Theoretischer Beweis des Ausschlussprinzips von Pauli

Das ursprünglich für Fermionen geltende Pauli-Ausschlussprinzip war eine rein phänomenologische Konzeption, die eingeführt wurde, um experimentelle Tatsachen zu erklären. Der Grund ist, dass es keine wohldefinierte theoretische Beschreibung der Beziehung zwischen dem Spin und der Statistik in der nicht-relativistischen Quantenmechanik gibt (innerhalb derer Pauli sein Prinzip ursprünglich formuliert hat). Aber es entsteht in der relativistischen Quantentheorie. Ich werde versuchen, diese Dinge im Folgenden zu erklären.

Qualitativ über die Statistik

Im 3-dimensionalen Raum gibt es nur zwei Möglichkeiten für das Verhalten der Wellenfunktion$\psi(\mathbf x_{1},\mathbf x_{2})$der beiden identischen Teilchen unter adiabatischer Änderung ihrer Position, wodurch die Teilchen ausgetauscht werden. Unter dieser Aktion kann die Zwei-Teilchen-Wellenfunktion nur geändert werden als

$$\tag 1 \psi(\mathbf x_{1},\mathbf x_{2}) \to \pm \psi(\mathbf x_{2},\mathbf x_{1})$$ Beachten Sie, dass diese Eigenschaft aus der Topologie des relativen Phasenraums des zweiteiligen Zustands im dreidimensionalen Raum folgt und nichts mit anderen Argumenten (insbesondere mit Experimenten) zu tun hat. Dies ist eine rein theoretische Argumentation.

Qualitativ über den Spin

Der Spin ist die Größe, deren Bedeutung sich grundsätzlich aus der Poincaré-Symmetrie unserer Welt ergibt. Abgesehen von ihrem physikalischen Sinn ist es die Quantenzahl, mit der wir jedes (zumindest massive) Teilchen aufgrund seiner Transformationseigenschaften unter der Poincare-Gruppe mathematisch charakterisieren. Durch die Darstellungen der Poincare-Gruppe wird die Beschreibung des Spins auf die Topologie der Raumzeit bezogen.

Die Beziehung zwischen Spin und Statistik

Wo also treffen diese beiden Konzepte, der Spin und die Statistik, aufeinander? Wie wirkt sich der Spin auf die Statistik aus (und umgekehrt) und insbesondere wie folgt daraus das Pauli-Ausschlussprinzip? Vom ersten Gesichtspunkt aus ist jede Beziehung zwischen ihnen unnatürlich, zumindest vom Standpunkt der Topologie. Tatsächlich besteht jedoch der Zusammenhang.

Die Poincare-Invarianz der Quantentheorie erfordert die Hamiltonsche Dichte$\hat{H}(x)$der Theorie muss für raumartige Intervalle mit sich selbst pendeln:

$$\tag 2 [\hat{H}(x),\hat{H}(y)] = 0 \quad \text{for} \ (x-y)^2<0$$ Der Hamiltonoperator setzt sich aus den Feldoperatoren zusammen $\hat{\psi}_{a}(x), \hat{\psi}_{b}(y)$quantisiert in Form von Schöpfungs-Zerstörungs-Operatoren $\hat{a}(\mathbf p, s),\hat{a}^{\dagger}(\mathbf p, s)$der Teilchen mit beliebigem Spin $s$. Aus der Relation $(1)$wir wissen, dass die Erschaffungs-Zerstörungs-Operatoren gehorchen müssen $$\tag 3 [\hat{a}(\mathbf p, s),\hat{a}(\mathbf k, s)]_{\pm} =0,\quad [\hat{a}(\mathbf p, s),\hat{a}^{\dagger}(\mathbf k, s)]_{\pm} \sim \delta(\mathbf p -\mathbf k)$$ Beachten Sie, dass diese Aussage rein theoretisch ist und nichts mit der Phänomenologie zu tun hat. Indem man beides berücksichtigt $(2),(3)$, das bekommen wir $$\tag 4 [\hat{\psi}_{a}(x),\hat{\psi}_{b}(y)]_{\pm} = 0, \quad (x-y)^{2} < 0$$ Die Struktur der Feldoperatoren ist durch ihre Transformationseigenschaften und insbesondere durch den Spinwert vollständig festgelegt. Der Ausdruck $(4)$ist der Ort, an dem Spin und Statistik aufeinandertreffen. Indem man es analytisch behandelt, erhält man das Pauli-Ausschlussprinzip.

Warum gibt es in der nichtrelativistischen Quantenmechanik keine Beziehung zwischen dem Spin und der Statistik?

