Symmetrie in Bezug auf Matrizen

Normalerweise geschieht dies, weil sich die verschiedenen Teile in der Zerlegung "schön" umwandeln. Zum Beispiel transformieren sich die symmetrischen Teile normalerweise nur untereinander, ebenso die antisymmetrischen Teile. Diese Zerlegung erleichtert somit oft die Buchhaltung bei Kalkulationen.

Der Prozess ähnelt im Geiste dem Zerlegen von Vielteilchen-Spin-1/2-Zuständen in Zustände mit definiertem Gesamt-Nettospin: in diesem Fall Zustände mit einem gegebenen Netto-Gesamtspin$S$untereinander umwandeln.

Ein praktisches Nebenprodukt solcher Zerlegungen ist, dass sich einige Terme "durch Symmetrie" aufheben können, genau wie - sagen wir - einige Integrale offensichtlich sind$0$da der Integrand ungerade, aber das Integrationsintervall symmetrisch ist.

Als weitere Anwendung können Auswahlregeln auch zulassen oder verbieten, dass einige Prozesse nur auf der Grundlage von Symmetrieargumenten stattfinden, wobei in diesem Fall nur die richtig symmetrierten Teile übrig bleiben.

OP fragt im Grunde:

Warum zerlegen wir (reduzierbare) Gruppendarstellungen in irreduzible Gruppendarstellungen?

Teilantwort:

1. Die (reduzierbare) Darstellung zu klassifizieren.

2. Nicht reduzierbare Darstellungen können nicht weiter abgeschnitten werden, ohne die Gruppensymmetrie zu zerstören.

3. Denn bestimmte irreduzible Teilrepräsentationen der gegebenen (reduzierbaren) Repräsentation können zB durch Auswahlregeln, andere physikalische Prinzipien etc. verboten sein, und das sind immer nützliche Informationen.

^{Ein sehr interessantes Beispiel, wo die Symmetrie- oder Antisymmetrie-Invarianz erfolgreich genutzt wird, ist das Quark-Modell von Baryonen, die aus drei Quarks bestehen. Angenommen, wir kennen nur die Existenz von drei Quarks:$\boldsymbol{u}$,$\boldsymbol{d}$Und$\boldsymbol{s}$. Bei voller Symmetrie (gleiche Masse) sind dies die Grundzustände, let}

$$\begin{equation} \boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \boldsymbol{d}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \tag{B-01} \end{equation}$$ eines dreidimensionalen komplexen Hilbert-Raums von Quarks, sagen wir $\mathbf{Q}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}$. Ein Quark $\boldsymbol{\xi} \in \mathbf{Q}$wird in Bezug auf diese Grundzustände ausgedrückt als $$\begin{equation} \boldsymbol{\xi}=\xi_1\boldsymbol{u}+\xi_2\boldsymbol{d}+\xi_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3 \end{bmatrix} \qquad \xi_1,\xi_2,\xi_3 \in \mathbb{C} \tag{B-02} \end{equation}$$ Nehmen wir 2 weitere Quarks, um aus 3 Quarks Baryonen zu konstruieren $$\begin{equation} \boldsymbol{\eta}=\eta_1\boldsymbol{u}+\eta_2\boldsymbol{d}+\eta_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \eta_1\\ \eta_2\\ \eta_3 \end{bmatrix} \:, \qquad \boldsymbol{\zeta}=\zeta_1\boldsymbol{u}+\zeta_2\boldsymbol{d}+\zeta_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \zeta_1\\ \zeta_2\\ \zeta_3 \end{bmatrix} \tag{B-03} \end{equation}$$ Ein Baryonenstaat $\:T\:$im Produktbereich $$\begin{equation} \mathbf{B}=\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\mathbf{Q}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}=\mathbb{C}^{\boldsymbol{27}} \tag{B-04} \end{equation}$$ ist das Produkt der Zustände von über 3 Quarks $$\begin{equation} T=\boldsymbol{\xi}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{\eta}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{\zeta} \tag{B-05} \end{equation}$$ wird also durch einen Tensor mit drei Indizes dargestellt $$\begin{equation} T_{ijk}=\xi_{i}\eta_{j}\zeta_{k}\:,\qquad i,j,k \in \left\lbrace 1,2,3\right\rbrace \tag{B-06} \end{equation}$$ Jetzt unter einer einheitlichen Transformation $\;U=u_{\ell m} \in SU(3)\;$im dreidimensionalen Raum der Quarks $\;\mathbf{Q}\;$, das ist $$\begin{equation} \boldsymbol{\xi}^{\prime}=U\boldsymbol{\xi}\:,\qquad\boldsymbol{\eta}^{\prime}=U\boldsymbol{\eta}\:,\qquad \boldsymbol{\zeta}^{\prime}=U\boldsymbol{\zeta} \tag{B-07} \end{equation}$$ oder nach Komponenten $$\begin{equation} \xi^{\prime}_{\rho}=u_{\rho i}\xi_{i}\:,\qquad \eta^{\prime}_{\sigma}=u_{\sigma j}\eta_{j}\:,\qquad \zeta^{\prime}_{\tau}=u_{\tau k}\zeta_{k} \tag{B-08} \end{equation}$$ für die Transformation des Baryonenzustandes, den wir haben $$\begin{equation} T^{\prime}_{\rho\sigma\tau}=\xi^{\prime}_{\rho}\eta^{\prime}_{\sigma}\zeta^{\prime}_{\tau} =\left(u_{\rho i}\xi_{i}\right)\left(u_{\sigma j}\eta_{j} \right)\left(u_{\tau k}\zeta_{k}\right)=\left(u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k}\right)\xi_{i}\eta_{j}\zeta_{k} \tag{B-09} \end{equation}$$ also ^{[Anmerkung A]} $$\begin{equation} T^{\prime}_{\rho\sigma\tau}=\left(u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k}\right)T_{ijk} \tag{B-10} \end{equation}$$ ^{Um die invarianten Teilräume oder mit anderen Worten die irreduziblen Darstellungen zu finden, versuchen wir, die invarianten Eigenschaften des Gesetzes zu finden (B-10). Also notieren wir, dass wenn$\:T_{ijk}\:$bezüglich eines Indexpaares symmetrisch (+) oder antisymmetrisch (-) ist, let$\:(i,j)\:$, ebenso der transformierte Zustand$\:T^{\prime}_{\rho\sigma\tau}\:$in unserem Fall bezogen auf das jeweilige Indexpaar$\:(\rho,\sigma)$, seit $$\begin{equation} T_{ijk}=\;\pm\;T_{jik} \Longrightarrow T^{\prime}_{\rho\sigma\tau}=\left(u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k}\right)T_{ijk} =\;\pm\;\left(u_{\sigma j}u_{\rho i}u_{\tau k}\right)T_{jik}=\;\pm\; T^{\prime}_{\sigma\rho\tau} \tag{B-11} \end{equation}$$ Wenn ein Tensor$\:T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}\cdots i_{s}\cdots i_{p}}\:$mit$\:p\:$Indizes ist symmetrisch (antisymmetrisch) in Bezug auf jedes Paar von ihnen$\:\left( i_{r},i_{s}\right)$, dann nennen wir es total symmetrisch (antisymmetrisch) oder einfach symmetrisch (antisymmetrisch).}

