Ich würde gerne wissen, wie man anhand eines bestimmten Beispiels aus der Vielteilchen-Schrödinger-Gleichung zur statistischen Mechanik gelangt, ohne die Hamilton-Mechanik, Phasenräume oder Ensembles zu verwenden, um konkret zu verstehen, was vor sich geht. Ich verstehe nicht die Bedeutung der Annahme eines thermischen Gleichgewichts in Bezug auf die Wellenfunktion (bei der Wahl eines Zustands) oder was die Maxwell-Boltzmann-Verteilung in diesem Zusammenhang bedeutet. Mein Versuch ist unten angegeben.
Bei 3 nicht wechselwirkenden Teilchen in einem 1-d-Potentialtopf der Länge a lösen wir die Schrödinger-Gleichung um die Lösung zu finden
dann gäbe es 10 Wege zur Befriedigung :
Unter der Annahme, dass die Teilchen unterscheidbar sind, hätten wir 10 verschiedene Wellenfunktionslösungen, z . Das ist alles Vielteilchen-Quantenmechanik. Wie komme ich nun davon zur statistischen Mechanik?
Beim Lesen von Griffiths QM, Abschnitt 5.4, sagt er, wir berufen uns auf „die fundamentale Annahme der statistischen Mechanik“, die besagt, dass sich jeder unterschiedliche Zustand mit Gesamtenergie im „thermischen Gleichgewicht“ befindet ist gleich wahrscheinlich. Was bedeutet das in Bezug auf die Wellenfunktion?
Heißt das, dass alle Wellenfunktionen 'gleich' sind?
in dem Sinne, dass wir eine der Wellenfunktionen auswählen und damit das Teilchensystem als Ganzes beschreiben können?
Heißt das, nur einige der Wellenfunktionen sind einander gleich
und sie sind alle gleich wahrscheinlich, es ist nur so, dass (eine der) letzten Wellenfunktionen die statistische mechanische Wellenfunktion des Systems ist, da sie auf die unterschiedlichsten Arten erreicht werden kann? Das scheint die Boltzmann-Verteilung zu implizieren, ist es das, was sie sagt?
Heißt das, wir müssen die Wellenfunktion vollständig beseitigen? Ich fürchte, das würden die meisten Leute denken, aber es ergibt für mich keinen Sinn, die Wellenfunktion wegzuwerfen. Wir sollten alle oder einige von ihnen verwenden dürfen. Da Sie die statistische Mechanik auch in Form einer Partitionsfunktion (die ein Feynman-Pfadintegral ist, das eine Lösung der Schrödinger-Gleichung ist) ausdrücken können, sollte es eine direkte Beziehung zu diesen expliziten Wellenfunktionen geben. Freue mich über jeden Input :)
Das bedeutet, dass jeder Zustand (Wellenfunktion), der die gleiche Gesamtenergie hat, auch die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, d. h. wenn Sie das System viele Male auf die gleiche Weise vorbereitet haben und den Zustand messen, ist die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Zustand zu messen, nicht gegeben eine Funktion der Energie.
Heißt das, dass alle Wellenfunktionen einander „gleich“ sind in dem Sinne, dass wir eine der Wellenfunktionen auswählen und sie verwenden können, um das Teilchensystem als Ganzes zu beschreiben?
Ja
Heißt das, nur einige der Wellenfunktionen sind einander gleich?
Er sprach nicht darüber, aber es ist trotzdem wahr. Sie müssen auch davon ausgehen, dass die Teilchen nicht unterscheidbar sind, also gibt es tatsächlich nur 3 verschiedene Zustände, (9,9,9), (3,3,15) und (5,7,13) (Änderung der Reihenfolge der Zahlen Zustand nicht ändern). Wenn Sie nicht von ununterscheidbaren Teilchen ausgehen, erhalten Sie ein falsches Ergebnis, das als Gibbs-Paradoxon bekannt ist
Ich kann einige Kommentare zu Ihrem Projekt abgeben, ohne jedoch Ihr spezifisches Problem zu lösen.
Ich glaube, meine Einstellung unterscheidet sich ziemlich von Ihrer. Historisch gesehen entstand die statistische Mechanik aus der makroskopischen Thermodynamik; Sie können die beiden nicht scheiden. Wir können Gibbs und Boltzmann als die Schöpfer der statistischen Mechanik betrachten, mit einem Hut vor Maxwell.
Der Einfachheit halber konzentriere ich mich zunächst auf Gibbs, der in erster Linie ein makroskopischer, klassischer Thermodynamiker war. Zu seiner Zeit bestanden die meisten Thermodynamiker darauf, dass ihre Wissenschaft rein makroskopisch sei und nichts über die mikroskopische Realität (vermutlich atomar und/oder molekular) zu sagen habe. Gibbs machte sich daran, eine mathematische Struktur zu schaffen, die von der Hamiltonschen Mechanik der Moleküle ausgehen würde und enden mit einer Thermodynamik, deren Variablen (Energie, Entropie usw.) alle in Form von molekularen Parametern ausdrückbar waren. Der Erfolg seiner Bemühungen zeigt sich in der Tatsache, dass er vor der Entdeckung der Quantenmechanik arbeitete, und doch ist seine konzeptionelle Struktur immer noch das, was wir heute verwenden.
