Partitionsfunktion mit QM?

Eine Fußnote auf Wikipedia erklärt dies tatsächlich.

Das$h$in der Aufteilung des Phasenraums auftaucht, ist nicht die Plancksche Konstante, sondern einfach die Größe einer Phasenraumzelle, in der wir einzelne Zustände nicht mehr unterscheiden. Es ist zunächst willkürlich. Da die Plancksche Konstante eine natürliche Skala darstellt, unterhalb derer wir das klassische Denken nicht anwenden sollten, wird sie heutzutage oft als diese Konstante angesehen, aber nichts im klassischen Formalismus erfordert dies.

Sie haben Recht, dass es die Entropie beeinflusst, da dies der Fall ist

$$S = k\ln(W)$$

mit ¹

$$W = \frac{1}{h^n C} \int_{\text{phase space}}f(\frac{H - E}{\omega})$$

aber die logarithmische Eigenschaft$\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$bedeutet, dass dies aus allen Entropieunterschieden herausfällt, dh die Wahl von$h$hat keine körperlichen Auswirkungen. Der Überzählfaktor$C$hängt davon ab, ob der Austausch einzelner Teilchen / Phasenraumkoordinaten einen Unterschied im Makrozustand macht und ist$C = N!$zum$N$identische (klassischerweise nicht wirklich ununterscheidbare ) Teilchen.

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^{1 Hier,$n$ist die Anzahl der verallgemeinerten Koordinaten (die Anzahl der Partikel in den üblichen Einstellungen),$f(\frac{H - E}{\omega})$ist eine "Indikatorfunktion" des Hamiltonoperators$H$das gipfelt in$H = E$mit Breite$\omega$(Für jeden geeigneten Begriff der Breite könnte es z. B. als Gaußsche oder Rechteckfunktion angenommen werden. Oft nimmt man$\omega \to 0$, Verlassen$f$das Dirac-Delta sein$\delta(H - E)$, was bedeutet, dass das Integral dann auf die Oberfläche des durch die Gleichung gezeichneten Objekts zusammenbricht$H = E$im Phasenraum, der für freie Teilchen eine Kugel ist.}

Sie können die Analogie zur Quantenfeldtheorie anstellen, wo Sie aufgrund des Fehlens einer wohldefinierten mikroskopischen Theorie gezwungen sind, die Theorie zu regularisieren und hoffen, die Regularisierungsparameter eliminieren zu können, indem Sie sie in ein paar physikalische Größen (Masse, Ladung etc.).

Wenn Sie nun mit der richtigen Partitionsfunktion beginnen, die die richtige Statistik berücksichtigt (Fermi Dirac von Bose Einstein), landen Sie bei der Maxwell-Boltzmann-Statistik im Dilute Limit, wo Sie das Überzählen durch das N! im Nenner. Dies ist ein universelles Merkmal in der verdünnten Grenze, weil die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Teilchen denselben Zustand einnehmen, in dieser Grenze verschwindet.

Man könnte also sagen, dass Gibbs erfolgreich war, weil es eine universelle Theorie in der verdünnten Skalierungsgrenze gibt. Sie haben dann nur noch einen Skalierungsparameter (h). In Bezug auf h sind einige Größen wie Entropie unendlich, aber wie der ACuriousMind in seiner Antwort darauf hinweist, sind Entropieunterschiede unabhängig von h. Dies gilt nun nicht, wenn Sie Änderungen betrachten, bei denen Sie in einem Fall effektiv Freiheitsgrade eingefroren haben (z. B. Atome in einem Festkörper) und in dem anderen Fall nicht (z. B. ein Gas).