^{Als ersten Schritt extrahieren wir aus$\:T_{ijk}\:$ein völlig symmetrischer Teil$\:S_{ijk}\:$und ein total antisymmetrischer Teil$\:A_{ijk}\:$}

$$\begin{equation} T_{ijk}= S_{ijk}+A_{ijk}+R_{ijk} \tag{B-12} \end{equation}$$ und überprüfen Sie danach die Eigenschaften des Restteils $\:R_{ijk}.$ ^{Jetzt,$\:T_{ijk}\:$ist ein$\:3^{3}\!=\!27\!-\!$dimensionale Größe und für unseren Zweck klassifizieren wir die Menge ihrer 27 Elemente in 10 Klassen wie im folgenden Schema: $$\begin{equation} \begin{matrix} 01)\left[300\right]: & T_{111} \\ 02)\left[210\right]: & T_{112},T_{121},T_{211} \\ 03)\left[201\right]: & T_{113},T_{131},T_{311} \\ 04)\left[120\right]: & T_{122},T_{212},T_{221} \\ 05)\left[111\right]: & T_{123},T_{231},T_{312},T_{321},T_{213},T_{132} \\ 06)\left[102\right]: & T_{133},T_{313},T_{331}\\ 07)\left[030\right]: & T_{222} \\ 08)\left[021\right]: & T_{223},T_{232},T_{322} \\ 09)\left[012\right]: & T_{332},T_{323},T_{233} \\ 10)\left[003\right]: & T_{333} \end{matrix} \tag{B-13} \end{equation}$$ Die Codenummer jeder Klasse ist die Zeichenfolge$\;\left[ x_{1}x_{2}x_{3}\right]\;$was bedeutet, dass die 3 Indizes die Elemente der Klasse enthalten$x_{1}$mal die Zahl$1$,$x_{2}$mal die Zahl$2$Und$x_{3}$mal die Zahl$3$. Die Anzahl der Klassen ist 10, weil [Anmerkung B] : so viele geordnete Triaden sind$\;\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\;$von nichtnegativen ganzen Zahlen, wodurch die ganze Zahl 3 ($\equiv$die Anzahl der Indizes) könnte aufgeteilt werden:
$$\begin{equation} x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \tag{B-14} \end{equation}$$ Lassen Sie die 27 Komponenten des Tensors anordnen$\:T_{ijk}\:$auf einem Würfel. In diesem Fall entsprechen den 10 Klassen seiner Elemente, siehe Gleichung (B-13), 10 geometrische Figuren: $$\begin{equation} \begin{matrix} \left[300\right],\left[030\right],\left[003\right] & : & \textbf{3} & \textbf{points} \text{ on the main diagonal} \hphantom{===============}\\ \left[210\right],\left[201\right],\left[120\right],\left[102\right],\left[021\right],\left[012\right] & : & \textbf{6} & \textbf{equilateral triangles} \text{ normal to the main diagonal}\hphantom{==}\\ \left[111\right] & : & \textbf{1} & \textbf{regular hexagon} \text{ normal to the main diagonal}\hphantom{====} \end{matrix} \tag{B-13a} \end{equation}$$ Diese Darstellung ist in der Abbildung unten gegeben. Jede dieser 10 Figuren ist unveränderlich in Bezug auf jedes Indexpaar ihrer Elemente. Wenn wir also an die Elemente jeder Figur eine Variable anhängen, die von den 9 Variablen unabhängig ist, die an die restlichen 9 Figuren angehängt sind, erzeugen wir einen total symmetrischen Tensor$\:S_{ijk}$. Dieser Tensor ist aufgrund seiner Herstellungsweise 10-dimensional. Eine solche Produktion ist in Gleichung (B-15) angegeben. Sehen Sie hier jede der 10 Figuren separat in größerer Größe: 10 unveränderliche Figuren . Also würden wir daraus extrahieren $\:T_{ijk}\:$ein 10-dimensionales totalsymmetrisches Teil$\:S_{ijk}\:$folgendermaßen : $$\begin{equation} \begin{split} 1)\left[300\right]: & S_{111}=T_{111} \\ 2)\left[210\right]: & S_{112}=S_{121}=S_{211}=\dfrac{T_{112}+T_{121}+T_{211}}{3}\\ 3)\left[201\right]: & S_{113}=S_{131}=S_{311}=\dfrac{T_{113}+T_{131}+T_{311}}{3}\\ 4)\left[120\right]: & S_{122}=S_{212}=S_{221}=\dfrac{T_{122}+T_{212}+T_{221}}{3}\\ 5)\left[111\right]: & S_{123}=S_{231}=S_{312}=S_{321}=S_{213}=S_{132}=\\ & \dfrac{\left(T_{123}+T_{231}+T_{312}\right)+\left(T_{321}+T_{213}+T_{132}\right)}{6}\\ 6)\left[102\right]: & S_{133}=S_{313}=S_{331}=\dfrac{T_{133}+T_{313}+T_{331}}{3}\\ 7)\left[030\right]: & S_{222}=T_{222} \\ 8)\left[021\right]: & S_{223}=S_{232}=S_{322}=\dfrac{T_{223}+T_{232}+T_{322}}{3}\\ 9)\left[012\right]: & S_{332}=S_{323}=S_{233}=\dfrac{T_{332}+T_{323}+T_{233}}{3}\\ 10)\left[003\right]: & S_{333}=T_{333} \end{split} \tag{B-15} \end{equation}$$ das nimmt$^{\prime\prime}$Mittelwert$^{\prime\prime}$in jeder Klasse.}

^{Für den total antisymmetrischen Teil$\:A_{ijk}\:$: Wenn ein Element den gleichen Wert zu mindestens zwei Indizes hat, dann ist es Null. Es ist klar, dass die Elemente$\:A_{123}, A_{231}, A_{312}\:$muss den gleichen Wert haben, sagen wir$\:b_{0}\:$, wie auch$\:A_{321},A_{213},A_{132}\:$tun müssen und darüber hinaus [Anmerkung C]}

