Wie viel Darstellung der Statistik bekommen wir in einem Lehrplan für statistische Mechanik? Was sind einige der nützlichen Facetten von Statistik, die nicht in Statistikmechs/Quantenmechs enthalten sind, die Physiker wirklich in Erwägung ziehen sollten, sich genauer anzusehen?
Ich stelle diese Frage in einer Position leichter Unkenntnis der allgemeinen Statistik und mit Interesse daran, zu erfahren, welche ungelehrten Aspekte davon für Physiker in den Fällen von nützlich sein können
a)Materialwissenschaft\Supraleitung und
b) Quanteninformation.
(Fühlen Sie sich frei, andere coole Anekdoten über weniger verwendete statistische Methoden in der Physik hinzuzufügen, wenn Sie sie haben.)
Lassen Sie mich zunächst wiederholen, was Yvan Velenik im Kommentar sagt: Die Terminologie ist etwas unglücklich, weil Sie nicht so viele Statistiken brauchen, sondern etwas Wahrscheinlichkeitstheorie.
Zur Erläuterung unter Zitat von Wikipedia ,
Statistik ist das Studium der Sammlung, Analyse, Interpretation, Präsentation und Organisation von Daten. [...] Statistik befasst sich mit allen Aspekten von Daten einschließlich der Planung der Datenerhebung im Hinblick auf die Gestaltung von Erhebungen und Experimenten.
In der Statistik geht es also in erster Linie um Daten und deren Analyse. Wenn Sie also ein Experiment durchführen, haben Sie eine Hypothese und sammeln Daten. Dann verwenden Sie viele Techniken der Statistik, um sie auszuwerten, wie z. B. Fehleranalyse, Vertrauenstests (wie z -Tests) usw.
Nichts davon ist in der statistischen Physik relevant, da es sich hier um ein rein theoretisches Modell handelt. Die statistische Mechanik untersucht das kollektive (sprich: durchschnittliche) Verhalten eines mechanischen Systems, dessen mikroskopisches Verhalten im Detail unbekannt ist. Das sind keine Daten. Was jedoch tatsächlich nützlich ist, ist die Wahrscheinlichkeitstheorie.
Lassen Sie mich also so frei sein, die Frage neu zu formulieren:
Welche ungelehrten Aspekte der Wahrscheinlichkeitstheorie können Physikern nützlich sein?
Und wir beschränken unser Gebiet auf Materialwissenschaften und/oder Quanteninformation. Da ich ein Quanteninformationstyp bin, werde ich hauptsächlich darüber sprechen.
Natürlich müssen gewisse Grundelemente bekannt sein: Zentrale Grenzwertsätze, grundlegende Erwartungswerte und die Idee der Wahrscheinlichkeitsdichten sind bereits in der Formulierung der Quantenmechanik enthalten, aber jeder Physiker hat wahrscheinlich schon davon gehört.
Ein weiteres, viel reichhaltigeres Feld für die Wahrscheinlichkeitstheorie wäre die Betrachtung von Rauschmodellen und das Anstellen von Dingen mit Rauschen. Als „Rauschen“ wird ein Einfluss bezeichnet, der nicht vollständig beschrieben werden kann, also führt man Zufallsvariablen oder sogar stochastische Prozesse (meist sehr einfache) ein. Betrachten Sie als zufälliges Beispiel (Wortspiel beabsichtigt) dieses Papier von Bravyi und König über die durch Unordnung unterstützte Fehlerkorrektur für Majorana-Fermionen . Hier kann es hilfreich sein, ein grundlegendes Verständnis dafür zu haben, was Zufallsvariablen bewirken können.
Ich habe dies auch gewählt, weil die Anderson-Lokalisierung ein gut untersuchtes Phänomen in der mathematischen Physik ist, das in den Materialwissenschaften auftreten kann. Dabei handelt es sich um bestimmte stochastische Prozesse, sodass deren Kenntnis interessant sein kann. Ebenso untersuchen Wahrscheinlichkeitstheoretiker gerne die Brownsche Bewegung (die ein Spezialfall eines stochastischen Prozesses ist) und Perkolationsmodelle, die auf materialwissenschaftliche Fragen angewendet werden können.
Ein weiterer sehr wichtiger Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie, dem Sie in der Quanteninformation begegnen könnten, ist die Markov-Theorie. Es gibt den Begriff einer Quanten-Markov-Kette , der in der Literatur viel untersucht wird. Darüber hinaus existieren ähnliche Definitionen von "Markovianity" für beliebige Kanäle und Quantenhalbgruppen (Kanäle vom Typ Wo ist ein Liouvillianer eines offenen Quantensystems) und ihr Studium profitiert von der Kenntnis der klassischen Literatur.
Ich könnte sehr gerne in diesem Stil weitermachen – die Frage ist eigentlich wirklich „zu breit“ – aber lassen Sie mich nur zwei letzte Aspekte erwähnen, die Ihnen in klassischen Wahrscheinlichkeitskursen begegnen würden: Martingale und Zufallsmatrizen. Beide Objekte werden hin und wieder in der Quanteninformation für verschiedene Zwecke verwendet. Zufallsmatrizen werden oft verwendet, um Rauschen zu modellieren, für Martingale, lassen Sie mich Sie zu einem Artikel führen, der sie für Zustandsschätzungsprozesse untersucht .
Lassen Sie mich zum Schluss noch anmerken, dass alle oben genannten Beispiele meist nur einführende Kenntnisse der Themen berücksichtigen, aber das bedeutet nicht, dass man nicht mehr ausgefallene Sachen anwenden könnte, aber dass es noch nicht getan wurde.
Sebastian Riese
Jan Velenik