Warum antisymmetrisieren wir die Wellenfunktion des Baryons, aber nicht die des Mesons?

Die Erweiterung, die Griffiths vorschlägt, ist nicht so drastisch, wie Sie denken. Wenn Sie zum ersten Mal etwas über identische Teilchen lernen, antisymmetrisieren Sie nur die räumliche Wellenfunktion. Später fügen Sie den Spin hinzu und antisymmetrisieren die kombinierten Spin- und räumlichen Wellenfunktionen. Dies ist jedoch ein großer konzeptioneller Sprung, da ein Spin-up- und ein Spin-down-Elektron keine identischen Teilchen sind. Für sie gilt das Pauli-Ausschlussprinzip nicht; Sie können ein Spin-up- und ein Spin-down-Elektron in denselben Zustand versetzen.

Jetzt ist der Sprung zur Einbeziehung der 'Geschmackswellenfunktion' derselbe. Ein Up-Quark und ein Down-Quark sind keine identischen Teilchen, und sie können tatsächlich in denselben Zustand versetzt werden. Sie könnten argumentieren, dass das Einbeziehen von Spin anders ist, weil Sie es mit einer Rotation umdrehen können, aber die Up- und Down-Quark-Zustände können durch eine Isospin-Rotation umgedreht werden; die Situation ist wirklich genau analog.

Spin und Geschmack haben also denselben Grund; Keines von beiden ist richtig mit dem Standardargument der „Quantenmechanik“ gerechtfertigt, die Positionen zweier Teilchen zu vertauschen, da dies nur für die räumliche Wellenfunktion gilt. Stattdessen müssen wir uns der Quantenfeldtheorie zuwenden. Der Grund, warum die räumliche Wellenfunktion antisymmetrisch ist, liegt darin, dass die Erzeugungsoperatoren antikommutieren,

$$a_x^\dagger a_y^\dagger |0 \rangle = - a_y^\dagger a_x^\dagger |0 \rangle.$$ Aber die räumlichen Indizes $x$Und $y$sind wie jede andere Art von Index; in Wirklichkeit sollten wir auch Indizes für Geschmack, Farbe und Spin haben. Dann folgt nach der gleichen Logik die Gesamtantisymmetrie der Flavor-/Farb-/Spin-/Raumwellenfunktion aus der Tatsache, dass alle fermionischen Erzeugungsoperatoren antikommutieren.

---

Warum also antisymmetrisieren wir die Mesonwellenfunktionen nicht? Stellen Sie sich eine Schachtel mit 10 Elektronen und einem 11. Elektron vor, das ein Lichtjahr entfernt ist. Die Wellenfunktion für alle 11 Elektronen muss durch das obige allgemeine Argument antisymmetrisiert werden, aber nichts ändert sich, wenn wir nur die ersten 10 antisymmetrisieren. Konkret liegt das daran, dass die Antisymmetrisierung nur eine Austauschkraft hinzufügt, und das 11. Elektron wird es nie sein nah genug, um es zu spüren. Konzeptionell können wir sagen, dass das 11. Elektron aufgrund seiner Position unterscheidbar ist – es ist „dasjenige, das weit entfernt ist“.

In ähnlicher Weise können wir, wenn wir ein Atom mit 10 Spin-up-Elektronen und 1 Spin-down-Elektron haben, das Spin-down-Elektron als getrennt von der antisymmetrisierten Wellenfunktion der anderen 10 behandeln, die durch seinen Spin unterscheidbar ist. Die wahre Wellenfunktion aller 11 ist nach dem oben angegebenen Argument immer noch vollständig antisymmetrisch, aber hier geht nichts schief, wenn wir das vergessen; wir werden nicht zufällig gegen das Pauli-Ausschlussprinzip verstoßen.

Nun wenden wir uns den Mesonen und Baryonen zu.

• Im Fall von Mesonen sind die Quarks immer gut unterscheidbar, weil nur eines von ihnen ein Antiteilchen ist oder entsprechend nur eines Antifarbe hat.
• Für Baryonen, bei denen alle drei Quarks verschieden sind, gilt dieselbe Überlegung; die Partikel sind durch ihre Aromen effektiv unterscheidbar. Betrachten Sie zum Beispiel$uds$Baryonen. Wenn wir die Teilchen als unterscheidbar behandeln, gibt es sie$2^3 = 8$Spin-Zuweisungen, und dementsprechend gibt es$8$wenig Energie$uds$Baryonen. (Das sind die vier Spin-Zustände der${\Sigma^*}^0$und die beiden Spin-Zustände der$\Sigma^0$Und$\Lambda$.)
• Bei Baryonen mit einigen gleichen Quarks ist keines der Quarks effektiv unterscheidbar; wir müssen die volle Antisymmetrie berücksichtigen. Es gibt zum Beispiel nur$4$Baryonen mit Quarkanteil$uuu$, nicht$8$. (Das sind die vier Spin-Zustände der$\Delta^{++}$.) Ebenso gibt es nur$6$mit Quarkanteil$uud$. (Das sind die vier Spin-Zustände der$\Delta^+$und die zwei des Protons.)

Die Teilchen in einem Meson sind also immer gut unterscheidbar, die Teilchen in einem Baryon jedoch nur manchmal. Es ist wirtschaftlicher, alle Baryonen auf die gleiche Weise zu behandeln, daher kommt die Regel „Baryonen, aber nicht Mesonen antisymmetrisieren“.