$$\begin{equation} A_{123}=A_{231}=A_{312}=\;b_{0}\;=-A_{321}=-A_{213}=-A_{132} \tag{B-16} \end{equation}$$ <sup>Obwohl es keinen Sinn macht, die Elemente von$\:A_{ijk}\:$werden in die oben genannten 10 Klassen und die Komponente eingeteilt$\:b_{0}\:$von Gleichung (B-16) ist definiert durch $$\begin{equation} b_{0}=\dfrac{\left(T_{123}+T_{231}+T_{312}\right)-\left(T_{321}+T_{213}+T_{132}\right)}{6}\\ \tag{B-17} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \begin{split} 1)\left[300\right]: & A_{111}=0 \\ 2)\left[210\right]: & A_{112}=A_{121}=A_{211}=0\\ 3)\left[201\right]: & A_{113}=A_{131}=A_{311}=0\\ 4)\left[120\right]: & A_{122}=A_{212}=A_{221}=0\\ 5)\left[111\right]: & A_{123}=A_{231}=A_{312}=-A_{321}=-A_{213}=-A_{132}=\\ &\dfrac{\left(T_{123}+T_{231}+T_{312}\right)-\left(T_{321}+T_{213}+T_{132}\right)}{6}\\ 6)\left[102\right]: & A_{133}=A_{313}=A_{331}=0\\ 7)\left[030\right]: & A_{222}=0 \\ 8)\left[021\right]: & A_{223}=0\\ 9)\left[012\right]: & A_{332}=A_{323}=A_{233}=0\\ 10)\left[003\right]: & A_{333}=0 \end{split} \tag{B-18} \end{equation}$$ Die Komponente$\:b_{0}\:$des 1-dimensionalen$\:A_{ijk}\:$kann jede beliebige komplexe Zahl sein. Die obige Wahl, siehe Gleichung (B-17), ist notwendig, um den Rest des Tensors zu speisen $$\begin{equation} R_{ijk} \equiv T_{ijk}-S_{ijk}-A_{ijk} \tag{B-19} \end{equation}$$ mit der invarianten Eigenschaft $$\begin{equation} R_{ijk}+R_{jki}+R_{kij}=0\;, \quad \text{cyclic permutation of the indices } \;i,j,k \tag{B-20} \end{equation}$$ Dass die Eigenschaft in (B-20) unter dem Transformationsgesetz (B-10) unveränderlich bleibt, wird wie folgt bewiesen $$\begin{equation} \begin{split} R^{\prime}_{\rho\sigma\tau}+R^{\prime}_{\sigma\tau\rho}+R^{\prime}_{\tau\rho\sigma}&=\left(u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k}\right)R_{ijk}+\left(u_{\sigma j}u_{\tau k}u_{\rho i}\right)R_{jki}+\left(u_{\tau k}u_{\rho i}u_{\sigma j}\right)R_{kij}\\ &=\left(u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k}\right)\underbrace{\left(R_{ijk}+R_{jki}+R_{kij}\right)}_{0}=0 \end{split} \nonumber \end{equation}$$ Die Komponenten des 16-dimensionalen Tensors$\: R_{ijk}\:$sind unten angegeben $$\begin{equation} \begin{split} 1)\left[300\right]: & R_{111}=0 \\ 2)\left[210\right]: & R_{112}=\dfrac{2T_{112}-\left(T_{121}+T_{211}\right)}{3}, R_{121}=\dfrac{2T_{121}-\left(T_{211}+T_{112}\right)}{3}, R_{211}=\dfrac{2T_{211}-\left(T_{112}+T_{121}\right)}{3}\\ 3)\left[201\right]: & R_{113}=\dfrac{2T_{113}-\left(T_{131}+T_{311}\right)}{3}, R_{131}=\dfrac{2T_{131}-\left(T_{311}+T_{113}\right)}{3}, R_{311}=\dfrac{2T_{311}-\left(T_{113}+T_{131}\right)}{3}\\ 4)\left[120\right]: & R_{122}=\dfrac{2T_{122}-\left(T_{212}+T_{221}\right)}{3}, R_{212}=\dfrac{2T_{212}-\left(T_{221}+T_{122}\right)}{3}, R_{221}=\dfrac{2T_{221}-\left(T_{122}+T_{212}\right)}{3}\\ 5)\left[111\right]: & R_{123}=\dfrac{2T_{123}-\left(T_{231}+T_{312}\right)}{3}, R_{231}=\dfrac{2T_{231}-\left(T_{312}+T_{123}\right)}{3}, R_{312}=\dfrac{2T_{312}-\left(T_{123}+T_{231}\right)}{3}\\ & R_{321}=\dfrac{2T_{321}-\left(T_{213}+T_{132}\right)}{3}, R_{213}=\dfrac{2T_{213}-\left(T_{132}+T_{321}\right)}{3}, R_{132}=\dfrac{2T_{132}-\left(T_{321}+T_{213}\right)}{3}\\ 6)\left[102\right]: & R_{133}=\dfrac{2T_{133}-\left(T_{313}+T_{331}\right)}{3}, R_{313}=\dfrac{2T_{313}-\left(T_{331}+T_{133}\right)}{3}, R_{331}=\dfrac{2T_{331}-\left(T_{133}+T_{313}\right)}{3}\\ 7)\left[030\right]: & R_{222}=0\\ 8)\left[021\right]: & R_{223}=\dfrac{2T_{223}-\left(T_{232}+T_{322}\right)}{3}, R_{232}=\dfrac{2T_{232}-\left(T_{322}+T_{223}\right)}{3}, R_{322}=\dfrac{2T_{223}-\left(T_{232}+T_{322}\right)}{3}\\ 9)\left[012\right]: & R_{233}=\dfrac{2T_{233}-\left(T_{323}+T_{332}\right)}{3}, R_{323}=\dfrac{2T_{323}-\left(T_{332}+T_{233}\right)}{3}, R_{332}=\dfrac{2T_{332}-\left(T_{233}+T_{323}\right)}{3}\\ 10)\left[003\right]: & R_{333}=0 \end{split} \tag{B-21} \end{equation}$$ Der Tensor$\: R_{ijk}\:$ist nicht symmetrisch oder antisymmetrisch relativ zu irgendeinem Paar von Indizes. Es wird also weiter reduziert, wenn wir es symmetrisch aufteilen$\: X_{ijk}\:$und einen antisymmetrischen Teil$\: Y_{ijk}\:$relativ zu einem und nur einem Indexpaar, sagen wir$\:(i,j)\:$ $$\begin{equation} R_{ijk}=X_{ijk}+Y_{ijk}\;, \quad X_{ijk}=\;+\;X_{jik}\;, \quad Y_{ijk}=\;-\;Y_{jik} \tag{B-22} \end{equation}$$
Wie im Absatz neben dem Transformationsgesetz (B-10) diskutiert, sind die symmetrischen und antisymmetrischen Eigenschaften von$\: X_{ijk}\:$Und$\: Y_{ijk}\:$relativ zu den Paarindizes$\:(i,j)$, bleiben unter dem vorgenannten Gesetz unveränderlich. Von (B-22) $$\begin{equation} X_{ijk}=\dfrac{R_{ijk}+R_{jik}}{2}\;, Y_{ijk}=\dfrac{R_{ijk}-R_{jik}}{2} \tag{B-23} \end{equation}$$ Der Tensor$\: X_{ijk}\:$ist symmetrisch in Bezug auf nur ein Indexpaar, wird als gemischt symmetrisch (MS) charakterisiert, ist 8-dimensional und seine Elemente sind in (B-24) angegeben $$\begin{equation} \begin{split} 1)\left[300\right]: & X_{111}=0 \\ 2)\left[210\right]: & X_{112}=-2X_{121}=-2X_{211}=\dfrac{2T_{112}-\left(T_{121}+T_{211}\right)}{3}\\ 3)\left[201\right]: & X_{113}=-2X_{131}=-2X_{311}=\dfrac{2T_{113}-\left(T_{131}+T_{311}\right)}{3}\\ 4)\left[120\right]: & X_{221}=-2X_{122}=-2X_{212}=\dfrac{2T_{221}-\left(T_{122}+T_{212}\right)}{3}\\ 5)\left[111\right]: & X_{123}=X_{213}=\dfrac{2\left(T_{123}+T_{213}\right)-\left(T_{231}+T_{312}+T_{132}+T_{321}\right)}{6}\\ & X_{231}=X_{321}=\dfrac{2\left(T_{231}+T_{321}\right)-\left(T_{312}+T_{123}+T_{213}+T_{132}\right)}{6}\\ & X_{312}=X_{132}=-\left( X_{123}+X_{231}\right) =\dfrac{2\left(T_{312}+T_{132}\right)-\left(T_{123}+T_{231}+T_{321}+T_{213}\right)}{6}\\ 6)\left[102\right]: & X_{331}=-2X_{133}=-2X_{313}=\dfrac{2T_{331}-\left(T_{133}+T_{313}\right)}{3}\\ 7)\left[030\right]: & X_{222}=0\\ 