Ungefährer Ausdruck für den Grundzustand des hüpfenden Hamilton-Operators

Question

Ungefährer Ausdruck für den Grundzustand des hüpfenden Hamilton-Operators

Physik
Vielkörper
Quantenmechanik
zweite Quantisierung
Statistische Mechanik

WuffDoggy

In der zweiten Quantisierung ist der Hamilton-Operator gegeben, der den Sprungprozess zwischen zwei benachbarten Orten beschreibt ( $N$ - Anzahl der Partikel und $M$ - Anzahl der Standorte) von:

\hat{H} = J \sum_{⟨ ich, J ⟩} {\hat{A}}_{ich}^{†} {\hat{A}}_{J}

$\hat{\mathcal H} = J\sum\limits_{\langle i,j \rangle}\hat{a}^{\dagger}_{i}\hat{a}_{j}$

Es kann mit Fourier-Reihen diagonalisiert werden

{\hat{A}}_{ich} = \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{k} {\hat{B}}_{k} e^{- ich k \cdot R_{ich}}

$\hat{a}_{i} = \frac{1}{\sqrt{M}}\sum\limits_{\mathbf{k}} \hat{b}_{\mathbf{k}}e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}_i}$

Der Grundzustand ist gegeben durch

| G S ⟩ = \frac{1}{\sqrt{N!}} {({\hat{B}}_{k = 0}^{†})}^{N} | 0 ⟩ \approx C e^{\sqrt{N} {\hat{B}}_{k = 0}^{†}} | 0 ⟩

$|\mathrm{GS}\rangle = \frac{1}{\sqrt{N!}}\left( \hat{b}^{\dagger}_{\mathbf{k} = \mathbf{0}}\right)^N | 0 \rangle \approx C\ e^{\sqrt{N}\hat{b}^{\dagger}_{\mathbf{k} = \mathbf{0}}}| 0 \rangle$

Wie wird die Annäherung begründet ( $C$ sorgt für eine Normalisierung)?

AKTUALISIEREN

Ich habe einige Mengen mit beiden Zuständen berechnet. Zunächst einmal können beide Zustände mit Site-Creation-Operatoren dargestellt werden $\hat{a}_i$ auf die folgende Weise:

| G S_{1} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{N!}} {[\frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{ich = 1}^{M} {\hat{A}}_{ich}^{†}]}^{N} | 0 ⟩

$|\rm GS_{1}\rangle = \frac{1}{\sqrt{N!}}\left[\frac{1}{\sqrt{M}}\sum\limits_{i=1}^{M}\hat{a}_{i}^{\dagger} \right]^{N} |0\rangle$

| G S_{2} ⟩ = \prod_{ich = 1}^{M} e^{\sqrt{\frac{N}{M}} ({\hat{A}}_{ich}^{†} - {\hat{A}}_{ich})} | 0 ⟩

$|\rm GS_2 \rangle = \prod\limits_{i=1}^{M}e^{\sqrt{\frac{N}{M}}(\hat{a}^{\dagger}_i - \hat{a}_i)}|0\rangle$ so ist der erste Zustand

S U (M)

$\rm SU(M)$ kohärenter Zustand, während der zweite das Produkt von kohärenten Glauber-Zuständen ist. Ein paar interessante Mengen:

Energie - Erwartungswert des Hamiltonoperators:
$⟨ \hat{H} ⟩_{1} = 2 J N$ $\langle \hat{\mathcal H} \rangle_{1} = 2JN$ $⟨ \hat{H} ⟩_{2} = 2 J N$ $\langle \hat{\mathcal H} \rangle_{2} = 2JN$
Partikeldichte und Schwankungen:
$⟨ {\hat{N}}_{ich} ⟩_{1} = \frac{N}{M}, ⟨ Δ {\hat{N}}_{ich}^{2} ⟩_{1} = \frac{N}{M} (1 - \frac{1}{M})$ $\langle \hat{n}_{i} \rangle_{1} = \frac{N}{M},\ \ \ \langle \Delta \hat{n}_{i}^{2} \rangle_{1} = \frac{N}{M}\left(1 - \frac{1}{M} \right)$ $⟨ {\hat{N}}_{ich} ⟩_{2} = \frac{N}{M}, ⟨ Δ {\hat{N}}_{ich}^{2} ⟩_{2} = \frac{N}{M}$ $\langle \hat{n}_{i} \rangle_{2} = \frac{N}{M},\ \ \ \langle \Delta \hat{n}_{i}^{2} \rangle_{2} = \frac{N}{M}$
Gesamtzahl der Partikel und Fluktuationen:
$⟨ \hat{N} ⟩_{1} = N, ⟨ Δ {\hat{N}}^{2} ⟩_{1} = 0$ $\langle \hat{N} \rangle_{1} = N,\ \ \ \langle \Delta \hat{N}^{2} \rangle_{1} = 0$ $⟨ \hat{N} ⟩_{2} = N, ⟨ Δ {\hat{N}}^{2} ⟩_{2} = N$ $\langle \hat{N} \rangle_{2} = N,\ \ \ \langle \Delta \hat{N}^{2} \rangle_{2} = N$

