Zeitdilatationsformel vs. Lorentz-Transformation mit Lichtsignal

Ich bin verwirrt darüber, wann ich die Zeitdilatationsformel richtig anwenden soll$\Delta \tau=\frac{\Delta t}{\gamma}$oder die Lorentz-Transformation$c\Delta t = \gamma (c\Delta t-\beta \Delta x)$, insbesondere wenn es darum geht, Ereignisse für dieses Problem zu definieren.

Ein Raumschiff verlässt die Erde bei 0,99 °C. Wenn es 3 * 10 ^ 11 m entfernt ist, wenn die Erde ein Lichtsignal an es sendet, wie lange dauert es, bis das Signal das Schiff a) für einen Beobachter auf der Erde und b) für einen Passagier auf dem Schiff erreicht?

Für a) wird keine spezielle Relativitätstheorie benötigt, und Sie erhalten 100.000 Sekunden für die Erdperspektive.

Für b) habe ich versucht, es auf zwei Arten zu tun:

1. Gemäß der Zeitdilatationsformel sind 100.000 Sekunden für die Erde 14.106 Sekunden für das Schiff (unter Verwendung von$\gamma = 7.088$)

2. Definieren von Koordinaten für jedes Ereignis und Verwenden der Transformation. Ich lasse S den Erdrahmen und S' den Schiffsrahmen sein, wo die Zeit beginnt, wenn das Schiff die Erde verlässt. Ereignis 1 ist, wenn die Erde das Signal sendet, nachdem das Schiff weit von der Erde entfernt ist ($t_1, x_1$) = (1010, 0). Ereignis 2 ist, wenn das Signal das Schiff erreicht ($t_2, x_2$) = ($101010, 3*10^{13}$). Wenn Sie die Transformation verwenden, erhalten Sie jedoch eine andere$\Delta t'=7090$.

Ich habe versucht, ein Minkowski-Diagramm zu verwenden, und der Unterschied scheint darauf hinauszulaufen, ob Sie Ereignis 1 auf der Erdachse (x = 0) oder der Schiffsachse (x = 3 * 10 ^ 11) platzieren. Für mich klingen jedoch beide Argumentationslinien gültig.

Was fehlt mir hier? Welche ist wirklich richtig? Vielen Dank an alle, die helfen können!