8)\left[021\right]: & X_{223}=-2X_{232}=-2X_{322}=\dfrac{2T_{223}-\left(T_{232}+T_{322}\right)}{3}\\ 9)\left[012\right]: & X_{332}=-2X_{233}=-2X_{323}=\dfrac{2T_{332}-\left(T_{233}+T_{323}\right)}{3}\\ 10)\left[003\right]:& X_{333}=0 \end{split} \tag{B-24} \end{equation}$$ Der Tensor$\: Y_{ijk}\:$ist antisymmetrisch in Bezug auf nur ein Indexpaar, es wird als gemischt antisymmetrisch (MA) charakterisiert, es ist auch 8-dimensional und seine Elemente sind in (B-25) angegeben $$\begin{equation} \begin{split} 1)\left[300\right]: & Y_{111}=0 \\ 2)\left[210\right]: & Y_{112}=0,Y_{121}=-Y_{211}=\dfrac{T_{121}-T_{112}}{2}\\ 3)\left[201\right]: & Y_{113}=0,Y_{131}=-Y_{311}=\dfrac{T_{131}-T_{113}}{2}\\ 4)\left[120\right]: & Y_{221}=0,Y_{122}=-Y_{212}=\dfrac{T_{122}-T_{212}}{2}\\ 5)\left[111\right]: & Y_{123}=-Y_{213}=\dfrac{2\left(T_{123}-T_{213}\right)-\left(T_{231}+T_{312}-T_{132}-T_{321}\right)}{6}\\ &Y_{231}=-Y_{321}=\dfrac{2\left(T_{231}-T_{321}\right)-\left(T_{312}+T_{123}-T_{213}-T_{132}\right)}{6}\\ & Y_{312}=-Y_{132}=-\left(Y_{123}+Y_{231}\right)=\dfrac{2\left(T_{312}-T_{132}\right)-\left(T_{123}+T_{231}-T_{321}-T_{213}\right)}{6}\\ 6)\left[102\right]: & Y_{331}=0,Y_{133}=-Y_{313}=\dfrac{T_{133}-T_{313}}{2}\\ 7)\left[030\right]: & Y_{222}=0\\ 8)\left[021\right]: & Y_{223}=0,Y_{232}=-Y_{322}=\dfrac{T_{232}-T_{223}}{2}\\ 9)\left[012\right]: & Y_{332}=0,Y_{323}=-Y_{233}=\dfrac{T_{323}-T_{332}}{2}\\ 10)\left[003\right]:& Y_{333}=0 \end{split} \tag{B-25} \end{equation}$$ Die irreduzible Darstellung von$\:\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\:$ist in (B-26) unten gezeigt. Die verwendeten Indizes sind$\:A=A$nti-symmetrisch (vollständig),$S=S$symmetrisch (vollständig),$MS=M$fixiert$S$symmetrisch und$MA=M$fixiert$A$nti-symmetrisch. $$\begin{equation} \boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}= \boldsymbol{1}_{A}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{10}_{S}\boldsymbol{\oplus} \boldsymbol{8}_{MS}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{8}_{MA} \tag{B-26} \end{equation}$$ während seine Beziehung zu den oben erwähnten Tensoren in (B-27) gezeigt wird $$\begin{equation} \begin{matrix} \underbrace{T_{ijk}}_{\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}}\quad = \underbrace{A_{ijk}}_{\boldsymbol{1}_{A}} +\underbrace{S_{ijk}}_{\boldsymbol{10}_{S}} +\underbrace{ X_{ijk}}_{\boldsymbol{8}_{MS}}+\underbrace{ Y_{ijk}}_{\boldsymbol{8}_{MA}} \end{matrix} \tag{B-27} \end{equation}$$ Gleichung (B-27) ist ein alternativer Ausdruck ohne Indizes. $$\begin{equation} \boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}= \boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{10}\boldsymbol{\oplus} \boldsymbol{8}^{\boldsymbol{\prime}}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{8} \tag{B-28} \end{equation}$$ Die Verbindung jeder tensorunabhängigen Komponente mit einem Baryon wird erreicht durch:

