Warum ist Arbeit gleich Kraft mal Weg? [Duplikat]

Glücklicherweise haben wir uns neben Uhren auch mit Linealen ausgestattet, sodass es durchaus möglich ist, Zeit und Entfernung zu messen, und sehr nützlich, beides zu tun. Lass uns etwas schieben (mit einer Kraft$F$), so dass sich seine Geschwindigkeit um ändert$\Delta v$und finde heraus, wie stark sich seine Energie ändert. Angenommen, unser Objekt bewegt sich anfänglich mit hoher Geschwindigkeit$v_0$und hat Energie

$$E_0 = \frac{1}{2} m v_0^2$$ Nach dem Stoß bewegt es sich weiter $v = v_0 + \Delta v$seine Energie wird also sein: $$E = \frac{1}{2} m (v_0 + \Delta v)^2$$ $$E = \frac{1}{2}m(v_0^2 + 2v_0\Delta v + \Delta v^2)$$ $$E = \frac{1}{2}mv_0^2 + m v_0\Delta v + \frac{1}{2}m\Delta v^2$$ Jetzt mit $\Delta v$klein genug, damit wir den letzten Term mit ignorieren können $\Delta v ^2$: $$E = E_0 + mv_0\Delta v$$ oder in Bezug auf die Energieänderung: $$\Delta E = m v \Delta v$$ Es gibt ein paar verschiedene Möglichkeiten, von hier aus fortzufahren, eine davon ist, mit zu multiplizieren $\Delta t / \Delta t = 1$und umschreiben als: $$\Delta E = m \left( \frac{\Delta v}{\Delta t} \right) (\Delta t) \cdot v$$ Jetzt erkennen wir das an Newtons 2. Gesetz $$\frac{m \Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta (mv)}{\Delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = F$$ Wir haben das $$\Delta E = F \Delta t \cdot v$$ aber $\Delta t \cdot v = \Delta t \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right) = \Delta x$So weit haben wir es getrieben $$\Delta E = F \cdot \Delta x$$

Wenn man im Laufe der Zeit über das Problem nachdenkt, ist es natürlich, auch zu fragen : "Wie schnell ändert sich die Energie?" Die Antwort ist, dass wir das System mit der folgenden Rate mit Strom versorgen:

$$P = \frac{\Delta E}{\Delta t} = F v$$ Dies mag Ihrer Vorstellung näher kommen, aber wie Sie oben sehen können, wenn Sie die ausgeübte Kraft mit der Energieänderung in Beziehung setzen möchten, ergibt das Multiplizieren der Kraft mit der Distanz, über die sie ausgeübt wird, das richtige Ergebnis.

Um die Antwort von Orbifold zu ergänzen, werde ich Feynmans Version des Energieerhaltungsarguments kurz wiederholen. Dies ist das "d'Alembertsche Prinzip" oder "das Prinzip der virtuellen Arbeit", und es verallgemeinert, um auch thermodynamische Potentiale zu definieren, die darin enthaltene Entropiemengen enthalten.

Angenommen, Sie haben ein paar Massen auf der Erdoberfläche. Angenommen, Sie haben auch einige Aufzüge und Flaschenzüge. Sie werden gebeten, einige Massen zu heben und andere abzusenken, aber Sie sind sehr schwach, und Sie können überhaupt keine davon heben, Sie können sie einfach herumschieben (der Boden ist rutschig), sie in Aufzüge setzen und nehmen sie in verschiedenen Höhen ab.

Sie können zwei gleiche Massen auf gegenüberliegenden Seiten eines Flaschenzug-Aufzug-Systems platzieren, und solange Sie eine Masse um eine Höhe h anheben und eine gleiche Masse um eine gleiche Höhe h absenken, müssen Sie dies nicht tun Arbeit erledigen (umgangssprachlich), Sie müssen nur kleine Stupser geben, damit das Ding in der richtigen Höhe stoppt und startet.

Wenn Sie ein doppelt so schweres Objekt bewegen möchten, können Sie eine Kraftverdopplungsmaschine verwenden, wie einen Hebel, bei dem ein Arm doppelt so lang ist wie der andere. Indem Sie die schwere Masse auf dem kurzen Arm und die leichte Masse auf dem langen Arm anordnen, können Sie die schwere Masse ohne Arbeit doppelt so weit nach unten und die leichte Masse nach oben bewegen.

Bei diesen beiden Prozessen bleibt die Gesamtmasse mal Höhe erhalten. Wenn Sie die Masse-mal-Höhe am Anfang und am Ende konstant halten, können Sie immer ein Flaschenzugsystem anordnen, um Objekte von der ursprünglichen Anordnung zur endgültigen zu bewegen.