Wie @NorberSchuch in seiner Antwort unten erwähnte, sind Partikeldichteschwankungen praktisch gleich und fallen in der thermodynamischen Grenze zusammen.

Antworten (2)

Ungefährer Ausdruck für den Grundzustand des hüpfenden Hamilton-Operators

Norbert Schuch · Answer 1

Die Grundidee ist, dass der Term mit dem höchsten Gewicht in der Exponentialreihe genau der gewünschte Term ist. Außerdem bezieht sich das gesamte Gewicht auf die Anzahl der Partikel in der Nähe, und kleine Schwankungen dieser Anzahl spielen in vielen Fällen keine Rolle.

(Hinweis: Ich lasse die $k=0$ tiefstellen und einfach schreiben $b^\dagger$ im Folgenden der Einfachheit halber.)

Erstens haben wir das

e^{\sqrt{N} B^{†}} | 0 ⟩ = \sum \frac{{\sqrt{N}}^{k}}{k!} (B^{†})^{k} | 0 ⟩ .

$e^{\sqrt{N}b^\dagger} |0\rangle = \sum \frac{\sqrt{N}^k}{k!} (b^\dagger)^k |0\rangle\ .$ Lassen Sie uns nun untersuchen, welcher Begriff in der Reihe das höchste Gewicht hat. Dazu müssen wir sicherstellen, dass die entsprechenden Zustände die gleiche Normierung haben. Dies ist, wenn wir einen normalisierten Zustand definieren

| k ⟩ = \frac{(B^{†})^{k}}{\sqrt{k!}} | 0 ⟩,

$|k\rangle = \frac{(b^\dagger)^k}{\sqrt{k!}}|0\rangle\ ,$ von denen jedes mit einer Wahrscheinlichkeit in der Reihe erscheint

| C_{k} |^{2} = \frac{N^{k}}{k!} .

$|c_k|^2 = \frac{N^k}{k!}\ .$ Dies ist eine (unnormalisierte) Poisson-Verteilung , deren Mittelwert genau bei liegt

k = N

$k=N$ , wie gewünscht.

Beachten Sie, dass dies tatsächlich nicht bedeutet, dass die beiden Zustände in jedem Entfernungsmaß nahe beieinander liegen (tatsächlich sind sie es nicht). Es sagt uns jedoch, dass das meiste Gewicht in der Summe in Staaten mit liegt $|k-N|\le c\sqrt{N}$ , wie die Varianz der Poisson-Verteilung ist $N$ . Da wir uns in vielen Anwendungen tatsächlich um die Anzahl der Partikel pro Standort kümmern (die eine intensive Menge ist und gut definiert ist, wenn die Systemgröße ins Unendliche geht), und jede solche Schwankung in $k$ wird verschwinden als $N\rightarrow\infty$ , werden beide Zustände im thermodynamischen Grenzfall die gleiche Teilchendichte haben und somit die gleiche Physik beschreiben.

Ich habe Berechnungen mit beiden Zuständen durchgeführt und sie haben die gleiche Energie und mittlere Anzahl von Teilchen pro Ort. Ich verstehe Ihre Antwort also nicht, weil Sie geschrieben haben, dass die Partikeldichte in der thermodynamischen Grenze gleich ist.
@Nex_Friedrich "Partikeldichte" = "mittlere Partikelanzahl pro Standort". Es klingt für mich so, als würden wir dasselbe sagen. Wo sehen Sie ein Problem?
Ihre Antwort: "Beide Zustände haben in der thermodynamischen Grenze die gleiche Teilchendichte und beschreiben somit die gleiche Physik" - sie haben für alle die gleiche Dichte $N$ .
beide Zustände sind symmetrisch unter Austausch von Erzeugungsoperatoren $\hat{a}^{\dagger}_{i}$ , also haben sie die gleiche mittlere Anzahl von Teilchen und Fluktuationen pro Ort.
Sie haben absolut Recht (und tatsächlich ist der Mittelwert der Verteilung für jede Systemgröße der richtige). Der Punkt, den ich machen wollte, war in der Tat, dass die Schwankungen der Dichte in der thermodynamischen Grenze klein werden. Aber es könnte durchaus sein, dass noch stärkere Aussagen gelten - Sie können meine Antwort gerne entsprechend bearbeiten!