Im Geiste der oben geschriebenen Aussagen ist es nicht schwer zu verstehen, warum in der nicht-relativistischen Physik die Spin-Statistik-Beziehung keine theoretische Grundlage hat und nur phänomenologisch sein kann. Der Grund dafür ist, dass es in der nicht-relativistischen Physik keine Forderung ähnlich wie gibt$(2)$. Tatsächlich lässt die orthochrone Galilei-Gruppentransformation, die die Raum-Zeit-Symmetrie in der nicht-relativistischen Quantenmechanik darstellt („Plus“-Übersetzungen), die chronologische Ordnung im S-Operator unverändert. Im Gegensatz zur Galilei-Gruppe ändert die Poincare-Gruppe die chronologische Reihenfolge für raumartige Intervalle. Letzteres ist der zugrunde liegende Grund, aus dem wir verlangen$(2)$...

Das Pauli-Ausschlussprinzip lässt sich aus der relativistischen Quantenfeldtheorie ableiten. Auch wenn das Pauli-Ausschlussprinzip in der nichtrelativistischen Approximation immer noch wichtig ist, ist der Grund dafür tief in der relativistischen QFT verwurzelt.

Der Satz wird Spin-Statistik-Satz genannt . Die Eingaben für das Theorem umfassen

• Lorentz-Symmetrie,

• Etwas, das als Spektrumbedingung bezeichnet wird und besagt, dass die Gesamtenergie eine endliche untere Grenze haben muss.

Am einfachsten lässt sich das Ergebnis für den Fall eines freien (nicht wechselwirkenden) Spin-1/2-Teilchens ableiten. Dies wird in der Antwort von Name YYY ausführlicher erläutert. Hier ist eine Nur-Wörter-Version, die ein wenig zusätzlichen Kontext enthält. In der QFT sind Teilchen eher Phänomene , die die Theorie vorhersagt, als Bestandteile, die zum Aufbau der Theorie verwendet werden. Die Theorie ist in Bezug auf Quantenfelder konstruiert , die als Operatoren dargestellt werden, die auf einen Hilbert-Raum wirken. Zum Beispiel sind alle Elektronen (und Antielektronen) Manifestationen des Elektronenfeldes , genauso wie alle Photonen Manifestationen des elektromagnetischen Feldes sind. Für ein freies Spin-1/2-Feld erfordert die Lorentz-Symmetrie, dass die Bewegungsgleichung linear istin den Raum- und Zeitableitungen, anstatt quadratisch zu sein, wie es für ein Skalar- oder Vektorfeld wäre. Aus diesem Grund müssen die Feldoperatoren bei raumähnlicher Trennung miteinander antikommutieren (anstatt miteinander zu pendeln , wie dies bei einem Skalar- oder Vektorfeld der Fall wäre), damit der Energieoperator ein Energiespektrum mit einer endlichen unteren Grenze hat. Diese Antikommutativität ist das Pauli-Ausschlussprinzip. Diese Ableitung ist im speziellen Fall eines freien Spin-1/2-Felds in vielen QFT-Lehrbüchern enthalten, wie z. B. Abschnitt 3.5 in Peskin und Schroeders An Introduction to Quantum Field Theory .

Für allgemeine Ableitungen:

• Die klassische Referenz ist das Buch von Streater und Wightman, PCT, Spin and Statistics, and All That (1980). Sie beweisen den Satz ausgehend von einem System von Axiomen für die relativistische QFT, die Wightman-Axiome genannt werden . Sie beweisen auch ein weiteres allgemeines Theorem, das normalerweise als CPT-Theorem bezeichnet wird (sie nannten es "PCT" anstelle von "CPT" - dasselbe), das oft zusammen mit dem Spin-Statistik-Theorem präsentiert wird, weil sie dieselben Eingaben teilen.

• Sie kann im Rahmen der algebraischen QFT auch aus einem anderen Axiomensystem abgeleitet werden . Das relevante Theorem in diesem Fall heißt Doplicher-Roberts-Rekonstruktionstheorem , das eigentlich viel mehr beweist: Es hilft zu erklären, warum Feldoperatoren überhaupt nützlich sind, zusätzlich zur Erklärung des Pauli-Ausschlussprinzips. Dieser Satz wird auf Seite 92 in "Algebraic Quantum Field Theory", https://arxiv.org/abs/math-ph/0602036 , überprüft .