(a) Ersetzen aller$\:T_{ijk}\:$im Ausdruck der Komponente durch ihren Satz von Indizes
$\:ijk\:$und in diesem Satz die Zahlen ersetzen$\:1,2,3\:$durch Quarks$\:\boldsymbol{u},\boldsymbol{d},\boldsymbol{s}\:$bzw. $$\begin{equation} 1\longrightarrow \boldsymbol{u}\;,\quad 2\longrightarrow \boldsymbol{d}\;,\quad 3\longrightarrow \boldsymbol{s} \tag{B-29} \end{equation}$$ (b) Normalisieren des resultierenden Baryonen-Grundzustands. Im Folgenden das Symbol$\:\left[q_{1},q_{2}\right]\:$wird für den antisymmetrischen Ausdruck verwendet$\:q_{1}q_{2}-q_{2}q_{1}\:$ $$\begin{equation} \left[q_{1},q_{2}\right]\equiv q_{1}q_{2}-q_{2}q_{1} \tag{B-30} \end{equation}$$ Also:
(A) Unterhemd$\:\boldsymbol{1}\:$ $\:\Lambda^{0}_{1}\:$aus$\:A_{ijk}.$ Zum totalen antisymmetrischen 1-dimensionalen Tensor$\:A_{ijk}\:$, siehe (B-18), und zur Komponente $$\begin{equation} A_{123}=\dfrac{\left(T_{123}+T_{231}+T_{312}\right)-\left(T_{321}+T_{213}+T_{132}\right)}{6} \tag{B-31} \end{equation}$$ es entspricht einem Singulett, dem Baryon $$\begin{equation} \Lambda^{0}_{1}\sim\dfrac{\left(uds+dsu+sud\right)-\left(sdu+dus+usd\right)}{6} \tag{B-32} \end{equation}$$ die normalisiert und nach Verwendung des Symbols (B-30) ist $$\begin{equation} \Lambda^{0}_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}\Bigl(\left[d,s\right]u+\left[s,u\right]d+\left[u,d\right]s\Bigr) \tag{B-33} \end{equation}$$ (B) Dekuplett$\:\boldsymbol{10}\:$ $\:\lbrace \Delta^{++},\Delta^{+},\Delta^{0},\Delta^{-},{\Sigma^{*}}^{^{\boldsymbol{+}}},{\Sigma^{*}}^{^{\boldsymbol{0}}},{\Sigma^{*}}^{^{\boldsymbol{-}}},{\Xi^{*}}^{^{\boldsymbol{0}}},{\Xi^{*}}^{^{\boldsymbol{-}}},\Omega^{-}\rbrace\:$aus$\:S_{ijk}.$ Zum totalsymmetrischen 10-dimensionalen Tensor$\:S_{ijk}\:$, siehe (B-15), entspricht komponentenweise dem folgenden Dekuplett $$\begin{equation} \begin{split} 1.\quad S_{111}: & \qquad \Delta^{++}=uuu \\ 2.\quad S_{112}: & \qquad \Delta^{+}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(uud+udu+duu\right)\\ 3.\quad S_{122}: & \qquad \Delta^{0}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(udd+dud+ddu\right)\\ 4.\quad S_{222}: & \qquad \Delta^{-}=ddd\\ 5.\quad S_{113}: & \qquad {\Sigma^{*}}^{^{\boldsymbol{+}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(uus+usu+suu\right)\\ 6.\quad S_{123}: & \qquad {\Sigma^{*}}^{^{\boldsymbol{0}}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(uds+dsu+sud+sdu+dus+usd\right)\\ 7.\quad S_{223}: & \qquad {\Sigma^{*}}^{^{\boldsymbol{-}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(dds+dsd+sdd\right)\\ 8.\quad S_{133}: & \qquad {\Xi^{*}}^{^{\boldsymbol{0}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(uss+sus+ssu\right)\\ 9.\quad S_{233}: & \qquad {\Xi^{*}}^{^{\boldsymbol{-}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(ssd+sds+dss\right)\\ 10.\quad S_{333}: & \qquad \Omega^{-}=sss \end{split} \tag{B-34} \end{equation}$$ (C) Octet $\:\boldsymbol{8}\:$ $\:\:\lbrace p,n,\Sigma^{+},\Sigma^{0},\Sigma^{-},\Lambda^{0},\Xi^{0},\Xi^{-}\rbrace\:$ from $\:Y_{ijk}.$ To the mixed anti-symmetric 8-dimensional tensor $\:Y_{ijk}\:$, see (B-25), there corresponds component by component the following octet $$\begin{equation} \begin{split} 1.\quad Y_{121}: & \qquad p=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(udu-uud\right)\\ 2.\quad Y_{122}: & \qquad n=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(udd-dud\right)\\ 3.\quad Y_{131}: & \qquad \Sigma^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(usu-uus\right)\\ 4.\quad Y^{\prime}_{231}: & \qquad \Sigma^{0}=\dfrac{1}{2}\Bigl(\left[d,s\right]u+\left[u,s\right]d\Bigr)\\ 5.\quad Y_{232}: & \qquad \Sigma^{-}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(dsd-dds\right)\\ 6.\quad Y_{123}: & \qquad \Lambda^{0}=\frac{1}{\sqrt{12}}\left[ 2\left(uds-dus\right) -\left( dsu+sud-usd-sdu\right)\right]\\ & \qquad \quad =\frac{1}{\sqrt{12}}\Bigl(2\left[u,d\right]s-\left[d,s\right]u-\left[s,u\right]d\Bigr)\\ 7.\quad Y_{133}: & \qquad \Xi^{0}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(uss-sus\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left[u,s\right]s\\ 8.\quad Y_{323}: & \qquad \Xi^{-}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(sds-ssd\right)\\ \end{split} \tag{B-35} \end{equation}$$ Note that for the formation of the $\:\Sigma^{0}\:$ baryon as eighth independent component in place of $\: Y_{231}\:$ is used the linear combination $$\begin{equation} Y^{\prime}_{231} \equiv Y_{231}-Y_{312}=\dfrac{\left(T_{231}-T_{321}\right)+\left(T_{132}-T_{312}\right)}{2} \tag{B-36} \end{equation}$$</sup>

