Senken/Erhöhen von Metrik-Indizes

Ich weiß, dass dies eine alte und bereits beantwortete Frage ist, aber ich dachte, ich würde ein wenig darauf eingehen, was "hinter den Kulissen" vor sich geht. Wenn es um Tensoren zweiten Ranges geht, ist es manchmal besser, überhaupt nicht an Matrizen zu denken, weil das die Unterscheidung zwischen so etwas verwischt$A_{\mu \nu}$und sowas$A^\mu_{\ \ \nu}$, die qualitativ sehr unterschiedliche Bestien sind.$A_{\mu \nu}$ist eine bilineare Form - eine bilineare Abbildung, die zwei Vektoren eingibt und einen Skalar ausgibt, oder äquivalent eine lineare Abbildung, die einen Vektor eingibt und eine Eins-Form ausgibt.$A^\mu_{\ \ \nu}$ist ein linearer Operator - eine bilineare Abbildung, die einen Vektor und eine Einsform eingibt und einen Skalar ausgibt, oder äquivalent eine lineare Abbildung, die einen Vektor eingibt und einen anderen Vektor ausgibt. Sie sind sehr unterschiedlich, da sich bei einer bilinearen Form die Eingabe und die Ausgabe in zwei völlig unterschiedlichen Räumen befinden und nicht addiert oder direkt verglichen werden können. (Stellen Sie sich das wie eine nicht-quadratische Matrix vor.)

Wenn Sie an Ihren Kurs in linearer Algebra zurückdenken, werden Sie sich wahrscheinlich daran erinnern, dass die Matrizen immer als lineare Operatoren betrachtet wurden. Und tatsächlich sind viele Werkzeuge der linearen Algebra, wie Eigenvektoren, Eigenwerte, Spur, Determinante usw., nur für lineare Operatoren definiert.

Sie können also tatsächlich nicht die Spur einer Bilinearität nehmen$A_{\mu\nu}$. Sie können auch keine Eigenwerte oder Eigenvektoren definieren. Sicher, Sie können es auf einer bestimmten Basis als Matrix schreiben, so tun, als wäre es ein linearer Operator, und dann die Eigenwerte dieses linearen Operators finden, aber das Ergebnis ist basisabhängig und daher nicht von physikalischem Interesse. Wenn Sie sagen, Sie können "die Metrik verwenden, um die Spur zu nehmen$\eta^{\mu \nu} A_{\mu \nu}$der bilinearen Form$A_{\mu \nu}$,“ Was Sie wirklich tun, ist (a) die Metrik zu verwenden, um die bilineare Form in einen linearen Operator umzuwandeln, und dann (b) die Spur dieses linearen Operators zu nehmen , ohne die Metrik zu verwenden. Tatsächlich die Spur einer linearen Operator ist ein Metrik-unabhängiges Konzept, da die Indizes bereits an den richtigen Stellen vorhanden sind und kontrahiert werden können.

(Die Determinante ist eigentlich ein etwas subtiler Fall, denn obwohl die Metrik$g_{\mu \nu}$ist eine bilineare Form, für nicht-kartesische Koordinatensysteme die Determinante$\det g$der Metrik ist ein gültiges und nützliches Konzept. Es ist jedoch kein Tensor, es ist eine "Tensordichte". Das ist eine andere Geschichte.)

Wie auch immer, die "Aufgabe" der Metrik besteht darin, Indizes zu erhöhen und zu senken. Wenn sie also nicht wirklich die Indexhöhen ändert, sollte sie trivial wirken. Die Form der Metrik mit einem Index nach oben und einem Index nach unten ist also immer der lineare Identitätsoperator$\delta^\mu_{\ \ \nu}$. Das gilt für jedes Koordinatensystem, gekrümmte Raumzeit, was auch immer. Deshalb verwenden die Leute fast immer die Notation$\delta^\mu_{\ \ \nu}$anstatt$\eta^\mu_{\ \ \nu}$. Das ist auch der Grund für den Tensor mit zwei oberen Indizes$\eta^{\mu \nu}$ist als Kehrwert der Metrik definiert$\eta_{\mu \nu}$. (Beachten Sie auch hier die Subtilität – die Metrik gibt einen Vektor ein und gibt eine Eins-Form aus, also muss die inverse Metrik eine Eins-Form eingeben und einen Vektor ausgeben.)

Jetzt ist die Antwort auf Ihre Frage klar: Die Spur der Metrik ist immer gerade$\delta^\mu_{\ \ \mu} = d$, die Anzahl der Raumzeitdimensionen. Nochmals, wahr in jedem Koordinatensystem, gekrümmte Raumzeit, was haben Sie. Dass die Spur der Matrixdarstellung von$\eta_{\mu \nu}$ist 2 hat keine physikalische Bedeutung. (Nun, okay, gut, in kartesischen Koordinaten auf flacher Raumzeit ist es die summierte metrische Signatur , die physikalisch signifikant ist. Aber im Allgemeinen hat sie keine physikalische Bedeutung.)

Der Fehler, den Sie gemacht haben, ist dieser:$\eta^{\mu}_{\nu} \neq \eta_{\mu\nu}$. Wenn Sie den Index erhöhen$\mu$von unten nach oben ändern sich die Matrixelemente.$\eta^{0}_{0} = 1$,$\eta_{00} = -1$. Deshalb nehmen Sie die Spur von$\eta_{\mu\nu}$, Sie erhalten 2, aber wenn Sie die Spur von nehmen$\eta^{\mu}_{\nu}$du bekommst 4.