Gibbs' Arbeit ist immer noch im Druck, aber schwer zu lesen. Ich empfehle Tolman (Statistical Mechanics, jetzt als Dover-Nachdruck erhältlich) und Landau (Statistical Physics, Bd. 1). Sie müssen über Griffiths hinausgehen, wenn Sie hier Fortschritte machen wollen; und ich würde mich davor hüten, zu versuchen, Ihre logische Struktur auf seiner Aussage über grundlegende Prinzipien aufzubauen: Zum Beispiel haben zwei Zustände gleicher Energie unterschiedliche statistische Gewichte, wenn einer entartet ist und der andere nicht.
Boltzmanns Ziel war ähnlich wie das von Gibbs: nämlich die makroskopische Thermodynamik mit der mikroskopischen Molekularmechanik zu verbinden. Er wurde dafür scharf angegriffen, und es ist wahrscheinlich, dass diese Angriffe zu seinem Selbstmord beigetragen haben. Leider sah er Einsteins frühe Arbeiten über die Brownsche Bewegung (die bereits erschienen waren) und die den ersten definitiven Nachweis – dh in Bezug auf ein bestimmtes physikalisches System – lieferten, dass die statistische Mechanik die Thermodynamik korrekt beschreibt, nicht.
Die Dinge, die Sie vermeiden möchten – Hamiltonsche Mechanik, Ensembles, Phasenräume usw. – sind nicht leicht zu vermeiden, und der Versuch, sie zu vermeiden, wird Sie wahrscheinlich zu viel Frustration führen. Die Schrödinger-Gleichung ist kein notwendiger Ausgangspunkt: Wenn Sie mit einem Hamilton-Operator beginnen, erhalten Sie eine statistische Mechanik, die leicht an klassische oder quantenmechanische Verwendung angepasst werden kann.
Ich weiß, dass meine Antwort nicht das ist, wonach Sie suchen; aber ich hoffe es ist trotzdem eine kleine hilfe.
Wenn Sie die Vorhersagen des kanonischen Ensembles reproduzieren möchten, das besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Zustands proportional ist Wo , erinnern Sie sich, wie das kanonische Ensemble betrachtet wird – wir müssen ein Vielkörpersystem (in Ihrem Fall ein Quantensystem) nehmen und es schwach an ein Wärmebad koppeln.
Ich glaube, was Sie zu verstehen versuchen, ist die Hypothese der Eigenzustands-Thermalisierung, die im Grunde fragt: "Wie kann es sein, dass ein Quantensystem diesen Statmech-Prinzipien wie der Boltzmann-Verteilung usw. gehorcht?" Dies ist eine sehr tiefgründige Frage, und die Antworten sind ehrlich gesagt von Fall zu Fall recht hübsch. Einige Systeme (nach System spreche ich sowohl von dem Quanten-Subsystem, auf dem Sie Statmech machen, als auch von dem Bad, an das es gekoppelt ist) gehorchen der Eigenzustands-Thermalisierung (bei der die Eigenzustände des Subsystems Wahrscheinlichkeiten proportional zum entsprechenden Boltzmann-Faktor erhalten ), einige Systeme nicht. Das macht das Studium ziemlich kompliziert. Wenn Sie in Ihrer Situation eine Chance haben möchten, diese Ableitung der ersten Prinzipien von Statmech aus QM wirklich durchzuführen,
Dies ist eine ziemlich pessimistische Antwort, daher möchte ich Ihnen einige Hinweise geben. Ich habe gerade dieses Statmech-Finale http://pages.physics.cornell.edu/~sethna/teaching/562/HW/Final20.pdf genommen und die letzte Frage ("Heisenberg-Verschränkung") ist eine nette kleine Übung, die Ihnen zeigt, wie Sie kann die Thermalisierung des Eigenzustands in einem Quantensystem sehen.
Im Grunde genommen nimmt er eine „Spin-Kette“ – einen eindimensionalen Heisenberg-Antiferromagneten – und behandelt einige Ansammlungen von Spins in dieser Kette als sein „System“ und den Rest als ein „Wärmebad“, obwohl die Quantenmechanik des gesamten Systems (d. h Diagonalisierung des Hamiltonoperators) wird auf einem Computer exakt gelöst. Ich denke, Sie sollten einfach weitermachen und dieses Problem lösen (obwohl Sie Dichtematrizen kennen müssen und das vorherige Problem dieser Abschlussprüfung eine hilfreiche Anleitung mit Teilspuren enthält, die ebenfalls entscheidend sind, und Sie müssen auch wissen, wie man codiert , obwohl es in einer Sprache wie Matlab, die alle ausgefallenen Tools enthält, ziemlich einfach ist).
Mir ist klar, dass das obige Problem Spins und nicht Schrödingers Wellengleichung sind, aber ich denke, Sie sollten damit beginnen, über einfache Systeme mit endlichen Ebenen wie Spin-Modelle nachzudenken, nur weil sie analytisch handhabbarer sind.
(Übrigens, die Abschlussprüfung, auf die ich mich beziehe, wurde bereits abgeschlossen und benotet, daher denke ich, dass es in Ordnung ist, im Internet zu diskutieren. Es ist sowieso ein Lehrbuchproblem im Buch desselben Profs.)
ein großer
bolbteppa
ein großer