Unterschied zwischen reinen Quantenzuständen und kohärenten Quantenzuständen

Die Verwirrung entsteht, weil das Wort „kohärent“ sich entwickelt hat, um in verschiedenen Kontexten, in denen es nicht vollständig qualifiziert ist, unterschiedliche Bedeutungen zu haben.

Zurückkommend auf das 2-Spalt-Experiment zeigt man, dass die Intensität des Signals an einem bestimmten Punkt

Dies steht im Gegensatz zu inkohärentem Licht , bei dem die Intensität an einem Punkt nur die Summe der einzelnen Intensitäten der verschiedenen Quellen ist:$I_{tot}=I_1+I_2$. Das passiert, wenn Sie zwei Taschenlampen auf eine Wand richten: Die Intensität des Lichts ist nur die Summe der Intensität der beiden Taschenlampen: Es gibt keine dunklen und hellen Interferenzstreifen.

Nun, sagen wir in einer Linearkombination von Wellenfunktionen

In einem gemischten Zustand (der nicht durch eine Wellenfunktion beschrieben werden kann) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte eine Summe einzelner Wahrscheinlichkeitsdichten, also so etwas wie$\vert\psi(x)\vert^2 =\vert\alpha \psi_1(x)\vert^2+\vert \beta\psi_2(x)\vert^2$ohne den Interferenzterm. Beachten Sie, dass$\psi_1(x)$könnte selbst eine Summe sein, dh$\psi_1(x)=a \phi(x)+b \chi(x)$so dass$\vert\psi_1(x)\vert^2 = \vert a\phi(x)+b\chi(x)\vert^2$kann Kreuzbegriffe haben, aber es gäbe keine Kreuzbegriffe zwischen den Stücken in$\psi_1(x)$Und$\psi_2(x)$.

Nun zu kohärenten Zuständen. Glauber untersuchte in der Quantenoptik die Frage der Kohärenz, also der Kohärenzeigenschaften des quantisierten elektromagnetischen Feldes . Das Werkzeug der Wahl ist hier die Korrelationsfunktion, und Glauber konnte eine lineare Kombination harmonischer Oszillatorzustände finden, die im Sinne der Korrelationsfunktion „kohärent zu allen Ordnungen“ war. Diese Zustände nennt Glauber natürlich „kohärente Zustände“. Kohärente Zustände sind reine Zustände, sodass die verschiedenen Teile interferieren können und sie daher in dem Sinne kohärent sind, dass Kreuzterme in der Wahrscheinlichkeitsdichte auftreten. Während jedoch alle reinen Zustände eine kohärente Überlagerung von Basiszuständen sind, sind nicht alle von ihnen „kohärent“ in dem Sinne, dass ihre Korrelationsfunktionen die von Glauber aufgestellte Bedingung nicht erfüllen.

Um die Sache noch schlimmer zu machen, erkannte Peremolov, dass die kohärenten Glauber-Zustände mathematisch verallgemeinert werden könnten. Perelomov beobachtete, dass die kohärenten Glauber-Zustände geschrieben werden könnten als

Man kann zeigen, dass der Glauber kohärenter Zustand ist$\vert\alpha\rangle$von Gl.(4) stellt sich als Eigenzustand des Vernichtungsoperators heraus$a$, dh$a\vert\alpha\rangle=\alpha\vert\alpha\rangle$. Offensichtlich kann dies nicht passieren, wenn der Hilbert-Raum eine endliche Dimension hat, so dass kohärente Drehimpulszustände von (5) keine Eigenzustände von beiden sind$J_+$oder$J_-$. Sie teilen jedoch mit vielen Eigenschaften der Glauber kohärente Zustände. Beide Zustände haben eine minimale Unsicherheit (wenn die Drehimpulsoperatoren richtig definiert sind), und beide Zustände erzeugen spezifische Faktorisierungseigenschaften, wenn einige Größen berechnet werden. Verallgemeinerte kohärente Zustände sind nicht auf den Drehimpuls beschränkt, sondern wurden für eine Vielzahl von Fällen definiert, entweder indem darauf bestanden wird, dass sie eine minimale Unsicherheit haben, oder sie sind die Übersetzung eines bestimmten Zustands.

Zusammenfassung: Reine Zustände sind kohärente Überlagerungen von Basiszuständen. Gemischte Zustände sind inkohärente Überlagerungen von Zuständen. Kohärente Glauber-Zustände (oder kohärente Zustände eines harmonischen Oszillators) sind reine Zustände, erfüllen aber auch zusätzliche Eigenschaften, wie sie von Glauber in Form von Korrelationsfunktionen dargelegt wurden. Verallgemeinerte kohärente Zustände wurden von Perelomov eingeführt; sie sind reine Zustände, die einige Eigenschaften der kohärenten Glauber-Zustände teilen.

