von Neumann Entropie eines gemeinsamen Zustands

Question

von Neumann Entropie eines gemeinsamen Zustands

Anonym

Definition 1 Die von Neumann-Entropie einer Dichtematrix ist gegeben durch

S (ρ) := - T R [ρ \ln ρ] = H [λ (ρ)]

$S(\rho) := - \mathrm{Tr}[\rho \ln \rho] = H[\lambda (\rho)]$ Wo

H [λ (ρ)]

$H[\lambda (\rho)]$ ist die Shannon-Entropie der Wahrscheinlichkeitsmenge

λ (ρ)

$\lambda (\rho)$ (die Eigenwerte des Dichteoperators sind

ρ

$\rho$ ).

Definition 2 Wenn ein System im Ensemble vorbereitet wird $\{ p_j, \rho_j \}$ dann definieren wir die Holevo $\chi$ Menge für das Ensemble von

χ := S (ρ) - \sum_{J} P_{J} S (ρ_{J})

$\chi := S(\rho) - \sum_j p_j S(\rho_j)$

Kurze Frage: Let $A$ Und $B$ seien zwei Quantensysteme in einem Zustand der Form

ρ^{(A B)} = \sum_{ich} Q_{ich} | A_{ich}^{(A)} ⟩ ⟨ A_{ich}^{(A)} | \otimes ρ_{ich}^{(B)}

$\rho^{(AB)} = \sum_i q_i |a_{i}^{(A)} \rangle \langle a_{i}^{(A)} | \otimes \rho_{i}^{(B)}$ wo die Staaten

| a_{i}^{(A)} ⟩

$|a_{i}^{(A)} \rangle$ sind orthogonal. Welche Eigenschaft der von Neumann-Entropie impliziert, dass die von Neumann-Entropie der gemeinsame Zustand ist

S (ρ^{(A B)}) = H (\vec{Q}) + \sum_{ich} Q_{ich} S (ρ_{ich}^{(B)}) ?

$S(\rho^{(AB)}) = H(\vec{q}) + \sum_i q_i S(\rho_{i}^{(B)})?$

Vorschlag: Ich bin mir ziemlich sicher, dass es die folgenden Eigenschaften der von Neumann-Entropie nutzt:

S (ρ_{A} \otimes ρ_{B}) = S (ρ_{A}) + S (ρ_{B})

$S(\rho_{A} \otimes \rho_{B}) = S(\rho_{A}) + S(\rho_{B})$ und wenn

ρ_{A} = \sum_{x} p_{x} | ϕ_{x} ⟩ ⟨ ϕ_{x} |

$\rho_{A} = \sum_{x} p_x | \phi_x \rangle \langle \phi_x|$ Dann

S (ρ_{A} \otimes ρ_{B}) = H (X) + S (ρ_{B})

$S(\rho_{A} \otimes \rho_{B}) = H(X) + S(\rho_{B})$ Wo

X = {| ϕ_{x} ⟩, p_{x}}

$X = \{| \phi_x \rangle, p_x \}$ .

Danke für jede Hilfe.

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von Neumann Entropie eines gemeinsamen Zustands

Berg Mao · Answer 1

\begin{matrix} (1) & ρ^{(A B)} = \sum_{ich} Q_{ich} | A_{ich}^{(A)} ⟩ ⟨ A_{ich}^{(A)} | \otimes ρ_{ich}^{(B)} \end{matrix}

$\rho^{(AB)} = \sum_i q_i |a_i^{(A)}\rangle \langle a_i^{(A)}| \otimes \rho_i^{(B)} \tag 1$ Beachten Sie dieses Subsystem

A

$A$ Und

B

$B$ sind trennbar, let

\begin{matrix} (2) & ρ_{ich}^{(B)} = \sum_{J} λ_{ich}^{J} | {B_{ich}^{J}}^{(B)} ⟩ ⟨ {B_{ich}^{J}}^{(B)} | . \end{matrix}

