(Auch vorher in mathstackexchange gepostet).
Ich bin vor einiger Zeit über eine Reihe von Axiomen für die Logik erster Ordnung gestolpert. Fasziniert beschloss ich, alles aufzuschreiben und zu organisieren, was ich las. Nachdem ich das getan hatte, schien es mir, als könnte man mit diesen Axiomen und Ableitungsregeln ganz einfach „Wahrheit“ definieren.
Wenn β, γ, δ wfs sind, x, y Variablen sind und t ein Term ist, dann werden die folgenden wfs logische Axiome genannt:
- β → (γ → β)
- (β → (γ → δ)) → ((β → γ) → (β → δ))
- (¬β → ¬γ) → ((¬β → γ) → β)
- ((∀x)β) → β[t/x] falls t frei für x in β ist
- (∀x)(β → γ) → (β → (∀x)γ) falls β kein freies Vorkommen von x enthält
- (∀x)(x = x)
- (∀x)(∀y)((x = y) → (β → β[y/x]))
(Geben Sie dann Ihren speziellen Satz mathematischer Axiome an, wenn Sie beabsichtigen, dass sie als wahr angesehen werden).
Dann definieren wir eine Unterklasse von wfs, die wir die wahren Aussagen nennen. Wenn α, β wfs sind und x eine Variable ist, dann:
Alle logischen Axiome sind wahr, ebenso wie alle mathematischen Axiome. Wenn α und α → β wahr sind, dann ist β wahr. Wenn β wahr ist, dann ist (∀x)β wahr. Schließlich ist eine Aussage φ genau dann falsch, wenn ¬φ wahr ist.
Als ich dies einigen meiner Freunde der Philosophie der Mathematik zeigte, dachten sie eine ganze Weile nach, bevor sie entschieden, dass das Obige nicht ausreicht, um die Wahrheit innerhalb eines solch formalen Systems zu definieren. Als sie gefragt wurden, warum nicht, waren sie sich nicht ganz sicher, obwohl einige mögliche Stellen, an denen Probleme auftreten könnten, diskutiert wurden. Wir konnten jedoch nicht herausfinden, welche Art von wahrer Aussage nicht unter eine solche Definition fallen würde.
Meine Frage ist daher - definiert das Obige die Wahrheit nicht? Wenn ja, warum scheitert es? Gibt es Änderungen, die vorgenommen werden könnten, um die oben genannten Probleme zu beheben? Welche wahren Aussagen wären im obigen Sinne nicht „wahr“? Was habe ich oben definiert?
Darüber hinaus wären alle Quellen für weitere Lektüre zu diesem Thema für mich von großem, großem Interesse und würden geschätzt.
Höchstens Axiome und Regeln für Logik erster Ordnung (mit Gleichheit) können den Begriff "logische Wahrheit" definieren, indem sie die Standardsemantik annehmen und Gültigkeit mit logischer Wahrheit gleichsetzen.
Was sind logische Wahrheiten ? Es sind Formeln, die unabhängig vom Diskursbereich wahr sind, also Wahrheiten, die nicht themenspezifisch sind, wie:
p → p oder ¬ (p ∧ ¬ p) .
Aber die philosophischen Fragen im Zusammenhang mit der logischen Wahrheit sind zahlreich und interessant.
Das Problem ist die Zirkularität. Wenn Sie X als Y definieren möchten, kann X nicht in Y vorkommen. Was Sie aufgelistet haben, könnte als Angemessenheitsbedingungen behandelt werden, die von jeder Kandidatendefinition der Wahrheit erfüllt werden müssen, aber nicht als Definition der Wahrheit.
zB "alle logischen Axiome sind wahr" definiert nicht wahr, es verwendet nur einen zuvor verfügbaren (und informellen) Begriff von wahr, um etwas über logische Axiome zu sagen.
Nethese
Eliran
Nethese