Nehmen wir nun an, dass sich das Gravitationsfeld ändert, so dass Sie an manchen Stellen ein starkes „g“ und an anderen Stellen ein schwaches „g“ haben. Dies erfordert das Ausbalancieren der Gesamtkraft auf gegenüberliegenden Seiten des Aufzugs, nicht der Gesamtmasse. Die allgemeine Bedingung, dass Sie Dinge ohne Anstrengung bewegen können, ist also, dass wenn Sie ein Objekt bewegen, das eine Kraft „F“ spürt, ein Betrag „d“ in Richtung der Kraft wirkt, können Sie diese Bewegung plus ein Flaschenzugsystem verwenden, um sich zu bewegen ein anderes Objekt, das eine Kraft "F'" um einen Betrag "d'" gegen die Richtung der Kraft spürt.

Das bedeutet für jede umkehrbare Bewegung mit Riemenscheiben, Hebeln und Zahnrädern

$$\sum_i F_i \cdot d_i = 0$$

Dies ist die Bedingung, unter der Sie keine umgangssprachliche Arbeit leisten müssen, um die Objekte neu anzuordnen. Man kann die Erhaltungsgröße für diese Bewegungen als die Summe der Kraft mal der Entfernung für jede kleine Bewegung annehmen, und sie addiert sich zwischen verschiedenen Objekten, und solange sich nichts sehr schnell bewegt, wenn Sie die Änderungen in F addieren Punkt d für alle Objekte muss Null sein, wenn Sie alles reversibel gemacht haben.

Dies lässt sich auf eine dynamische Situation verallgemeinern, indem eine Bewegungsgröße hinzugefügt wird, die zusammen mit F Punkt d additiv erhalten bleibt, diese Größe ist die kinetische Energie. Sie können auch rückwärts gehen und mit der Idee der kinetischen Energie beginnen (die durch Kollisionen motiviert sein kann) und das F-Punkt-D-Ding neu ableiten. Dies sind zwei komplementäre Sichtweisen, die zusammenpassen, um ein kohärentes Bild der kinetischen und potentiellen Energie zu geben.

Wenn Sie ein statisches Kraftfeld auf ein Teilchen haben, das die Eigenschaft hat, dass entlang eines geschlossenen Zyklus die Summe der Kraft mal der kleinen Verschiebungen nicht Null ist, dann können Sie diesen Zyklus verwenden, um Gewichte zu heben.

Der Beweis ist einfach: Ordnen Sie ein Rollensystem zum Anheben/Absenken von Gewichten an jedem Punkt des Fahrrads so an, dass der F-Punkt d der Gewichte den F-Punkt d der Kraft ausgleicht. Führen Sie dann das Partikel um die Schleife herum in die Richtung, in der F Punkt d netto positiv ist, während Sie die Kraft mit den Gewichten ausgleichen. Am Ende des Tages hast du ein paar Gewichte gehoben und das Teilchen dorthin zurückgebracht, wo es begonnen hat.

Dies bedeutet, dass eine nicht konservative Kraft verwendet werden kann, um ein Gewicht zu heben. Wenn Sie die Schleife durchqueren, muss etwas aus dem nicht-konservativen Kraftfeld aufgefressen werden, sonst ist es eine unerschöpfliche Quelle des Gewichthebens und verstößt gegen den ersten Hauptsatz der Thermodynamik. Schließlich beruhigen sich also alle Kraftfelder, so dass das Integral von F Punkt d entlang jeder Schleife Null ist. Dies ist die Definition einer konservativen Kraft.

Sie sollten diese Passage als vielleicht unmotivierte Definition dessen betrachten, was Arbeit im Sinne Ihres Physikstudiums ist. Lassen Sie mich jedoch einige Bemerkungen zur Energie machen, da die Passage „Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten“ bestenfalls irreführend ist. Es gibt ein Gesetz oder Prinzip namens Energieerhaltung , das alle uns bekannten Naturphänomene regelt. Nach diesem Gesetz gibt es eine Größe namens Energie , die sich bei allen Veränderungen, die die Natur erfährt, nicht ändert. Es ist nicht an etwas Konkretes wie das Herumschieben von Kisten gebunden, sondern ein abstraktes Konzept.

Es gibt verschiedene Energieformen, darunter: Gravitationsenergie, kinetische Energie, Strahlungsenergie, Kernenergie, Massenenergie, chemische Energie, Wärmeenergie, elastische Energie, elektrische Energie. Beachten Sie, dass dies nur andere Namen sind, niemand weiß wirklich, was Energie ist , es gibt nur verschiedene Möglichkeiten, die Beiträge dazu zu berechnen.

