Topologische Nummer des 1-D-p-Wellen-Supraleiters --- Kitaev-Modell/Draht

Question

Topologische Nummer des 1-D-p-Wellen-Supraleiters --- Kitaev-Modell/Draht

Physik
kondensierte Materie
Supraleitung
topologische Phase

Knospung

Nachdem ich das Kitaev-Modell gelernt hatte, versuchte ich, es neu zu formulieren, und stieß auf einige meiner eigenen konzeptionellen Schlupflöcher.

Hier die Einstellung: Angesichts des 1-D-Ketten-Hamiltonoperators (abweichend von der von Kitaev vorgeschlagenen ursprünglichen Form, hier modifizieren wir leicht den Koeffizienten und die Paarungsterme mit Antikommutator $\{c^\dagger_{j+1},c^\dagger_j\}=0$ um einen einfacheren BdG-Hamiltonoperator zu erhalten):

H = \sum_{J = 1}^{N} [\frac{- T}{2} (C_{J + 1}^{†} C_{J} + C_{J}^{†} C_{J + 1}) - μ C_{J}^{†} C_{J} + \frac{Δ_{0}}{4} (C_{J + 1}^{†} C_{J}^{†} - C_{J}^{†} C_{J + 1}^{†} + hc)],

$H=\sum_{j=1}^{N}\bigg[\frac{-t}{2}\big(c^\dagger_{j+1}c_j+c^\dagger_{j}c_{j+1}\big)-\mu c^\dagger_{j} c_j+\frac{\Delta_0}{4}\big(c^\dagger_{j+1} c^\dagger_j-c^\dagger_j c^\dagger_{j+1} +\text{h.c.}\big)\bigg],$ Wo

t

$t$ ist eine Hüpfkupplung,

μ

$\mu$ ist das chemische Potential, und

Δ_{0}

$\Delta_0$ eine induzierte Paarungslückenfunktion, die wir per Konvention als reell und positiv gewählt haben. Man kann damit eine Gitter-Fourier-Transformation durchführen

C_{J}^{†} = \frac{1}{\sqrt{v}} \sum_{k} e^{ich k R_{J}} C_{k}^{†},

$c^\dagger_{j}=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum_ke^{ikR_j}c^\dagger_{k},$ Wo

R_{j} = a j

$R_j=aj$ Und

a

$a$ ist die Gitterkonstante der Einfachheit halber auf eins gesetzt. Daher,

H = \sum_{k} [- T \cos k C_{k}^{†} C_{k} - μ C_{k}^{†} C_{k} + \frac{Δ_{0}}{4} (e^{ich k} C_{k}^{†} C_{- k}^{†} - e^{- ich k} C_{k}^{†} C_{- k}^{†} + hc)] = \frac{1}{2} \sum_{k} (\begin{matrix} C_{k}^{†} & C_{- k} \end{matrix}) (\begin{matrix} - T \cos k - μ & ich Δ_{0} Sünde k \\ - ich Δ_{0} Sünde k & T \cos k + μ \end{matrix}) (\begin{matrix} C_{k} \\ C_{- k}^{†} \end{matrix}) + \frac{1}{2} \sum_{T} \cos k + μ;

$H=\sum_k\bigg[-t\cos k c^\dagger_{k}c_k-\mu c^\dagger_k c_k+\frac{\Delta_0}{4}\big(e^{ik}c^\dagger_{k}c^\dagger_{-k}-e^{-ik} c^\dagger_{k} c^\dagger_{-k}+\text{h.c.}\big) \bigg]\\ =\frac{1}{2}\sum_k \begin{pmatrix} c^\dagger_{k} &c_{-k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -t\cos k-\mu&i\Delta_0\sin k\\ -i\Delta_0\sin k &t\cos k+\mu \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c_k\\c^\dagger_{-k} \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\sum_t \cos k +\mu;$ das Obige gibt das Energiespektrum an

E_{\pm} (k) = \pm \sqrt{(T \cos k + μ)^{2} + Δ_{0}^{2} {Sünde}^{2} k} .

