Szenario Zeitdilatation + Längenkontraktion

Die Antwort von @JEB ist vollkommen richtig, ich möchte nur meine eigene Denkweise zu diesem Problem hinzufügen.

Es ist eine gute Idee, bei der Lösung solcher Probleme in der Speziellen Relativitätstheorie immer mit Lorentz-Transformationen zu beginnen, da die blinde Verwendung der Formeln für Längenkontraktion und Zeitdilatation zu solchen "Paradoxien" führt, die dadurch entstehen, dass die getroffenen Annahmen nicht klar berücksichtigt werden die uns zu den Formeln für Längenkontraktion und Zeitdilatation führen.

Angenommen, wir nennen das System, in dem die Röhre ruht$S^\prime$, und der Rahmen "Erde".$S$. Angesichts zweier Ereignisse in$S$,$(x_2, t_2)$Und$(x_1, t_1)$, wenn wir die entsprechenden Ereignisse in finden möchten$S^\prime$,

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta x^\prime &= \gamma \left(\Delta x - v \Delta t\right),\\ \Delta t^\prime &= \gamma \left(\Delta t - \frac{v}{c^2}\Delta x\right). \end{aligned} \end{equation}$$

In Ihrem Problem sind Ihnen jedoch die Ereignisse in gegeben$S^\prime$und möchte die entsprechenden Veranstaltungen in finden$S$. Als Ergebnis müssen wir die "inversen" Lorentz-Transformationen verwenden:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta x &= \gamma \left(\Delta x^\prime + v \Delta t^\prime\right),\\ \Delta t &= \gamma \left(\Delta t^\prime + \frac{v}{c^2}\Delta x^\prime\right), \end{aligned} \end{equation}$$

die durch algebraische Manipulation der früheren Gleichungen erhalten werden kann.

Betrachten wir nun die Ereignisse:

1. Ereignis 1: Licht verlässt den Emitter.
2. Ereignis 2: Licht trifft auf den Detektor.

Ganz klar, aus der Sicht von jemandem drin$S^\prime$, diese beiden Ereignisse sind durch einen räumlichen Abstand von getrennt$\Delta x^\prime = 100$m, und treten nach einem Intervall auf$\Delta t^\prime = 1$S.

Also die räumlichen und zeitlichen Intervalle, wie sie von jemandem beobachtet werden$S$Sind:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta x &= \gamma \left(100 + 80 \times 1\right) = \gamma \times 180 \text{m},\\ \Delta t &= \gamma \left(1 + \frac{80}{100^2}\times 100\right) = \gamma \times 1.8 \text{s}, \end{aligned} \end{equation}$$

WICHTIG: Beachten Sie das$\Delta t \neq \gamma \Delta t^\prime$, Und$\Delta x \neq \Delta x^\prime/\gamma$! Wir werden unten darauf zurückkommen, warum dies der Fall ist, aber es ist der Grund für Ihre falsche Antwort.

Jedenfalls mit diesen Werten von$\Delta x$Und$\Delta t$, wir können das sehen

$$c = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\gamma\times 180}{\gamma \times 1.8} = 100 \text{m/s}$$

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Warum können wir hier nicht die Standardformeln für Längenkontraktion und Zeitdilatation verwenden?

• Eine Erklärung zu den Annahmen, die in der Zeitdilatationsformel enthalten sind, finden Sie in meiner Antwort hier .

• Eine Erklärung zu den Annahmen in der Längenkontraktionsformel finden Sie in ähnlicher Weise in meiner Antwort hier .

Nennen wir die Rohrenden:$L$($R$) für die Sende-(Empfangs-)Seite. Nennen wir die zeitlichen Ereignisse: Tx (Rx) für den Zeitpunkt der Übertragung (Empfang).

Es gibt 4 relevante Raum-Zeit-Ereignisse, die ich im Röhrenrahmen als darstellen werde$(t'/{\rm s}, x'/{\rm m})'$(grundiert ist für den beweglichen Rahmen, der sich zusammen mit der Röhre bewegt).

Die ersten drei relevanten Ereignisse sind:

1. $(0, 0)'$:$L$bei Tx
2. $(1, 100)'$:$R$bei Rx
3. $(1, 0)'$:$L$bei Rx

Um die Lichtgeschwindigkeit zu berechnen, müssen Sie die Unterschiede zwischen (1) und (2) berechnen:

$$c' = \frac{100{\rm m}}{1 {\rm s}} = 100 {\rm m/s}$$

Lassen Sie uns diese nun in den stationären Rahmen mit übereinstimmenden Ursprüngen übertragen:

1. $(0, 0)$:$L$bei Tx
2. $(3, 300)$:$R$bei Rx
3. $(1.67, 133.3)'$:$L$bei Rx

Die ungestrichene Lichtgeschwindigkeit ist:

$$c = \frac{300{\rm m}}{3 {\rm s}} = 100\, {\rm m/s}$$

was funktioniert.

Beachten Sie die nicht grundierten Koordinaten von (3), wo sich das linke Ende der Röhre befindet, wenn das Licht im (grundierten) Rahmen der Röhre empfangen wird. Dies haben Sie im 1. Teil Ihres Prozesses berechnet. Beachten Sie auch, dass es nicht gleichzeitig mit dem Empfang im Erdrahmen ist, was bedeutet, dass Sie Ihre Uhr zu früh angehalten haben und eine zu hohe Geschwindigkeit erhalten haben, nachdem Sie die kontrahierte Röhrenentfernung hinzugefügt haben.

Betrachtet man ein viertes Ereignis, so ist die Position des rechten Endes der Röhre ($R$) ein bloßes$\frac 1 {5^{th}}$einer Sekunde in das Experiment:

4. $(0.2, 1)'$: R zur gleichen ungestrichenen Zeit wie (3)

im Rahmen der Erde (nicht grundiert) ist:

4. $(1.67, 1.93)$: R zur gleichen ungestrichenen Zeit wie (3)

ist genau das, was Sie berechnet haben.

Und das war: Die Zeit zwischen der Übertragung des Lichts und der Position des Empfängers zur Erdzeit, die mit der Position des Senders in der Röhre zusammenfiel, Zeit, die mit der endgültigen Detektion des Lichts zusammenfiel.

Offensichtlich wäre ein Minkowski-Diagramm sehr nützlich, um die hyperbolische Geometrie dessen, was vor sich geht, wirklich zu verstehen.

Schließlich: Wenn ein spezielles Relativitätsparadoxon oder Rätsel wie dieses auftaucht, wird es meistens durch die Relativität der Gleichzeitigkeit verursacht. Räumlich getrennte Ereignisse sind nicht in allen Frames gleichzeitig.