Eine gute Möglichkeit, die Beziehung zwischen den Begriffen zu verstehen, besteht darin, den Unterschied zwischen einem einzelnen Photon und dem Strahl aus vielen Photonen zu betrachten, der aus einem Laser kommt. Das einzelne Photon, das jedes Mal auf die gleiche Weise präpariert wird, ist ein so reiner reiner Zustand, wie Sie ihn bekommen können. Der Laser sendet Photonen aus, die alle die gleiche Frequenz und Polarisation haben, und das klingt auch nach einem reinen Zustand. Aber was anders ist, ist, wenn man anfängt zu überlegen, wie viele es sind.

Aus dem Laser kommen natürlich viele, viele Photonen. In einem$1\,mW$grüner Laser hättest du (Leistung/(hc/Wellenlänge))$2.7*10^{15}$Photonen pro Sekunde im Durchschnitt . Es ist wichtig zu verstehen, dass ich hier nicht nur Durchschnitt sage , weil der Wert ungenau ist. Ich sage im Durchschnitt , weil das aus dem Laser kommende Ensemble von Photonen ein kohärenter Zustand ist, der durch eine Poisson-Verteilung definiert ist , die einfach besagt, dass ein bestimmtes Photon jederzeit mit gleicher Wahrscheinlichkeit ankommt (die Ankunftszeiten sind unabhängig und zufällig ). Wenn Sie viele Photonen betrachten, sagt Ihnen die Poisson-Verteilung, wie wahrscheinlich es ist, dass Sie in jedem Zeitintervall sagen wir 1 Photon, 2 Photonen, ... 100 Photonen usw. erhalten.

Wie bekommt man also ein einzelnes Photon aus einem Laserstrahl? Eine Möglichkeit, es zu versuchen, wäre, einen Verschluss für eine sehr kurze Zeit zu öffnen. Sie würden die Zeitdauer anpassen, für die der Verschluss geöffnet ist, um im Durchschnitt nur ein Photon durchzulassen. Meistens erhalten Sie dabei nur ein Photon. Da die Ankunftszeiten der Photonen jedoch unabhängig und zufällig sind, erhalten Sie manchmal null Photonen und manchmal zwei Photonen. Manchmal bekommst du vielleicht sogar 3, 4 oder 5, ... aber es wird immer unwahrscheinlicher.

Eine andere Möglichkeit, ein einzelnes Photon aus einem Laserstrahl herauszuholen, wäre, Filter in den Strahlengang zu legen, die den Strahl so stark abschwächen, dass man am Ende die Photonen als einzelne Klicks auf einer empfindlichen Fotodiode beobachten kann. Aber Sie können die Photonen nicht beobachten und trotzdem verwenden, also können Sie nicht einfach warten, bis Sie einen Klick sehen. Sie müssen dasselbe wie oben tun, wo Sie anpassen, wie viele Filter Sie verwenden, damit Sie in einem bestimmten Zeitintervall im Durchschnitt ein Photon erhalten. Aber jetzt stecken Sie wieder in einem Zustand fest, der normalerweise 1 Photon hat, aber manchmal 0 und manchmal 2,3,4,5 (mit abnehmender Wahrscheinlichkeit).

Der kohärente Zustand ist also NICHT dasselbe wie der Zugang zu vielen Wiederholungen einzelner Photonen. Um einzelne Photonen zu erhalten, bräuchten Sie eine andere Art von Maschine, vielleicht den Zerfall eines einzelnen angeregten Atoms, oder vielleicht nehmen Sie Ihren Laser und führen ihn einer parametrischen Abwärtskonvertierung durch , damit Sie die Erzeugung eines einzelnen Photons ankündigen und wissen, dass Sie es sind genau 1 haben (und nicht 0 oder 2,3,4,5...)

Das ist also der Unterschied zwischen einem reinen Zustand und einem kohärenten Zustand. Der kohärente Zustand ist ein reiner Zustand mit bestimmten Statistiken für die Photonenzahl (oder, wie Sie erwähnt haben, für einen bestimmten Besetzungsgrad in einem harmonischen Oszillator).

Aber was ist die Beziehung zwischen einem kohärenten Zustand und Kohärenz?? Nun, was bemerkenswert ist, ist, wie der Laser uns den kohärenten Zustand gab. Im Fall des Lasers bezieht sich Kohärenz auf die Tatsache, dass wir die Phase des elektrischen Felds des Strahls an einem bestimmten Punkt messen können und dann einigermaßen gut vorhersagen können, welche Phase an einem entfernten Punkt oder zu einem späteren Zeitpunkt gemessen wird. Je länger diese Phasenbeziehung besteht, desto höher ist die Kohärenz. Die Phase wäre recht gut vorhersagbar, wenn alle Photonen exakt die gleiche Frequenz hätten. Bei einem Laser trifft dies fast zu, und das Ausmaß, in dem es nicht zutrifft, wird als „Linienbreite“ des Lasers ausgedrückt. Bei weißem Licht sind die Frequenzen der Photonen alle unterschiedlich, daher gibt es keine vorhersagbare Phasenbeziehung für den Strahl, weshalb weißes Licht „inkohärent“ ist.