^{(D ) Octet $\:\boldsymbol{8'}\:$ from $\:X_{ijk}.$ To the mixed symmetric 8-dimensional tensor $\:X_{ijk}\:$, see (B-24), there corresponds component by component the following octet}

$$\begin{equation} \begin{split} 1.\quad X_{121}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{6}}\left(udu+duu-2uud\right)\\ 2.\quad X_{131}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{6}}\left(usu+suu-2uus\right)\\ 3.\quad X_{122}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{6}}\left(udd+dud-2ddu\right)\\ 4.\quad X_{123}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{12}}\left(2uds+2dus-usd-sud-dsu-sdu\right)\\ 5.\quad X'_{231}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\left(sdu+dsu-sud-usd\right)\\ 6.\quad X_{133}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{6}}\left(uss+sus-2ssu\right)\\ 7.\quad X_{232}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{6}}\left(dsd+sdd-2dds\right)\\ 8.\quad X_{233}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{6}}\left(dss+sds-2ssd\right)\\ \end{split} \tag{B-37} \end{equation}$$ ^{Note that for the formation of the member 5. baryon as eighth independent component in place of $\: X_{231}\:$ is used the linear combination $$\begin{equation} X^{\prime}_{231} \equiv X_{231}-X_{312}=\dfrac{\left(T_{321}-T_{312}\right)+\left(T_{231}-T_{132}\right)}{2} \tag{B-38} \end{equation}$$}

