Unsicherheitsprinzip im unendlichen Potentialtopf

Betrachten Sie einen unendlichen Potentialtopf, dh den Hilbert-Raum L 2 ( [ 0 , 1 ] ) . Als nächstes betrachten wir eine Teilmenge

D θ = { ψ ∈ L 2 ( [ 0 , 1 ] ) | ψ ist absolut durchgehend und  ψ ( 0 ) = e ich θ ψ ( 1 ) }
auf dem wir den Operator definieren P θ = ich ∂ ∂ X . Bezeichne mit ψ N , θ = e ich ( 2 π N − θ ) X , N ∈ Z Eigenfunktionen von P θ zu den Eigenwerten λ N , θ = 2 π − θ . Fahren Sie nun mit dem Kommutator fort [ X , P θ ] . Normalerweise wäre es gleich − ich , aber man kann schreiben:
⟨ ψ N | [ X , P ] ψ N ⟩ = ⟨ ψ N | ( X P − P X ) ψ N ⟩ = λ N ⟨ ψ N | ( X − X ) ψ N ⟩ = 0 ≠ − ich ⟨ ψ N | ψ N ⟩ = − ich

Meine Frage ist: wie soll man mit der Unschärferelation im unendlichen Potential gut umgehen?

Wie hast du den dritten Schritt gemacht? Wenn Sie haben P Wenn Sie nach links handeln, sollten Sie das erkennen ⟨ ψ N | ist das komplexe Konjugat von | ψ N ⟩
⟨ ψ N | ( X P − P X ) ψ N ⟩ = − ⟨ P ∗ ψ N | X ψ N ⟩ + ⟨ ψ N | X | P ψ N ⟩ = − λ ⟨ ψ N | X | ψ N ⟩ + λ ⟨ ψ N | X | ψ N ⟩
Der Eigenwert von P ∗ Ist − λ
Aber P ist selbstadjungiert - siehe slu.cz/math/cz/knihovna/ucebni-texty/… Seite 32 Beispiel 1. Das ist meine Quelle.
@zephyr eigentlich kann ich nicht sehen, wie es mit meiner Frage zusammenhängt.
Konjugieren Sie den Operator, den Sie oben notiert haben. Es hat eine explizite ich drin.

Antworten (2)

Das Problem bei der Auswertung ist die Funktion X ψ N liegt außerhalb der Domäne D θ da es die Randbedingung nicht erfüllt.

Der Betreiber P θ ist auf dieser Klasse von Funktionen nicht selbstadjungiert. Daher ist der Schritt seiner Bewertung auf dem Ket nicht korrekt.

Der korrekte Weg zur Durchführung der Berechnung ist die partielle Integration und in diesem Fall der Randterm at X = 1 gibt die richtige Antwort.

Bitte lesen Sie den folgenden Artikel von: F. Gieres: „Mathematische Überraschungen und Diracs Formalismus in der Quantenmechanik“, wo Beispiele für ähnliche Fehler gegeben werden. Bitte beachten Sie insbesondere Beispiel 5 auf Seite 6 und seine Lösung auf Seite 39, die dem vorliegenden Problem sehr ähnlich ist.

Ich stütze mich auf den folgenden Artikel slu.cz/math/cz/knihovna/ucebni-texty/… -- Seite 32, Beispiel 1. Der Autor dort gibt an, dass der Impulsoperator selbstadjungiert ist. Das Problem ist, dass X Operator in nicht kompatibel mit Randbedingung. Trotzdem würde ich gerne sehen, wie man das Unsicherheitsproblem gut überwindet.
Der Hilbertraum D θ ist unter der Wirkung des Positionsoperators nicht stabil. Die Lösung besteht darin, Operatoren zu ermöglichen, auf einem viel größeren Raum als diesem Hilbert-Raum zu agieren, siehe Seite 18 in der Referenz, die im Haupttext angegeben ist. Jetzt sind die Operatoren nur Multiplikation und Ableitung, die Unsicherheitsrelation ist durch elementare Kalkül überprüfbar. Falsch zu schreiben ist folgendes: ( P θ Ψ 1 , Ψ 2 ) = ( Ψ 1 , P θ Ψ 2 ) in dem Fall, dass Ψ 1 = ψ N Und Ψ 2 = X ψ N . Sie können überprüfen, ob die Gleichheit wieder falsch ist, indem Sie die elementare Analysis verwenden.
OK danke. Mir wird vieles klarer. Wenn ich beim Rechnen die Unschärferelation für unendlich gut überprüfen würde σ X , σ P Und | ⟨ [ P , X ] ⟩ | Ich sollte einfach Standardintegrale für diesen Ausdruck verwenden und es ist in Ordnung?
Ja, in diesem Fall stimmt es. Gieres Referenz betont, dass bei der Handhabung des Dirac-Bra- und Ket-Formalismus im Fall von unendlich dimensionalen Hilbert-Räumen Vorsicht geboten ist. Die Operatordomänen müssen bei der Entscheidung über die Selbstadjonenz berücksichtigt werden.

Das „Unsicherheitsprinzip“ ist sicherlich ein Schlagwort (insbesondere für Neulinge), das einzige wirkliche Problem besteht darin, dass die Menschen ein wenig (oder vielleicht mehr) über Funktionsanalyse wissen müssen, um ihre wahre Bedeutung zu finden und zu verstehen. Als allgemeine Ressource kann man das Buch von Brian Hall „ https://www.amazon.com/Quantum-Theory-Mathematicians-Graduate-Mathematics/dp/146147115X “ nehmen. Es hat Kapitel 12 für dieses spezielle Thema.

Das Problem im OP ist, dass die Domäne der Selbstadjungiertheit für P θ umfasst nicht den Bereich von X unter den besonderen Randbedingungen, die durch die Selbstadjungiertheit von erforderlich sind P θ . Die allgemeine Theorie behauptet, dass der maximale Definitionsbereich des Kommutators von 2 unbeschränkten Operatoren eine bestimmte Einschränkung hat (3 Bedingungen)

D [ A , B ] =: { ψ ∈ D ( A ) ∩ D ( B )   |   rannte ( A ) ⊂ D ( B )   ∧   rannte ( B ) ⊂ D ( A ) }

Diese Bedingungen (dass D(A) und D(B) einen Nicht-Void-Schnitt haben und außerdem die Wertebereiche der beiden Operatoren in der Domäne des anderen enthalten sind) müssen für jedes physikalische System überprüft werden. Erst dann (wenn diese 3 erfüllt sind) darf man Aussagen über „Unsicherheitsprinzipien“ und deren mögliches Versagen machen.

Als Randbemerkung: Bei der Erörterung von Angelegenheiten der Hilbert-Raum-Operatortheorie wird dringend empfohlen, den "bra-ket"-Formalismus NICHT zu verwenden, einfach weil seine mathematische Grundlage wirklich außerhalb des Bereichs der Hilbert-Raum-Theorie liegt. Die Stärke des Braket-Formalismus liegt nur auf der Ebene des formalen Kalküls, dh wenn man formale Berechnungen durchführt und sich keine Gedanken darüber macht, ob diese Ausdrücke vom mathematischen Standpunkt aus sinnvoll sind

Unsicherheitsprinzip im unendlichen Potentialtopf
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