Überlegen Sie nun, wie Sie aus einem weißen Lichtstrahl ein einzelnes Photon herausholen könnten. Wenn es wirklich, wirklich inkohärent ist, hat jedes Photon eine andere Frequenz (sie können beliebig nahe beieinander liegen, aber es gibt auch beliebig viele mögliche Frequenzen), sodass ich einen Filter herstellen kann, der nur eine bestimmte, sehr spezifische Lichtfarbe durchlässt . Da dieser Filter unendlich schmal wird (in Bezug auf die Frequenzen oder Farben des Lichts, das er durchlässt), muss ich länger warten, um ein Photon zu erhalten, aber ich kann den Filter unendlich schmal machen und unendlich lange warten und mit Sicherheit ein Photon erhalten . Mit dem kohärenten Strahl könnten wir das nicht machen.

Sie fragen sich vielleicht, was wäre, wenn Sie diesen unendlich schmalen Filtertrick auf den Laserstrahl anwenden würden? Sofern der Laser eine endliche Linienbreite hat, wird dies funktionieren, aber das ist auch ein Maß dafür, dass der Laserstrahl nicht vollkommen kohärent ist. Wenn das Ensemble der vom Laser ausgesandten Photonen perfekt kohärent wäre, hätten sie alle die gleiche Frequenz und die Linienbreite wäre unendlich schmal, und egal wie schmal Sie den Filter machen, Sie werden immer noch alle Photonen durchlassen.

Es ist also genau die Eigenschaft der Kohärenz , die uns einen kohärenten Zustand verleiht und umgekehrt.

Eine andere Möglichkeit, die Beziehung zwischen dem Laserstrahl und dem einzelnen Photon zu diskutieren, besteht darin, zu überlegen, wie das "Wellenpaket" aussieht. Für den kohärenten Strahl ist es eine Sinuswelle, die ewig andauert, und tatsächlich gibt es so viel Amplitude, dass es im Grunde eine klassische Welle ist, bei der die Quantisierung in einzelne Photonen überhaupt keine Rolle spielt. Wenn Sie einen Laserpuls immer kürzer und kürzer machen, erhalten Sie schließlich ein einzelnes Photon, das immer noch ein elektrisches Feld hat, das mit der gleichen Frequenz oszilliert, aber mit einer sehr kurzen Hüllkurve. Ein wenig Wissen über Fourier-Transformationensagt uns, dass ein zeitlich kürzerer Impuls ein breiteres Frequenzspektrum haben muss. Das einzelne Photon kann also auf keinen Fall mit einem kohärenten Zustand identisch sein, da es aufgrund seiner endlichen Zeitspanne von Natur aus eine gewisse Linienbreite hat. Ein Photon ist ein „Wellenpaket mit minimaler Unsicherheit“ und hat daher die geringstmögliche Frequenzstreuung aller Wellen mit dieser Dauer, sodass es eine gewisse „Kohärenz“ haben kann, aber ein einzelnes Photon (wenn wir wissen, dass es mit Sicherheit ein und nur eins gibt einer von ihnen) kann kein „kohärenter Zustand“ sein.

Nochmals, ich wiederhole meine Schlussfolgerung von oben: Es ist genau die Eigenschaft der Kohärenz , die uns einen kohärenten Zustand gibt , und umgekehrt.

Kohärente Quantenzustände sind spezielle Arten von reinen Quantenzuständen. Der Begriff coherentist nur sinnvoll, wenn es eine Fock-Algebra von Leiteroperatoren gibt. Kohärente Zustände werden Eigenvektor des (nicht-hermiteschen) Vernichtungsoperators sein

Kohärenz hat eine breite Palette von Definitionen, von den einfacheren in den anderen Antworten bis hin zu komplexeren, die auf Ressourcentheorie und Fischerinformationen basieren. Grob versuchen sie alle, die Fähigkeit eines Staates zu quantifizieren, Eingriffe in verschiedene Eigenschaften zu zeigen. Diese Fähigkeit hängt davon ab, was Änderungen vornimmt (Ihr Hamilton) und wie Sie eine Messung durchführen. Reinheit und Kohärenz müssen sich nicht überschneiden und sind im Allgemeinen unterschiedliche Konzepte. Abhängig von Ihrer Erregung kann ein bestimmter gemischter Zustand mehr Interferenz aufweisen als ein bestimmter reiner Blick. Aber die sauberste Interferenz wird immer aus einem reinen Zustand kommen.

Ein kohärenter Zustand ist ein spezifischer reiner Zustand, der für Laser verwendet wird und für die normalen Interferometer am kohärentesten ist.