Für ein bestimmtes physikalisches System können die verschiedenen Energieformen manchmal durch konkrete Formeln angegeben werden. Aber es ist wichtig zu erkennen, dass Energieerhaltung unabhängig von diesem Wissen ist. Im Laufe der Zeit wandeln sich die verschiedenen Energieformen ineinander um, Energieerhaltung bedeutet, dass ihre Summe konstant bleibt.

Nun, allgemein wird Energie, die relativ zum Ort von etwas anderem gemessen wird, potentielle Energie genannt . Beispiele sind die Gravitationspotentialenergie oder die elektrische Potentialenergie. Wie ändert man die potentielle Energie eines Objekts? Indem man es bewegt. Wie kommt also Kraft ins Spiel? Nun, es stellt sich heraus, dass als allgemeines Prinzip gilt:

$$\{ \text{Change in potential energy} \} = \textrm{(force)} \times (\text{distance force acts through})$$

Der Grund für diese Formel ist ziemlich einfach, wenn$V$bezeichnet die potentielle Energie, man kann sie an zwei benachbarten Punkten vergleichen$P$und$P + \delta P$, dann per Definition das Infitesimal (das heißt, Sie vernachlässigen Terme mit$\delta P^2$) Änderung des Potentials ist:

$$\delta V = V(P + \delta P) - V(P) = F \cdot \delta P$$

Jetzt müssen Sie diese Beiträge nur noch zusammenzählen. Um Ihnen ein einfaches Beispiel zu geben: Nehmen Sie die potentielle Energie$V(x) = \frac{1}{2} k x^2$, dann

$$V(x + \delta x) - V(x) = \frac{1}{2} k (2 x \delta x + \delta x^2) = kx\delta x$$

Die Kraft ist also$F = kx$, das Sie vielleicht als Hookesches Gesetz erkennen.

Wenn Sie eine viel bessere Beschreibung davon lesen möchten, sollten Sie Kapitel 4 in Band 1 von Feynmans Lectures on Physics lesen. Vielleicht können Sie eine Kopie davon in Ihrer örtlichen Bibliothek bekommen.

Das Problem bei der Definition von Arbeit ist, dass unsere intuitive Vorstellung von Arbeit einfach falsch ist . Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie halten eine 10-kg-Kiste eine Stunde lang 1 m über dem Boden. Sie würden sich wahrscheinlich sehr müde fühlen und Sie würden denken "was für eine Arbeit ich getan habe". Aber man könnte die Kiste problemlos auf einen Tisch stellen, der 1 m hoch ist. Die Wirkung auf die Box wäre genauso. Aber hat der Tisch funktioniert? Natürlich nicht. Da der ruhende Tisch keine Energie (Fähigkeit, Arbeit zu verrichten) hat, könnte er unmöglich Arbeit verrichten. Sie sehen also, es gibt absolut keinen direkten Zusammenhang zwischen Arbeit und Zeit.

Ein Objekt muss also bewegt werden, um tatsächlich eine mechanische Arbeit zu leisten. Und selbst in diesem Fall können Sie das Objekt verschieben und trotzdem keine Arbeit machen. Stellen Sie sich vor, Sie tragen eine 10-kg-Kiste in einer Höhe von 1 m von einer Seite des Raums zur anderen Seite. Es erfordert tatsächlich einige Anstrengungen, um dies zu tun. Aber man könnte die Kiste 1 m hoch auf den Wagen stellen und sie einfach sanft und langsam über den Raum schieben. Aber hat der Karren funktioniert? Die Antwort ist wieder negativ. Da der praktisch ruhende Wagen keine Energie (Fähigkeit, Arbeit zu verrichten) hat, könnte er unmöglich Arbeit verrichten.

Nur das Produkt aus Kraft und Weg in Richtung der Kraft ist eine sinnvolle Arbeit.

Indem Sie etwas über eine Distanz bewegen, stecken Sie Energie hinein. Man kann eine Wand stundenlang mit aller Kraft schieben, aber wenn sie sich nicht bewegt, hat sie keine Energie gewonnen. (Stattdessen wird Ihre Energie in das Aufheizen Ihres Körpers und das Aufheizen der Umgebung um Sie herum geflossen sein)

Wenn Sie andererseits ein Gewicht nach oben tragen, wenden Sie eine Kraft darauf an und bewegen es, und je höher Sie es tragen, desto mehr Energie hat das Gewicht und desto mehr Arbeit könnten Sie ihm leisten, indem Sie es fallen lassen.