Uhr auf einem Pendel

Ja, der mit dem Pendel reisende Beobachter misst zwar vor- und zurück die gleiche Geschwindigkeit, aber im inertialen Beobachtersystem variiert die Geschwindigkeit des Pendels relativ zum bewegten System zwischen dem Vorwärtsschwung und dem Rückwärtsschwung. Sie können dies anhand der Geschwindigkeitsadditionsformel überprüfen, die zur Berechnung relativer Geschwindigkeiten verwendet wird (unten in natürlichen Einheiten dargestellt , d. h. alle Geschwindigkeiten werden als Bruchteil von 1 ausgedrückt, wobei 1 die Lichtgeschwindigkeit ist).

Wo$v$ist die Geschwindigkeit des Systems, das das Pendel enthält,$u'$ist die Geschwindigkeit des Pendels, wie sie in diesem System gemessen wird, und$u$ist die absolute Geschwindigkeit des Pendels, gemessen im Trägheitsbeobachterrahmen. Die vom Trägheitsbeobachter gemessene Geschwindigkeit des Pendels relativ zum Drehpunkt ist$|u - v|$und Sie können diesen Vorwärtsschwung berechnen$+u'$ergibt eine langsamere relative Geschwindigkeit als$-u'$im Rückschwung.

Da das Pendel beim Rückschwung schneller schwingt, ist die Dauer seines Schwungs kürzer und das gleicht die Tatsache aus, dass die Uhr schneller tickt (aufgrund der geringeren Zeitdilatation) und die Anzahl der Ticks sich genau summiert auf die Anzahl der Ticks beim Vorwärtsschwung, der eine längere Dauer, aber mehr Zeitdehnung hat.

Wir können diese Beziehung algebraisch ausdrücken, indem wir anmerken, dass die Dauer einer Halbperiode im Inertialsystem ist$\Delta t = {L \over |u - v|}$Wo$L$ist die Strecke, die in einem halben Schwung zurückgelegt wird; und die Formel für die im Rahmen der Uhr verstrichene Zeit (dh die Anzahl der Ticks) lautet$\Delta t' = \Delta t \sqrt {1 - u^2}$. Manipulieren und Vereinfachen der Formel für den Fall wo$u$positiv (der Vorwärtsschwung) und negativ (der Rückwärtsschwung) ist, wird dies demonstrieren$\Delta t$ist für beide gleich, obwohl sie sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten fortbewegen.

(Ich habe noch nicht den zugrunde liegenden Mechanismus untersucht, warum die Geschwindigkeit zwischen Vorwärts- und Rückwärtsschwung variiert).

Ich sehe zwei Hauptprobleme mit Ihrem Szenario:

1) Ein Pendel ist kein Trägheitsbezugssystem, daher funktioniert die spezielle Relativitätstheorie hier nicht wirklich.

2) Wenn Sie das Problem als eine Reihe von augenblicklichen Trägheitsreferenzrahmen betrachten, wie dies beim klassischen relativistischen Raketenproblem der Fall ist, werden Sie feststellen, dass Ihre Annahme, wie die Zeit gemessen wird, falsch ist: Die beiden Beobachter werden keine unterschiedliche Anzahl von Ticks auf dem Vor- und Rückschwung beobachten, weil die Anzahl der Ticks auch aus der Perspektive eines stationären Beobachters dilatiert ist. Es kann also sechs Ticks dauern, bis das Pendel vorwärts geht, und sechs Ticks, um zurückzugehen, aber für den stationären Beobachter werden die sechs Ticks bei der Vorwärtsbewegung langsamer ablaufen als die beim Rückschwung. Ein Beobachter, der auf dem Pendel sitzt, würde sehen, dass sie alle mit der gleichen Geschwindigkeit geschehen, und ein Beobachter, der auf dem Drehpunkt des Pendels (mit konstanter Geschwindigkeit) sitzt, würde eine symmetrische Zeitdilatation für die vorderen und hinteren Schwingungen sehen.

Ein Pendel ist im Grunde eine Uhr. Wenn wir also das Problem der Trägheitsreferenzrahmen ignorieren, wirken sich alle relativistischen Effekte, die das Pendel beeinflussen, in ähnlicher Weise auf die Uhr aus.