Serienkombination von Spring

Das Finden der äquivalenten Feder und das Lösen der 1DOF-Gleichung ist eine Abkürzung zu einem komplexeren Problem. Wenn Sie also mehr über den komplexeren Ansatz erfahren möchten, dann lesen Sie weiter.

Das Problem ist ein Spezialfall des allgemeinen Problems mit zwei Federn und zwei Massen. Der Sonderfall liegt vor, wenn eine der Massen Null ist.

Das allgemeine Problem hat also Masse$m_1$(der schwarze Punkt) am Ende von$k_1$Und$m_2$(das graue Kästchen) am Ende von$k_2$.

Die Bewegungsgleichungen in Bezug auf die Positionen der Massen $x_1$Und$x_2$sind wie folgt:

$$\begin{aligned} m_1 \ddot{x}_1 & = -k_1 x_1 + k_2 (x_2-x_1) \\ m_2 \ddot{x}_2 & = -k_2 (x_2-x_1) \end{aligned} \tag{1}$$

_{Beachten Sie die Op- Verwendungen$x_1$Und$x_2$für Federverlängerungen, und ich verwende diese Variablen als Massenpositionen. Die Verlängerung der ersten Feder gleich$x_1$, aber die Ausdehnung der zweiten Federn ist gleich$x_2-x_1$.}

Jede Lösung des Obigen ist die Überlagerung der beiden natürlichen Frequenzgänge des Systems. Und es gibt einen Standardweg, um dieses Problem mit Eigenwerten und Eigenvektoren und etwas linearer Algebra zu lösen.

Aber in diesem Fall$m_1=0$was die obigen Gleichungen gleich macht

$$\begin{aligned} 0 & = -k_1 x_1 + k_2 (x_2-x_1) \\ m_2 \ddot{x}_2 & = -k_2 (x_2-x_1) \end{aligned} \tag{2}$$

was sie zu einem DAE-System (Algebraische Differentialgleichungen) macht. Hier lösen Sie die erste Gleichung nach auf$x_1$und setze es in die zweite Gleichung ein.

$$m_2 \ddot{x}_2 = -\underbrace{\left( \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} \right)}_{k_{\rm eq}} x_2 \tag{3}$$

Die Lösung ist also dieselbe wie das Lösen einer 1DOF-Differentialgleichung in Bezug auf$x_2$unter Verwendung der entsprechenden Feder$k_{\rm eq}$. Beachten Sie, dass für jede Lösung von$x_2$der Wert von$x_1$ergibt sich aus (2) mit

$$x_1 = \frac{k_2}{k_1+k_2} x_2 \tag{4}$$

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Anhang I

Die beiden Eigenfrequenzen des allgemeinen Systems sind

$$\begin{aligned} \omega_1^2 & = \frac{ \left( \tfrac{k_1+k_2}{m_1}+\tfrac{k_2}{m_2}\right) - \sqrt{ \left( \tfrac{k_1+k_2}{m_1}+\tfrac{k_2}{m_2}\right)^2 - \tfrac{4 k_1 k_2}{m_1 m_2}}}{2} \\ \omega_2^2 & = \frac{ \left( \tfrac{k_1+k_2}{m_1}+\tfrac{k_2}{m_2}\right) + \sqrt{ \left( \tfrac{k_1+k_2}{m_1}+\tfrac{k_2}{m_2}\right)^2 - \tfrac{4 k_1 k_2}{m_1 m_2}}}{2} \end{aligned} \tag{5}$$

Für den Fall wann$m_1=0$dann wird das obige

$$\begin{aligned} \omega_1^2 & = \pm \infty \\ \omega_2^2 & = \frac{\tfrac{k_1 k_2}{k_1+k_2}}{m_2} \end{aligned} \tag{6}$$

Anhang II

Die Bewegungsgleichungen in Form von Federdehnungen $x_1$Und$x_2$Sind

$$\begin{aligned} m_1 \ddot{x}_1 & = -k_1 x_1 - k_2 x_2 \\ m_1 \ddot{x}_1 + m_2 \ddot{x}_2 & = -k_2 x_2 \end{aligned} \tag{7}$$

mit der Lösung für$m_1=0$als

$$x_1 = \frac{k_2}{k_1} x_2$$ Und

$$\ddot{x}_1+ \ddot{x}_2 = - \frac{k_2}{m_2} x_2$$

aber seit$x_1$ist eine Funktion von$x_2$nur dann$\ddot{x}_2 = \tfrac{k_2}{k_1} \ddot{x}_1$und die 1DOF-Gleichung wird

$$\left( 1 + \frac{k_2}{k_1} \right) \ddot{x}_2 = - \frac{k_2}{m_2} x_2$$

was äquivalent zu (3) wird, wenn es aufgelöst wird$\ddot{x}_2$.