Benennen Sie YYY · Answer 2

1) Lassen Sie uns über die Energie von Grundzuständen sprechen. Mit Notationen

| {GS}_{1} ⟩ \equiv \frac{1}{\sqrt{N!}} {({\hat{B}}_{k = 0}^{†})}^{N} | 0 ⟩, | {GS}_{2} ⟩ \equiv C e^{\sqrt{N} {\hat{B}}_{k = 0}^{†}} | 0 ⟩

$|\text{GS}_{1}\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{N!}}\left(\hat{b}^{\dagger}_{\mathbf k = 0}\right)^{N}|0\rangle , \quad |\text{GS}_{2}\rangle \equiv Ce^{\sqrt{N}\hat{b}_{\mathbf k = 0}^{\dagger}}|0\rangle$ Sie erhalten

\hat{H} | {GS}_{1} ⟩ = J {\hat{B}}_{k = 0}^{†} {\hat{B}}_{k = 0} {({\hat{B}}_{k = 0}^{†})}^{N} | 0 ⟩ = J N | {GS}_{1} ⟩,

$\hat{H}|\text{GS}_{1}\rangle =J \hat{b}^{\dagger}_{\mathbf k = 0}\hat{b}_{\mathbf k =0 }\left(\hat{b}^{\dagger}_{\mathbf k = 0}\right)^{N}|0\rangle = JN|\text{GS}_{1}\rangle,$

\hat{H} | {GS}_{2} ⟩ = J {\hat{B}}_{k = 0}^{†} {\hat{B}}_{k = 0} | {GS}_{2} ⟩ = | {\hat{B}}_{k = 0}^{†} | {GS}_{2} ⟩ = {\hat{B}}_{k = 0}^{†} | {GS}_{2} ⟩ = \sqrt{N} | {GS}_{2} ⟩ | = J N | {GS}_{2} ⟩

$\hat{H}|\text{GS}_{2}\rangle =J \hat{b}^{\dagger}_{\mathbf k = 0}\hat{b}_{\mathbf k =0 }|\text{GS}_{2}\rangle = \left| \hat{b}^{\dagger}_{\mathbf k = 0}|\text{GS}_{2}\rangle = \hat{b}^{\dagger}_{\mathbf k = 0}|\text{GS}_{2}\rangle = \sqrt{N}|\text{GS}_{2}\rangle\right| = JN|\text{GS}_{2}\rangle$ Deshalb kann man von Ähnlichkeit sprechen

| {GS}_{1} ⟩

$|\text{GS}_{1}\rangle$ Und

| {GS}_{2} ⟩

$|\text{GS}_{2}\rangle$ : Sie haben die gleiche Energie. Außerdem haben sie die gleiche Anzahldichte

n \equiv \frac{N}{M}

$n \equiv \frac{N}{M}$ .

2) Sie sind jedoch zumindest für die ebene Welle nicht äquivalent

{\hat{ψ}}_{ich} = \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{k} e^{ich k \cdot R_{ich}} {\hat{B}}_{k}

$\hat{\psi}_{i} = \frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{\mathbf k}e^{i\mathbf k \cdot \mathbf R_{i}}\hat{b}_{\mathbf k}$ entsprechende VEVs sind

ψ^{(1)} \equiv ⟨ {GR}_{1} | {\hat{ψ}}_{ich} | {GR}_{1} ⟩ = 0, ψ^{(2)} \equiv ⟨ {GR}_{1} | {\hat{ψ}}_{ich} | {GR}_{1} ⟩ = \sqrt{\frac{N}{M}} \neq 0

$\psi^{(1)} \equiv \langle \text{GR}_{1}|\hat{\psi}_{i}|\text{GR}_{1}\rangle = 0, \quad \psi^{(2)}\equiv \langle \text{GR}_{1}|\hat{\psi}_{i}|\text{GR}_{1}\rangle = \sqrt{\frac{N}{M}} \neq 0$

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