Starre Körper - das Rad

Wie ich in letzter Zeit in meinem Mechanikkurs gelernt habe:

Das Rad hat eine einzigartige Eigenschaft: In jedem Moment der Bewegung ist der Berührungspunkt zwischen Rad und Boden nicht in Bewegung und daher wird keine Arbeit durch die Reibungskraft geleistet.

Jetzt werden viele dieser Probleme durch die Verwendung des 2. Newtonschen Gesetzes und seines Rotationsanalogs gelöst.

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, ein Rad mit einer Masse zu haben M und einen Radius R Rollen auf einem Abhang, der einen Winkel von erzeugt θ und wir wollen seine Beschleunigung berechnen, dann können wir beginnen, indem wir schreiben:

M A = M G Sünde ⁡ θ − F F

und die analoge Gleichung für das Drehmoment:

F F R = ICH a .

Wo F F ist die Reibungskraft. Nun, die erste Gleichung ist das 2. Newtonsche Gesetz, das auf den Massenmittelpunkt des Rades angewendet wird, und wie wir sehen, ist eine der Kräfte die äußere Reibungskraft. Nun, obwohl der Berührungspunkt im Moment nicht in Bewegung ist, bewegt sich der Massenmittelpunkt, und in der Gleichung nehmen wir an, dass es eine Reibungskraft auf den Massenmittelpunkt gibt und daher tatsächlich Arbeit verrichtet wird. Jetzt, nachdem ich eine Weile darüber nachgedacht habe, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass dies sinnvoll ist, denn wenn wir das Rad als Massenpunkt sehen, der sich im Zentrum befindet, dann bleibt die Energie nicht erhalten, weil ein Teil davon auf das Rad übertragen wird Spin und deshalb haben wir die zweite Gleichung.

Die Frage, mit der ich Probleme habe, ist, ob die "Arbeit" der Reibungskraft am Massenmittelpunkt gleich der Energie ist, die auf die Drehung des Rades übertragen wird.

Können Sie Ihre Frage präzisieren? In Ihrer ersten Zeile sagen Sie (richtig), dass die Radoberflächenreibung keine Arbeit leistet, aber am Ende erwähnen Sie "Arbeit" der Reibungskraft. Falls dies hilft: Dass die Reibungskraft keine Arbeit leistet, bedeutet nicht, dass Sie sie ignorieren können - ohne sie gäbe es keine Drehung und das Rad würde einfach nach unten rutschen.
Haben Sie versucht, dieses Problem zu lösen? Schreiben Sie den Ausdruck für die durch Reibung ausgeübte "Kraft" auf (wie in Ihrer Fragestellung definiert). Schreiben Sie dann den Ausdruck für die vom Drehmoment geleistete Leistung auf. Sehen Sie, ob sie gleich sind.
Ich habe das Problem gelöst. Aber ich habe immer noch Probleme, denn wenn ich mir die 2. Newton-Gleichung ansehe, gibt es eine Kraft, die auf ein sich bewegendes Objekt (den Massenmittelpunkt) wirkt. Wenn man sich also nur diese Gleichung ansieht, zeigt sich, dass es in der linearen Welt Energieverlust gibt (und es macht Sinn, weil es sich um den Spin handelt, der nicht im Newtonschen Gesetz, sondern nur in der anderen Gleichung ausgedrückt wird). Meine Frage ist, ob dieser "Energieverlust" von der linearen Welt zum Spin der "Arbeit" entspricht, die die Reibung am Massenmittelpunkt leistet. formell frage ich Wetter Fdx=dE während F=Reibung, x=cm, dE=Verlust an linearer Energie

Antworten (2)

Die beste Behandlung dieser Art von Fragen, die ich gesehen habe, stammt von Sherwood und Chabay in Matter and Interactions .

Wenn Sie das Rad als Teilchen betrachten (das „Punktteilchen“-System), dann kann es sich nicht drehen, weil Teilchen keine physikalische Ausdehnung haben. Das bedeutet, dass der Abstand in der Definition von Arbeit der Abstand ist, den der Massenmittelpunkt zurücklegt. Das bedeutet auch, dass das Teilchenrad nur translatorische kinetische Energie haben kann. Die Verschiebung des Massenmittelpunkts sei Δ X , was eine Distanz ist D das Flugzeug hinunter.

W N e T , P P = M G → ⋅ Δ X + F → S ⋅ Δ X = M G D − F S D = Δ E = 1 2 M v F 2

Wird das Rad jedoch als physikalisches Objekt (das „echte“ System) modelliert, dann ist der Angriffspunkt jeder Kraft ihr realer Kontaktpunkt, der sich nicht durch die Reibungskraft, sondern durch das Gewicht bewegt (weil es das CM ist). Es kann jedoch jetzt kinetische Rotationsenergie haben.

W N e T , R = M G → ⋅ Δ X + F S ⋅ 0 = M G D = Δ E = 1 2 M v F 2 + 1 2 ICH ω F 2

Die Kombination der Ausdrücke zeigt Folgendes:

F S D = 1 2 ICH ω F 2

Sie könnten das System in beiden Fällen auch so modifizieren, dass es die Erde in das System einbezieht, was diese positive Arbeit, die durch die Schwerkraft auf der linken Seite geleistet wird, in einen Verlust umwandeln würde U G auf der RHS.

Die Größe der durch Reibung bei einer linearen Bewegung geleisteten Arbeit ist nur dann gleich der durch das Reibungsdrehmoment geleisteten Arbeit, wenn das Rad leicht rollt.

Im glatten Rollen haben wir

v C M = ω R
(Dies entspricht der Tatsache, dass der Kontaktpunkt in Ruhe ist)

oder gleichwertig:

D X = D θ R

Nun die Reibungsarbeit bei linearer Bewegung:

D W F = − F F ⋅ D X

und die durch das Reibungsmoment verrichtete Arbeit ist:

D W F = τ ⋅ D θ = F F R D θ = F F R D X R = F F D X
.

Die "zwei Werke" sind also gleich groß und es wird keine Energie verbraucht.

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