$\rho^{(B)}_i = \sum_j \lambda^j_i |{b_i^j}^{(B)}\rangle \langle {b_i^j}^{(B)}|. \tag 2$ Ersatzgleichung

(2)

$(2)$ hinein

(1)

$(1)$ :

\begin{aligned} S (ρ^{(A B)}) & = - \sum_{ich J} Q_{ich} λ_{ich}^{J} \ln (Q_{ich} λ_{ich}^{J}) \\ = - \sum_{ich J} Q_{ich} λ_{ich}^{J} (\ln Q_{ich} + \ln λ_{ich}^{J}) \\ = - \sum_{ich} Q_{ich} \ln Q_{ich} - \sum_{ich} Q_{ich} \sum_{J} λ_{ich}^{J} \ln λ_{ich}^{J} \\ (3) & = H (\vec{Q}) + \sum_{ich} Q_{ich} S (ρ_{ich}^{(B)}) . \end{aligned}

$\eqalignno{ S(\rho^{(AB)}) &= -\sum_{ij} q_i \lambda_i^j \ln(q_i \lambda_i^j) \\ &= -\sum_{ij} q_i \lambda_i^j (\ln q_i + \ln \lambda_i^j) \\ &= -\sum_i q_i \ln q_i - \sum_i q_i \sum_j \lambda_i^j \ln \lambda_i^j \\ &= H(\vec q) + \sum_i q_i S(\rho_i^{(B)}). &(3) }$

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich möchte nur den ersten Schritt nach dem Ersetzen von (2) in (1) bestätigen, dh $S (ρ^{(A B)}) = - \sum_{ich J} Q_{ich} λ_{ich}^{J} \ln (Q_{ich} λ_{ich}^{J}) .$ $S(\rho^{(AB)}) = -\sum_{ij} q_i \lambda_i^j \ln(q_i \lambda_i^j).$ Ist die Begründung wie folgt: Nach Einsetzen von (2) in (1) erhalten wir $\begin{aligned} ρ^{(A B)} & = \sum_{ich} \sum_{J} Q_{ich} λ_{ich}^{J} | A_{ich}^{(A)} ⟩ ⟨ A_{ich}^{(A)} | \otimes \sum_{J} λ_{ich}^{J} | B_{ich}^{J (B)} ⟩ ⟨ B_{ich}^{J (B)} | \\ = \sum_{ich} \sum_{J} Q_{ich} λ_{ich}^{J} | A_{ich}^{(A)} ⟩ ⟨ A_{ich}^{(A)} | \otimes | B_{ich}^{J (B)} ⟩ ⟨ B_{ich}^{J (B)} | \end{aligned}$ $\begin{align} \rho^{(AB)} &= \sum_{i}\sum_{j}q_{i} \lambda_{i}^{j} | a_{i}^{(A)} \rangle \langle a_{i}^{(A)}| \otimes \sum_{j}\lambda_{i}^{j}|b_{i}^{j(B)} \rangle \langle b_{i}^{j(B)}| \\ &= \sum_{i}\sum_{j}q_{i}\lambda_{i}^{j}|a_{i}^{(A)} \rangle \langle a_{i}^{(A)}| \otimes |b_{i}^{j(B)} \rangle \langle b_{i}^{j(B)}| \end{align}$
Daher verwenden wir note that since $|a_{i}^{(A)} \rangle$ diagonalisiert $\rho^{A}$ Und $|b_{i}^{j(B)} \rangle$ diagonalisiert $\rho^{B}$ es folgt dem $|a_{i}^{A} \rangle \otimes |b_{i}^{j(B)} \rangle$ diagonalisiert $\rho^{(AB)}$ mit Eigenwerten $q_{i} \lambda_{i}^{j}$ .Daher wenden wir die Definition der von Neumann-Entropie darauf an?
Ja, der Schlüssel ist, dass A und B trennbar sind. Komplizierter wird es, wenn Systeme korreliert sind.

von Neumann Entropie eines gemeinsamen Zustands

Anonym

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Berg Mao

Benutzer165535

Benutzer165535

Berg Mao

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