Runge-Lenz-Vektor und Kepler-Bahnen

Ist der Verlust geschlossener Kepler-Bahnen in der relativistischen Mechanik direkt mit dem Fehlen des Runge-Lenz-Vektors verbunden?

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Ja, die beiden Verluste hängen direkt zusammen. Wie Goldstein erklärt, kann man für entartete Fälle wie das Kepler-Problem nur eine einfache Erhaltungsgröße wie den RL-Vektor erwarten, wo R ist eine einwertige Funktion von θ .

Für den isotropen harmonischen Oszillator ist die Bewegung wieder periodisch, und die entsprechende Erhaltungsgröße ist ein Tensor zweiter Ordnung, der ebenfalls als "einfach" gilt.

Für andere Kraftgesetze (wie GR) kommentiert Goldstein, dass konservierte Größen ähnlich dem RL-Vektor konstruiert werden können, aber "sie sind im Allgemeinen ziemlich eigenartige Funktionen", da R muss eine unendlichwertige Funktion von sein θ für diese nicht geschlossenen Bahnen.

Was ist die Definition von "einfach" in diesem Zusammenhang? Welches Kapitel/Abschnitt und/oder Seitenzahl in Goldstein sehen Sie sich an? Es ist für mich nicht offensichtlich, dass es gültig ist, die Bewegung eines Testteilchens in der Schwarzschild-Raumzeit als nur ein weiteres Kraftgesetz in der klassischen Mechanik zu behandeln, obwohl ich bereit wäre zu glauben, dass dies eine ausreichend gute Annäherung in einer Art Halb- Newtonsche Grenze.
@BenCrowell: „Einfach“ scheint etwas zu sein, was Professor Goldstein weiß, wenn er es sieht: „Nur dort, wo die Umlaufbahnen geschlossen sind … können wir erwarten, dass die zusätzliche Erhaltungsgröße eine einfache algebraische Funktion von r und p ist, wie z. B. die Laplace- Runge-Lenz-Vektor." Goldstein 2. Aufl., Abschnitt 3-9, S. 104-105 (und Abschnitt 9-7 für den isotropen harmonischen Oszillator).

In einem klassischen Kontext wird der LRL-Vektor nur für Potentiale konserviert, die sich wie verhalten k R , tatsächlich können wir den allgemeinen Aufbau des LRL-Vektors sehen:

D P → D T × L → = − ∂ R v ( R ) R → R × L → , μ R 3 D R ^ D T = − R → × L → , A → = P → × L → − ∫ D T ( ∂ R v ( R ) μ R 2 R ^ ˙ ) ,
da wir mit der Form nur ein Potential sehen können k R gib uns vektor A → als Konstante der Bewegung ...

Einige Beobachtungen:

  1. Für eine feste Flugbahn können Sie den Runge-Lenz-Vektor einfach ändern, indem Sie die Geschwindigkeit des Teilchens als Funktion der Zeit ändern.

  2. Wenn sich eine planare Umlaufbahn selbst schneidet, sieht es für mich aus der Form der Gleichung so aus, als könnten Sie denselben Runge-Lenz-Vektor erhalten, selbst wenn die Bewegung am erneut besuchten Punkt in eine andere Richtung geht.

  3. Bewegung in einem R 2 Potential ist periodisch, aber erhält den Runge-Lenz-Vektor nicht.

Aus diesen Gründen sehe ich keinen offensichtlichen Zusammenhang zwischen der Erhaltung des Runge-Lenz-Vektors und der Periodizität der Bewegung. Wenn Sie einen bestimmten Grund für den Verdacht einer solchen Verbindung haben, teilen Sie uns dies bitte mit.

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