$E_\pm(k)=\pm\sqrt{\big(t\cos k +\mu\big)^2+\Delta_0^2\sin^2 k}.$ Um die topologischen Merkmale dieser Theorie zu sehen, schreiben wir den BdG-Hamilton-Operator (Matrix) in Dirac-Hamilton-Operator um

H (k) = d (k) \cdot σ

$\mathsf{H}(k)=\mathbf{d} (k) \cdot \boldsymbol{\sigma}$ mit

D (k) = - (0, Δ_{0} Sünde k, T \cos k + μ),

$\textbf{d}(k)=-\big(0,\Delta_0\sin k, t\cos k+\mu \big),$ Laufen in einem

(σ_{y}, σ_{z})

$(\sigma_y,\sigma_z)$ -Ebene

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ was als der Raum von Hamiltonian betrachtet wird

k

$k$ fegt über die gesamte BZ. Die Flugbahn von

d

$\textbf{d}$ ist eine Ellipse mit Mittelpunkt

d_{z} = - μ

$d_z=-\mu$ . Zusammen mit der Tatsache, dass das Energiespektrum dieser parametrischen Theorie die Anhaltspunkte zum Auffinden physikalisch unterschiedlicher Phasen liefert und man z

Δ_{0} \neq 0

$\Delta_0\neq0$ , die Lücke schließt sich bei

T \cos k + μ = Sünde k = 0,

$t\cos k +\mu=\sin k=0,$ was gültig ist bei "

k = 0

$k=0$ mit

μ = - t

$\mu=-t$ " Und "

k = π

$k=\pi$ mit

μ = t

$\mu=t$ ".

So weit so gut, hier ist der Punkt, an dem die Verrücktheit beginnt:

Daher z $k$ geht von $0$ Zu $2\pi$ , gibt es drei Phasen:

Für $0<t<\mu$ , $\Delta>0$ der Ursprung liegt außerhalb der Schleife, was eine triviale Phase ist.
Für $\mu=0, t>0$ Der Ursprung liegt innerhalb der Schleife, die topologisch ist und die Windungsnummer 1 hat.
Für $\mu=0, t<0$ der Ursprung liegt immer noch innerhalb der Schleife, aber die Windungszahl ist -1.

Hmm ... Ich bekomme 1 triviale Phase wie das Kitaev-Modell, aber 2 nicht triviale Phasen, die der Wicklungsnummer entsprechen $\pm 1$ !

Aber normalerweise (siehe Seite 198 des Buches von Bernevig und Hughes) sagen wir, dass die Kitaev-Kette die topologische Zahl/Invariante von hat $\mathbb{Z}_2$ , dh $0,1$ (Mod $2$ ). So $w=1$ Und $w=-1$ wäre die gleiche Phase. Das heißt, man kann sich von einem zum anderen verwandeln, ohne die Lücke zu schließen (, was wahr ist und ich weiß es.)

Es ist bekannt, dass topologische Klassifikationen im Allgemeinen durchgeführt werden, indem eine ganze Zahl gefunden wird, die als topologische Invariante bezeichnet wird. Daher würde ich naiverweise erwarten, dass unterschiedliche topologische Zahlen unterschiedlichen topologischen Klassen (oder Phasen) entsprechen würden.

Meine Frage wäre:

Wo habe ich falsch gemacht? Und wie soll ich die topologische Zahl erklären $w=\pm1$ Ich habe dieselbe Phase, während die allgemeine Aussage lautet, dass wir mit diesen topologischen Zahlen unterschiedliche topologische Phasen klassifizieren können?

Meine Hauptreferenzen sind: [1]Das Buch von Bernevig und Hughes. [2]Kitaevs Originalarbeit.

