großartig sein können.

In Anlehnung an Giuseppe Negros Bemerkung, dass es in der Mathematik keine "Bibeln" gibt: Es stimmt, dass es einige Quellen gibt, die ein bestimmtes schwieriges Ziel ohne allzu viele negative Nebenwirkungen erreichen und sich einen Platz im "Pantheon" für dieses Attribut verdienen . Manchmal wird jedoch eher ein Platz für „Beeindruckend“ als für „Hilfreich“ verdient. Oder für „hart sein“ statt „klar sein“. Die „Strenge“ des einen ist die „Langweiligkeit“ des anderen usw.

Pugh ist ein echter Mathematiker, daher sind die Entscheidungen, die er bei der Zusammenstellung seines Buches getroffen hat, sicherlich vernünftig. Ich habe den Eindruck, dass er sich dafür entschieden hat, intuitive/bildhafte Dinge zu betonen, anstatt Cauchy-Weierstrassianisch zu sein, wie es Rudins Gewohnheit wäre.

An den meisten Tagen stimme ich zu (mit D'Alembert, glaube ich?, der gesagt hat) "Nach dem Glauben folgt der Beweis".

EDIT: Tatsächlich ist es, wie Michael Harris bemerkte, "Allez en avant, et la foi vous viendra": "Geh vorwärts, und der Glaube wird folgen" ... möglicherweise noch radikaler? Oder weniger...? :)

Obwohl ich vor Jahren über diese möglicherweise leichtfertig erscheinende, unrigorose Bemerkung gespottet habe, verstehe ich sie inzwischen anders. Wenn man zB eine "physische Intuition" hat, dass eine Sache wahr ist, legt dies oft einen "Beweis" nahe. Und andererseits, wenn eine bestimmte Frage "rein formal" ist, was manchmal "für niemanden von echtem Interesse" bedeutet, dann ist die "formale" (in einem spöttischen Sinne) Herangehensweise, die wir finden, ein Hinweis auf einen Mangel an -Sinn.

Mein Rat wäre, sich viele Quellen anzusehen, die eine Reihe von Standpunkten umfassen. Man kann argumentieren, dass einige Quellen in Kleinigkeiten zu pingelig sind und andere nachlässig sind. Am Ende, denke ich, möchte ein professioneller Mathematiker ein gewisses Maß an Aufhebens um Details erlebt haben, aber in so vielen Fällen wie möglich im Nachhinein sehen, dass viele dieser Details effektiv vorherbestimmt waren, um in Ordnung zu sein, . ... anstatt zuzugeben, dass "das Universum feindselig ist und die Dinge eher falsch als wahr sind ..."

Das heißt, während viele naive Vorstellungen natürlich falsch sind, behaupte ich, dass die gute Nachricht (bei der Elementaranalyse wie bei vielen anderen Dingen) darin besteht, dass die Dinge ziemlich gut ausgehen. Das heißt, obwohl es völlig vernünftig und vielleicht intellektuell verantwortungsbewusst ist, sich über Details Sorgen zu machen, stellt sich heraus, dass die Dinge nicht so schlimm sind, wie sie hätten sein können. (Man könnte argumentieren, dass wir dies überhaupt nicht tun würden, wenn dies nicht der Fall wäre.)

Ein kleiner, aber wichtiger Haftungsausschluss ist, dass im Wesentlichen alle „Einführungsanalyse“-Quellen ihren technischen Ausblick einschränken, so dass einige Fragen, die in relativ elementaren Begriffen gestellt werden können, aber keine wirklich kohärente Antwort in denselben Begriffen zulassen, .. ... trotzdem ... in manchmal gespenstischen Worten beantwortet. In meinem eigenen Lieblingsfall geht es um die Differenzierung eines Parameters innerhalb eines Integrals ... :)

Zusammenfassung: mehrere Quellen. Umschauen. (Und... es gibt keine Regeln.)

Es gibt Fehler s Rudin Buch. Der Satz von Taylor wird nicht gut gehandhabt. Differentialformen sind ziemlich chaotisch. implizite Umkehrung nicht sehr gut abgedeckt. Ich würde sagen, Pugh bietet viele Einblicke. aber die Übungen sind ziemlich schwer und die Maßtheorie ist nicht gut. Der Satz von Stokes ist nicht vollständig. Theorem über implizite und umgekehrte Funktionen sind gut, aber er sollte im letzten Absatz einen allgemeinen Beweis anbieten, den er den Übungen überlassen hat. Die Grundlagen von Bartles sind klassische Elemente der Realanalyse von Bartles. Langs stellt sogar Distributionen vor. Das Buch über Analyse im Grundstudium ist gut und gibt einige Einblicke. Einige Thoreme werden an verschiedenen Stellen auf zwei verschiedene Arten bewiesen, und Kommentare, die die Reihenfolge der Integration und Differenzierung unter Integralzeichen vertauschen, stehen in Zusammenhang.