Wie üblich benötigen Sie 2 Gleichungen, um ein Problem mit 2 Variablen zu lösen. Ich würde anfangen zu versuchen, eine Beziehung zwischen zu finden$x_1$Und$x_2$. Es sollte eine geben, oder? Wenn Sie an einem Ende der Federn ziehen, sollte sich das Gelenk in einer Position stabilisieren, die proportional dazu ist$k_1$Und$k_2$.

Ein Hinweis ist, dass das Gelenk zwischen den Federn auch dem dritten Newtonschen Gesetz folgt ;)

Bei Wikipedia wird davon ausgegangen, dass wir schreiben können$F=k_{eq}(x_1+x_2)$Ich verstehe nicht, woher sie wissen, dass du das überhaupt kannst.

Es macht ziemlich viel Sinn für mich. Sie suchen das Verhalten der Masse am Ende. Die Masse bewegt sich aufgrund der von den Federn auf sie wirkenden Kräfte.

Die Sache mit der äquivalenten Federkonstante ist, dass wir damit die Kraft des Federsystems bestimmen können, indem wir mehrere Federn zu einer einzigen Feder vereinfachen, die die gleiche Kraft für die gleiche Verschiebung der Masse erzeugt, also indem wir das Verhalten für das äquivalente System lösen , erhalten wir auch das Verhalten für das gewünschte System, da nur die Federkraft auf die Masse einwirkt und die Federkraft vollständig durch äquivalente Federkonstanten bestimmt werden kann.

Ich werde versuchen zu zeigen, wie es für Serienfedern im Allgemeinen funktioniert.

Wir wollen es zu einer gleichwertigen Quelle bringen, wo:

$$F_{m} = -k_{eq} (x_1 + x_2)$$

(Ich rufe an$F_{m}$die auf die Masse wirkende Kraft) Bei in Reihe geschalteten Federn müssen masselose Federn alle mit der gleichen Kraft beaufschlagt werden. Aus diesem Grund wissen wir:

$$F_{m} = F_{1} = F_{2}$$

Wo$F_{1}$ist die Kraft auf Feder eins und$F_{2}$ist die Kraft auf Feder 2. Using$F_{1} = -x_1 k_1$Und$F_2 = -x_2k_2$und Neuordnung für$x_1$Und$x_2$wir bekommen:

$$x_1 = - \frac {F_1}{k_1} \\\ x_2 = -\frac {F_2}{k_2}$$

Wir können ersetzen$x_1$Und$x_2$in die Gleichung für die äquivalente Federkonstante ein. Außerdem werde ich schreiben$F_m$,$F_1$Und$F_2$als gerecht$F$jetzt, da wir wissen, dass sie alle gleichwertig sind. Nach Substitution erhalten wir:

$$F = -k_{eq} (- \frac {F}{k_1} -\frac {F}{k_2})$$

Das doppelte Negativ loswerden:

$$F = k_{eq} ( \frac {F}{k_1} +\frac {F}{k_2})$$

Wenn wir jetzt bringen$F$nach rechts und$k_{eq}$links sehen wir die bekanntere Form:

$$\frac {1}{k_{eq}} = (\frac {1}{k_1} + \frac {1}{k_2})$$

Sie können also aus der Ableitung ersehen, dass die Verwendung der äquivalenten Federkonstante tatsächlich die gleiche Kraftausgabe ergibt, als ob Sie die Verschiebungen jeder Feder separat addieren würden, und Sie müssen daher nur die gesamte äquivalente Verschiebung verwenden$(x_1 + x_2)$als eine Variable zusammen mit der einzigen äquivalenten Federkonstante, anstatt beide separat zu behandeln, um genau die gleiche Ausgabe auf die Masse zu erhalten.