*Ich habe eine Weile nach relevanten Fragen und Antworten zu SE gesucht und nicht viel gefunden. Wenn es sich lohnt zu graben, lassen Sie es mich bitte wissen :p

Antworten (1)

Topologische Nummer des 1-D-p-Wellen-Supraleiters --- Kitaev-Modell/Draht

Everett Du · Answer 1

Sie haben recht, wenn Sie das beobachten $w=+1$ Und $w=-1$ bezeichnen dieselbe topologische Phase der Majorana-Kette. Dieses Paradoxon wird gelöst, indem man versteht, dass die Wicklungszahl $w$ ist nicht der richtige topologische Index für die Majorana-Kette. In diesem Artikel https://arxiv.org/pdf/1403.4938.pdf wurde gezeigt, dass unterschiedliche Windungszahlen der gleichen topologischen Phase der Majorana-Kette entsprechen können, also gibt es tatsächlich eine „Entartung“ in der Windungszahl.

Es gibt mindestens zwei Gründe, warum die Windungszahl nicht als topologischer Index der fermionischen symmetriegeschützten topologischen (SPT) Phasen dient:

Es wird nicht erwartet , dass die Windungszahl, wie sie aus der topologischen Bandtheorie des freien Fermions berechnet wird , funktioniert, sobald die Fermion-Wechselwirkung eingeführt ist. Die fermionischen SPT-Phasen interagieren jedoch im Allgemeinen , sodass man nicht erwarten sollte, dass die Wicklungsnummer die SPT-Phasen korrekt kennzeichnet.
Auch wenn wir uns auf die freien Fermion-SPT-Phasen beschränken, ist die Windungszahl immer noch keine gute Idee, da sie nur bei Vorliegen einer bestimmten Art der Zeitumkehrsymmetrie in der Symmetrieklasse BDI wohldefiniert ist, wo die Zeit -Umkehrung $\mathcal{T}$ wirken auf das Fermion als $\mathcal{T}^2=+1$ . (Als Nebenbemerkung müssen wir auch verstehen, dass es je nach Symmetrieklasse viele Versionen von Majorana-Ketten gibt. Zum Beispiel hat die BDI-Klasse eine $\mathbb{Z}_8$ Klassifizierung, während die Klassen D und DIII haben $\mathbb{Z}_2$ Klassifikationen. Es ist also auch falsch zu sagen, dass die Majorana-Kette eine hat $\mathbb{Z}_2$ topologischer Index ohne Angabe der Symmetrieklasse.)

Die korrekte Klassifizierung von Majorana-Ketten basiert entweder auf der K-Theorie in der freien Fermion- Grenze (weitere Diskussionen finden Sie unter Topologische Isolatoren: Warum K-Theorie-Klassifizierung und nicht Homotopie-Klassifizierung? ) oder auf der $\mathbb{Z}_2$ -gradierte Gruppenkohomologietheorie (siehe Fidkowski-Kitaev https://arxiv.org/pdf/1008.4138.pdf ) oder die Spinkobordismustheorie (siehe https://arxiv.org/pdf/1406.7329.pdf ) für den Wechselwirkungsfall . Jedenfalls die Wicklungszahl $w\in\mathbb{Z}$ (oder die Homotopietheorie ) wird niemals als topologischer Index zur Kennzeichnung/Klassifizierung der SPT-Phasen verwendet. Denken Sie nur, dass wir nicht einmal eine haben $\mathbb{Z}$ -klassifizierte Majorana-Kette, also wie kann die $\mathbb{Z}$ -bewertete Windungszahl evtl. richtig?

Aber grob gesagt ist es immer noch in Ordnung zu glauben, dass der topologische Index mit der Wicklungszahl modulo einer ganzen Zahl "verwandt" ist . Zum Beispiel für die Majorana-Kette der Klasse DIII, die $\mathbb{Z}_2$ Topologischer Index $\nu_\text{DIII}$ hängt mit der Windungszahl zusammen $w$ von $\nu_\text{DIII}=w\text{ mod }2$ , so dass $w=+1$ Und $w=-1$ bezeichnen dieselbe topologische Phase, die durch den korrekten topologischen Index eindeutig identifiziert ist $\nu_\text{DIII}=1$ ohne das $\pm1$ Diskrepanz.

Vielen Dank für die perfekte Beantwortung meiner Zweifel und die Bereitstellung nützlicher Kommentare und Referenzen! Obwohl es für mich noch viel zu verdauen gibt, ist es wirklich hilfreich!

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Knospung

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Everett Du

Knospung

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