Statistische Mechanik und Universalität der Planckschen Konstante

Auf Fragen , die nach Plancks konstantem Eintritt in die statistische Mechanik fragen, ist eine übliche und akzeptierte Antwort, dass die Plancksche Konstante eine willkürliche Normalisierung ist, die bei der Berechnung experimentell messbarer Größen herausfällt .

Konkret heißt es in den obigen Fragen, dass H eintritt, um das Produkt zu entdimensionalisieren D P D Q oder zu normalisieren D P D Q Zustände zu zählen, und die Wahl einer solchen Konstante mit Wirkungseinheiten ist nahezu willkürlich.

Überlegen Sie im Gegenteil, wie man Größen in der großkanonischen Gesamtheit mit einer variablen Anzahl von Teilchen berechnet - erwähnt in dieser Frage .

Im großkanonischen Ensemble ist das Schlüsselpotential das große Potential, das ist

Φ = U − T S − μ N .
Die Verbindung zur statistischen Mechanik kommt von
Φ = − k T ln ⁡ ( Z ) ,

Wo

Z = ∑ N e β μ N Z ( v , N , T ) .

Betrachten Sie der Einfachheit halber eine klassische Partitionsfunktion Z für N nicht wechselwirkende Teilchen. Das haben wir dann

Z = 1 H 3 N N ! ( ∫ D 3 P D 3 Q e − β E ( P , Q ) ) N

Daraus ergibt sich wiederum das

Z = e 1 H 3 ( ∫ D 3 P D 3 Q e − β E ( P , Q ) ) e β μ

und das wiederum Φ ist proportional zu 1 H 3 :

Φ = − k T 1 H 3 ( ∫ D 3 P D 3 Q e − E ( P , Q ) k T ) e μ k T .

Beispielsweise für nicht wechselwirkende masselose Teilchen mit E = C P in einer Box mit zwei internen Freiheitsgraden mit μ = 0 (also ein naives Lichtbild, ohne jegliche H in die Energie stecken oder was auch immer), wir haben

Φ = − 16 π k 4 H 3 C 3 T 4 v .
Dies führt zu einem Druck

P = 16 π k 4 H 3 C 3 T 4
aus der obigen thermodynamischen Beziehung.

Wie du sehen kannst, H geht in eine experimentell messbare Größe ein! Über den Druck eines solchen Gases könnte man also experimentell die Plancksche Konstante messen. Ich überlasse es Ihnen, das zu überprüfen H tritt auch in den Druck eines nicht relativistischen Gases ein μ .

Das entnehme ich den obigen Argumenten H ist nicht einfach eine willkürliche Konstante zur Entdimensionalisierung des Produkts D P D Q . Angesichts dieser Sichtweise, dass die Entdimensionalisierung von D P D Q experimentelle Auswirkungen hat, können wir zeigen, dass für jedes System im thermodynamischen Gleichgewicht die Entdimensionalisierungskonstante H muss eine universelle Konstante sein? Das heißt, da die Entdimensionalisierung nicht willkürlich ist, können wir zeigen, dass die Entdimensionalisierungskonstante für alle Gleichgewichtssysteme in der klassischen statistischen Mechanik gleich sein muss?

Antworten (2)

Ich denke nicht, dass der Wert der Normalisierungskonstante, die das Phasenraumintegral in der Zustandssumme entdimensionalisiert, willkürlich ist. Bereits 1912 verwendeten Sackur und Tetrode Dampfdruckdaten von Quecksilber, um seinen numerischen Wert zu bestimmen, und stellten fest, dass es sich um die gleiche Konstante handelte, die Planck beim Studium der Schwarzkörperstrahlung entdeckte.

Ich weiß nicht, ob es damals einen grundsätzlichen Grund gab anzunehmen, dass diese Konstante universell, dh unabhängig vom verwendeten Material, ist. Die Heisenbergsche Unschärferelation, die 15 Jahre später entdeckt wurde, lieferte diesen Grund.

Ich empfehle dieses Papier für eine aufschlussreiche Diskussion und historische Perspektive der Arbeit von Sackur und Tetrode.