^{$========================Notes==========================$}

^{[Anmerkung A] : Die Transformation$\:\left(u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k}\right)\:$in (B-10) ist das Produkt}

$$\begin{equation} u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k} \longrightarrow U\!\boldsymbol{\otimes}\!U\!\boldsymbol{\otimes}\!U=U^{\boldsymbol{\otimes}3} \tag{N-01} \end{equation}$$ [Anmerkung B] : Lassen Sie eine Menge komplexer Zahlen durch eine mathematische Größe dargestellt werden $T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p-1}i_{p}}$mit $p$Indizes. Diese Indizes nehmen Werte in der Menge an $\left\lbrace 1,2,3, \cdots ,d\!-\!1,d \right\rbrace$. Hier $\:p\:$Und $\:d\:$positive ganze Zahlen sind, also
$$\begin{equation} \begin{split} T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p-1}i_{p}} \in \mathbb{C}\;, \qquad & i_{k}\in \left\lbrace 1,2,3, \cdots ,d-1,d \right\rbrace\\ & p, d \in \mathbb{N}=\left\lbrace 1,2,\cdots\right\rbrace \end{split} \tag{N-02} \end{equation}$$ Die positive Ganzzahl $\:d\:$stellt normalerweise die Dimension eines linearen Raums dar. ^{Der allgemeine Tensor$\:T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p-1}i_{p}}\:$definiert durch Gleichung (N-02) hat$\:d^{p}\:$linear unabhängige Elemente klassifiziert in$\:N\!\left(p,d\right)\:$Klassen. Jede Klasse hat einen Code oder Namen$\:\left[ x_{1}x_{2}\cdots x_{d}\right]\:$, wo in dieser Klasse$x_{1}$Indizes nehmen den Wert an$1$,$x_{2}$Indizes nehmen den Wert an$2$usw$x_{d}$Indizes nehmen den Wert an$d$. So, the number of the classes $\:N\!\left(p,d\right)\:$ is the number of the ordered solutions $\:\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2},\cdots x_{d}\right)\:$ of the equation
$$\begin{equation} x_{1}+x_{2}+\cdots + x_{d}=p \tag{N-03} \end{equation}$$ where all $x_{k}$ are nonnegative integers. From combinatorics this number is $$\begin{equation} N\!\left(p,d\right)=\binom{p\!+\!d\!-\!1}{d\!-\!1} \tag{N-04} \end{equation}$$ The number of elements in class $\:\left[ x_{1}x_{2}\cdots x_{d}\right]\:$ is $$\begin{equation} \text{number of elements in class }\:\left[ x_{1}x_{2}\cdots x_{d}\right] =\frac{p!}{x_{1}!x_{2}!\cdots x_{d}!} \tag{N-05} \end{equation}$$ so $$\begin{equation} \sum_{x_{1}\!+\!x_{2}\cdots \!+\!x_{d}=p}\frac{p!}{x_{1}!x_{2}!\cdots x_{d}!}=d^{p} \tag{N-06} \end{equation}$$ If $\:T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p-1}i_{p}}\:$ is symmetric with respect to any pair of indices, called totally symmetric, then taking one and only one element of each class we form the set of its $\:N\!\left(p,d\right)\:$ linearly independent elements. For example, if $\:p=3\:$ and $\:d=3\:$ then $$\begin{equation} N\!\left(p,d\right)=N\!\left(3,3\right)=\binom{3\!+\!3\!-\!1}{3\!-\!1}=\binom{5}{2}= 10 \tag{N-07} \end{equation}$$ In the Figure below the 27 components of a tensor $\mathrm{a}_{ijk}$ are arranged on a cube. If this tensor is totally symmetric then its linear independent components are 10. A choice of such a $^{\prime\prime}$decuplet$^{\prime\prime}$ of elements is the 10 elements on the pyramid shown (green balls). This pyramid is formed from two diagonal planes : a diagonal plane which separates the elements of the cube because of the symmetry with respect to the pair of indices $\left(k,i\right)$ and a diagonal plane which separates the elements of the cube because of the symmetry with respect to the pair of indices $\left(j,k\right)$. Dann besteht automatisch Symmetrie bezüglich des dritten Indexpaares$\left(i,j\right)$.} Sehen Sie hier eine 3D-Version der obigen Abbildung: Totally Symmetric Matrix

^{[Anmerkung C] : In der Abbildung unten ein total antisymmetrischer Tensor$\mathrm{b}_{ijk}$wird gezeigt. Der Tensor ist eindimensional.}

Sehen Sie hier eine 3D-Version der obigen Abbildung: Totally Antisymmetric Matrix