Aus meinen Recherchen ergibt sich die kurze Antwort auf Ihre Frage, dass Pauli das Prinzip entwickelt hat, mehr darüber zu erklären, was in einem Atom passiert, aber er selbst konnte nicht erklären, woher es kommt. Das Pauli-Ausschlussprinzip hat keine Ableitung. Während Wolfgang Pauli versuchte, die damals große Quantenfrage zu beantworten, warum nicht alle Elektronen in den niedrigsten Energiezustand gehen, hatte er das Pauli-Ausschlussprinzip entwickelt. Damals waren viele Physiker darüber verwirrt, weil sie keine Ahnung hatten, woher es überhaupt kam und warum es überhaupt existiert. Tatsächlich war Pauli selbst beunruhigt, dass er sein eigenes Prinzip nicht aus der Logik erklären und nicht aus irgendwelchen Quantengleichungen ableiten konnte. Dies ist ein gemeinsames Thema in der Quantenphysik,

Meine Quelle: https://www.aps.org/publications/apsnews/200701/history.cfm

Fermionen werden durch antisymmetrische Wellenfunktionen beschrieben.

$$\Psi(x_{1},x_{2})=-\Psi(x_{2},x_{1})\tag{1}$$ Wir definieren: $$\Psi(x_{1},x_{2})=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\Psi_{1}(x_{1})\Psi_{2}(x_{2})-\Psi_{1}(x_{2})\Psi_{2}(x_{1})\right]\tag{2}$$ Mit dieser Definition können wir Folgendes sehen: $$\Psi(x_{2},x_{1})=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\Psi_{1}(x_{2})\Psi_{2}(x_{1})-\Psi_{1}(x_{1})\Psi_{2}(x_{2})\right]\tag{3}$$ Also ist Gleichung (1) erfüllt. Wir können Gleichung (2) als Determinante schreiben: $$\Psi(x_{1},x_{2})=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{vmatrix} \Psi_{1}(x_{1}) & \Psi_{2}(x_{1})\\ \Psi_{1}(x_{2}) & \Psi_{2}(x_{2}) \end{vmatrix}$$ Wir können diese Determinante für beliebig viele Fermionen schreiben: $$\Psi(x_{1},x_{2},\dots,x_{N})=\frac{1}{\sqrt{N!}}\begin{vmatrix} \Psi_{1}(x_{1}) & \Psi_{2}(x_{1}) & \cdots & \Psi_{N}(x_{1})\\ \Psi_{1}(x_{2}) & \Psi_{2}(x_{2}) & \cdots & \Psi_{N}(x_{2})\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \Psi_{1}(x_{N}) & \Psi_{2}(x_{N}) & \cdots & \Psi_{N}(x_{N})\\ \end{vmatrix}$$ Dies ist als Slater-Determinante bekannt. Sie können sehen, dass die Determinante Null ist, wenn zwei oder mehr Fermionen denselben Quantenzustand teilen.

Im Zentrum steht dabei das sogenannte „Spin-Statistik-Theorem“, das besagt, dass Teilchen mit ganzzahligem Spin, aka. Bosonen, müssen der Bose-Statistik folgen und Teilchen mit halbzahligem Spin, alias. Fermionen, folgen der Fermi-Statistik, die das Pauli-Ausschlussprinzip beinhaltet. Dieser Satz folgt aus sehr allgemeinen Aussagen wie Lorenz-Invarianz, Lokalität, Einheitlichkeit, positive Norm, endliche Energie, ... Um das alles etwas mathematischer zu machen, betrachten Sie die sogenannte "Konstruktion des Fock-Zustands", die Teil des Standards ist QFT-Kurse. Man beginnt mit einem einzigen Vakuumzustand,$|0>$, und reagiert darauf mit Erstellungsoperatoren$a'_p$(es sollte das Adjoint von a sein, aber ich weiß wirklich nicht, wie ich das hier schreiben soll). Für Bosonen die Operatoren$a'_p$pendeln, während sie für Fermionen oft genannt werden$c'_p$und Antipendeln, so$c'_kc'_p=-c'_pc'_k$. Denn sonst gäbe es negative Energiezustände etc. und die Theorie würde nicht aufgehen. Sie erzeugen ein Teilchen mit Impuls p oder k, können aber auch andere Informationen über den Zustand enthalten. Also ist ein Ein-Boson-Zustand mit Impuls p

$$a'_p|0>$$ und ein Zustand mit zwei Bosonen, in dem beide Bosonen einen Impuls haben, zu dem p proportional ist $$a'_pa'_p|0>$$ Was passiert nun, wenn wir zwei Fermionen im gleichen Zustand erzeugen wollen? Das wäre $$c'_kc'_k|0>=-c'_kc'_k|0>=0$$ weil die Schöpfungsoperatoren antipendeln. Das ist ein einfacher (wenn auch zugegebenermaßen nicht sehr allgemeiner) Beweis des Pauli-Ausschlussprinzips.