(h/t zu Semiclassical , der mir geholfen hat, das herauszufinden) Die Sackur- und Tetrode-Gleichung ergibt nur ein experimentell messbares Ergebnis H vom Dampfdruck, wenn Sie ein gutes Modell für die Wärmekapazität des Festkörpers als Funktion der Temperatur haben. Beide verwenden dafür Varianten des Einstein-Modells [siehe unten auf Seite 10 in dem von Ihnen verlinkten Papier], das ein Quantenmodell ist, also begründet dies nicht die Behauptung, dass H ist rein in der klassischen statistischen Physik messbar.
@ACuriousMind Vielen Dank, dass Sie sich damit befasst haben. Zwei Kommentare: (1) Wie Sie betonen, verwendete der zitierte Artikel ein Einstein-artiges Modell, um die Wärmekapazität von festem Quecksilber zu berechnen. Aber ist das unbedingt notwendig oder liegt es an fehlenden experimentellen Daten? Ich würde davon ausgehen, dass zumindest im Prinzip die Wärmekapazität gemessen werden könnte, was den Sackur-Tetrode-Ansatz zu einer praktikablen Bestimmungsmethode machen würde H ohne zugrunde liegendes quantenmechanisches Modell.
@ACuriousMind (2) Vielleicht noch wichtiger, ich glaube, es ist falsch zu sagen, dass der Wert der Menge H das in der klassischen Partitionsfunktion erscheint, ist "beliebig", was für mich so klingt wie "es spielt keine Rolle, welchen Wert Sie verwenden, die Ergebnisse sind immer gleich". Es scheint mir, dass es nur einen richtigen Wert gibt (6,626E-34 m^2 kg / s), aber dieser Wert wird nicht von der klassischen Theorie vorhergesagt und muss stattdessen aus Experimenten gewonnen werden.
@ user8153 Vielleicht ist das Folgende ein besserer Weg, um zu sagen, was H ist: In der reinen klassischen statistischen Mechanik ist der Wert von H ist irrelevant - Sie können alle physikalisch messbaren Größen in Begriffen ausdrücken, die sie nicht beinhalten. Es gibt nicht nur keine klassische Vorhersage, sondern auch keine rein klassische Messvorschrift. Die klassische statistische Mechanik ist agnostisch , ob H ist ein grundlegendes Merkmal des Universums oder ein Trick des Theoretikers. Unser heutiges Wissen über die Quantenmechanik legt seine Rolle fest darauf fest, erstere zu sein.
Beachten Sie auch, dass eine Messung der Wärmekapazität an diskreten Punkten nicht ausreicht – die ST-Gleichung enthält ein Integral über die Wärmekapazität bei konstantem Druck bis zum absoluten Nullpunkt . So gut wir auch darin sein mögen, Experimente herauszufinden, ich bezweifle, dass es ein Experiment gibt, mit dem Sie die Daten sammeln können, die für eine gute Annäherung an dieses Integral erforderlich sind.
Vielen Dank für die Diskussion. Die Messung der Wärmekapazität an diskreten Punkten kann ein Integral mit hoher Genauigkeit approximieren. Ich glaube, die Verwendung von Kryostaten sollte es einem ermöglichen, Hunderte von Temperaturen abzutasten und den Wert von h mit hoher Präzision zu finden. Sogar in den 1970er Jahren (pubs.acs.org/doi/pdf/10.1021/je60047a035) konnten wir anständige Wärmekapazitätsdaten vom absoluten Nullpunkt finden
@ACuriousMind Vielen Dank für die Klarstellung. Ich bin mir nicht sicher, wie ich Ihre Kommentare mit der Arbeit von Sackur-Tetrode kombinieren soll. Ist Gleichung (41) in dem zitierten Rückblick nicht eine rein auf klassischer statistischer Mechanik basierende Messvorschrift, mit der man den Zahlenwert von bestimmen kann H aus experimentellen Beobachtungen (zumindest im Prinzip - wie Sie sagen, könnte es schwierig sein, genaue Wärmekapazitätsdaten zu erhalten)? Es scheint mir, dass unterschiedliche Werte von H unterschiedliche Dampfdrücke ergeben würden, also nur ein bestimmter Wert von H macht die klassische Theorie mit dem Experiment konsistent.
Mir wurde klar, dass das Problem mit der Wärmekapazität überhaupt nicht experimentell ist: Eine rein klassische Theorie müsste die klassische Theorie der Festkörper verwenden, also eine konstante Wärmekapazität haben, wie von Dulong-Petit gefordert. Schon die Vorstellung einer temperaturabhängigen Wärmekapazität eines Festkörpers ist unklassisch. Das heißt, um sich überhaupt die experimentelle Vorschrift vorzustellen, in der Sie messen müssen C ( T ) Sie müssen bereits einen Teil der klassischen Thermodynamik weggeworfen haben.
@ACuriousMind Ich stimme zu, dass man ohne Quantenmechanik normalerweise keine korrekte theoretische Vorhersage für die Wärmekapazität treffen kann. Beispielsweise ist die am absoluten Nullpunkt verschwindende Wärmekapazität typischerweise ein Zeichen für quantisierte Energieniveaus. Allerdings kann die Wärmekapazität in der klassischen statistischen Mechanik sicherlich mit der Temperatur variieren. Man braucht einfach ein Hamiltonsches Sprichwort mit etwas komplizierter Impuls- oder Ortsabhängigkeit, so dass man die Temperaturabhängigkeit in den erforderlichen Integralen für zB die Zustandssumme nicht ersetzen kann.
Forts. Zum Beispiel führt das Einbeziehen von Wechselwirkungen zwischen Partikeln in einem Gas zu einer nicht konstanten Wärmekapazität mit der Temperatur und anderen Effekten wie Virialkoeffizienten ungleich Null. Der Wunsch, eine Wärmekapazität experimentell zu messen, ergibt sich aus der Temperaturabhängigkeit, die durch Wechselwirkungen zwischen Teilchen verursacht wird, und nicht nur aus der Quantisierung von Energieniveaus (der zugegebenermaßen typischerweise größere Effekt nahe dem absoluten Nullpunkt).
Obwohl diese Antwort den Universalitätsaspekt der Frage nicht vollständig angeht, fand ich den Artikel ausgezeichnet und bin zufrieden, dass ein klassisches Modell gepaart mit experimentellen Daten es einem ermöglichen kann, die Planck-Konstante zu messen. Daher habe ich dies als Antwort ausgewählt. Ich werde weiter über den Aspekt der Universalität nachdenken und alle Aktualisierungen als eigene Antwort hinzufügen.

