Schwarze Löcher in der Allgemeinen Relativitätstheorie: Winkelgeschwindigkeit des Horizonts

Betrachten Sie zum Aufwärmen den nicht rotierenden Fall$\Omega_H=0$. Aus der Perspektive eines entfernten Beobachters scheint jedes punktförmige Testobjekt, das in ein nicht rotierendes Schwarzes Loch fällt, an dem Punkt einzufrieren, an dem seine Weltlinie den Horizont schneidet. Das wichtige Konzept hier ist, dass dies für jede zeitähnliche Weltlinie gilt , unabhängig davon, ob sie den freien Fall darstellt oder nicht.

Für ein rotierendes Schwarzes Loch gilt Ähnliches, aber jetzt dreht sich der Punkt, an dem das Objekt (aus der Perspektive eines entfernten Beobachters) einfriert, mit Winkelgeschwindigkeit um das Loch$\Omega_H$.

Um dies abzuleiten, betrachten Sie der Einfachheit halber die Bewegung in der Äquatorialebene. In Boyer-Lindquist-Koordinaten$t,\phi,r$, ist die Metrik außerhalb eines Kerr-Schwarzen Lochs in dieser Gleichung für die Eigenzeit des Testobjekts enthalten$\tau$:

$$d\tau^2 = \frac{\Delta}{r^2}(dt-a\,d\phi)^2 -\frac{1}{r^2}\big((r^2+a^2)d\phi-a\,dt\big)^2 -\frac{r^2}{\Delta}dr^2 \tag{1}$$ mit $$\Delta\equiv r^2-2Mr+a^2 \tag{2}$$ Wo$M$Und$a$sind Konstanten, die das Schwarze Loch charakterisieren. Dies ist Gleichung 12.3.1 in Lit. 1, spezialisiert auf Bewegung in der Äquatorialebene. Der Ereignishorizont entspricht$\Delta = 0$. Multipliziere beide Seiten von Gleichung (1) mit$\Delta/dt^2$und addieren Sie dann die negativen Terme, um beide Seiten zu erhalten $$\Delta\,\dot\tau^2 +\frac{\Delta}{r^2}\big((r^2+a^2)\dot\phi-a\big)^2 +r^2\,\dot r^2 = \frac{\Delta^2}{r^2}(1-a \dot\phi)^2 \tag{3}$$ mit $$\dot\phi\equiv\frac{d\phi}{dt} \hspace{2cm} \dot r\equiv\frac{dr}{dt}. \tag{4}$$ Wenn sich das Objekt dem Ereignishorizont nähert ($\Delta=0$), geht die rechte Seite von (3) gegen Null, also muss auch die linke Seite gegen Null gehen. Die rechte Seite geht wie auf Null$\Delta^2$, und da alle Terme auf der linken Seite positiv sind, muss jeder von ihnen so schnell wie möglich auf Null gehen$\Delta^2$tut, wenn sich das Objekt dem Horizont nähert. Der zweite Term auf der linken Seite hat nur einen Faktor von$\Delta$, also der andere Faktor$((r^2+a^2)\dot\phi-a)^2$muss so schnell wie möglich auf null gehen$\Delta$tut: $$\dot\phi\to\frac{a}{r^2+a^2}, \tag{5}$$ bei dem die$r$auf der rechten Seite wird am Horizont ausgewertet. Gemäß Gleichung 12.3.19 in Lit. 1 ist die rechte Seite von (5) gleich$\Omega_H$am Horizont. Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Der Einfachheit halber habe ich die Bewegungsgleichungen in der Äquatorebene gezeigt, aber die Verallgemeinerung auf beliebige zeitähnliche Bewegungen ist einfach. Ersetzen Sie einfach Gleichung (1) durch die vollständige Kerr-Metrik und folgen Sie dann den gleichen Schritten.

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Referenz:

1. Wald (1984), Allgemeine Relativitätstheorie