Die Ableitung in der Frage ist irreführend, weil sie das chemische Potential vorzeitig auf Null setzt. Auch in Systemen, in denen es Null ist , müssen Sie es bis zur endgültigen Auswertung von Ausdrücken mitnehmen, da es sich um einen freien Parameter eines Makrozustands im großkanonischen Ensemble handelt.

Das chemische Potential enthält insbesondere a ln ⁡ ( H 3 / Sachen ) Faktor (zB das klassische ideale nicht-relativistische Gas hat μ ∝ ln ⁡ ( λ 3 N v ) , mit λ der thermischen de Broglie-Wellenlänge proportional zu H ), die, da es die Flüchtigkeit ist, die in physikalische Größen eintritt, sich gegen die aufhebt H 3 im Nenner.

Daher erfordert Ihr Ansatz keinen universellen klassischen Wert für H , da die Ergebnisse in Mengen ausgedrückt werden können, die nichts beinhalten H . Beachten Sie insbesondere, dass Sie das chemische Potential experimentell nicht direkt messen können μ - Sie müssen es aus indirekten Messungen berechnen, mit Formeln, die in diesem Fall ebenfalls enthalten sind H .

Danke für die Antwort. Im Grand Canonical Ensemble sind die festen Parameter T, V und μ . Der Druck und die Anzahl der Teilchen schwanken, weil sie nicht fixiert sind. Das glaube ich nicht μ ist ein freier Parameter.
Außerdem gibt es Fälle, in denen die Natur "repariert" μ und nicht die Anzahl der Teilchen, wobei das klassische Beispiel ein Photonengas ist. Wir können jedoch sogar reparieren μ und nicht die Anzahl der Teilchen, indem wir unser System an einem "Teilchenzahl"-Bad befestigen. So denke ich darüber, bitte lassen Sie mich Ihre Meinung hören: Ein Wärmebad kann Wärme abgeben, ohne seine Temperatur merklich zu ändern, bis ein angrenzendes kleineres System die gleiche Temperatur hat. Ein Teilchenzahlbad kann Teilchen abgeben, ohne sein chemisches Potential merklich zu ändern, bis ein angrenzendes kleineres System dasselbe chemische Potential hat.
@ user196574 μ ist im großen kanonischen Beispiel für einen bestimmten Makrozustand festgelegt . Es ist ein freier Parameter in dem Sinne, dass Ableitungen, die für ein System gelten sollen, für alle möglichen Werte dieses Parameters gelten müssen, genauso wie sie für alle Werte von gelten müssen T Und v (die der Zustandsgleichung gehorchen). Man kann nicht einfach sagen „aber T = 1 K in meinem System". Das ist keine Eigenschaft des Systems, sondern ein Zustand des Systems. In jedem experimentellen Test müssten Sie das in der Tat feststellen μ = 0 für den Zustand, den Sie messen, wodurch die Fähigkeit zum Messen verloren geht H .
Ich denke, ich muss mein Wissen über das chemische Potenzial auffrischen, bevor ich in die Rolle des zurückkehre H im großkanonischen Ensemble. Insbesondere, ob es notwendig ist, einen theoretischen Ausdruck dafür zu haben μ (das kommt darauf an H ) um einstellen zu können μ , oder ob sie Möglichkeiten darstellen, ein chemisches Potential ohne Kenntnis experimentell zu bestimmen H , ebenso wie es Möglichkeiten gibt, ein Volumen ohne Kenntnis experimentell zu bestimmen H .
Statistische Mechanik und Universalität der Planckschen Konstante
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v