Kann man Argumentvalidität als Formel definieren?

Seien A, B und C Sätze. Definieren Sie ARG(A, B, C) als folgendes Argument:

  1. A.
  2. B.
  3. Daher C.

Mein Ziel ist es, eine Formel zu erstellen, deren Wahrheitswert äquivalent zu "ARG(A, B, C) ist gültig" ist . Mit anderen Worten, ich suche nach einer Formel, die genau dann wahr ergibt, wenn das Argument gültig ist .

Versuch Nr. 1

ARG(A, B, C) ist genau dann gültig, wenn (A ∧ B) → C

Leider funktioniert dieser Versuch nicht. Beweis: das folgende Argument ist ungültig (Quelle: drittes Beispiel auf Wikipedia hier ), aber (A ∧ B) → C ergibt wahr (da A falsch ist):

  1. Alle Menschen sind unsterblich.
  2. Sokrates ist ein Mann.
  3. Daher ist Sokrates sterblich.

Versuch Nr. 2

ARG(A, B, C) gilt genau dann, wenn A ∧ B ∧ ((A ∧ B) → C)

Leider funktioniert auch dieser Versuch nicht, denn obwohl es für das obige Beispiel funktioniert, ergibt dieser Versuch falsch für jedes Argument, das eine falsche Prämisse hat (und es ist bekannt, dass es gültige Argumente mit falschen Prämissen gibt).

Ich habe versucht, andere Versuche zu erstellen, aber ich stecke fest.

Ist das unmöglich? Wenn ja, warum (können Sie einen Beweis liefern)? Wenn es möglich ist, was wäre die Formel?

Verwechseln Sie hier nicht Gültigkeit mit Wahrheit?
@MoziburUllah Ehrlich gesagt, nein. So denke ich zumindest. Warum hast du das gedacht?
@MoziburUllah Ich habe am Anfang der Frage eine Klarstellung hinzugefügt (nicht sicher, ob sie mit Ihren Gedanken zusammenhängt oder nicht).
Es gibt viele Arten von Logik. Was in der aristotelischen Logik gilt, ist nicht dasselbe wie in der mathematischen Logik. Es sieht so aus, als ob Sie sich mehr für mathematische Logik interessieren. Wenn Sie versuchen, mit Ihrem Programm einen Weg zu finden, die Gültigkeit in jedem logischen System zu beweisen, wäre das in der Tat interessant. Ich denke auch, dass Sie WAHRHEIT mit dem Konzept der GÜLTIGKEIT verwechseln. Wahrheit ist Wahrheitstabelle ergibt in der realen Welt nicht immer WAHR.
Wegen Versuch eins: der grundsätzlich die Form hat 'p ist wahr genau dann, wenn q wahr ist'.
Was nur von Wert ist, wenn die Aussagen p & q im Wesentlichen die gleichen Aussagen sind, aber auf unterschiedliche Weise geschrieben sind.
Dasselbe gilt für Ihren zweiten Versuch.
Die Gültigkeit (und die Struktur der Formel) hängt nicht von der Wahrheit der Prämissen oder Schlussfolgerungen ab. Da es keine Abhängigkeit gibt, können wir für jede Formel ein Gegenbeispiel finden.
Offensichtlich müssen Sie in der Metasprache arbeiten: Valid[ARG(A,B,C)] iff Taut[(A ∧ B) → C] .
@rus9384 Interessant. Das fühlt sich richtig an, aber ich bin noch nicht ganz überzeugt. Könnten Sie das zu einer Antwort erweitern und einige weitere Details für Ihren "Beweis" angeben? Das wäre super, danke :)
@MauroALLEGRANZA Danke!! So etwas suche ich. Aber ich bin mir nicht sicher, ob ich folge: Wenn Val die Menge aller Bewertungen ist, kann ich sicherlich für jede gegebene Proposition P manuell eine Bewertung definieren, die 0 für P ergibt, und dann wäre P keine Tautologie. Dann würde ich schließen, dass es keine Tautologien gibt, was impliziert, dass alle Argumente ungültig sind. Was vermisse ich?
@MauroALLEGRANZA Ah, also nicht alle Vorschläge, nur atomare. Das hast du tatsächlich schon mal gesagt, sorry. Aber ich weiß nicht, was ein atomarer Satz ist. Können Sie alle Ihre Kommentare in einer Antwort zusammenfassen und erklären, was atomare Aussagen sind? Vielen Dank :)
Ich habe das Gefühl, dass dies eine technische Frage ist, die ich nicht verstehe. Aber wenn Sie versuchen, die Wahrheit eines Arguments mit Logik zu beurteilen, sind Sie ein Verlierer. Ein Argument kann ein krasses Irrtum sein und dennoch wahr sein. Mein Vater erzählt mir, dass die Narbe an meiner Lippe durch einen bestimmten Vorfall verursacht wurde. Ist das wahr? Nun, es ist ein Argument der Autorität ... und doch ... ist es wahr.

Antworten (2)

Die allgemeine Form der Antwort wäre:

[p, ξ, N(ξ)]

Ok, jetzt, wo ich meinen dummen Wittgenstein-Witz aus dem Weg geräumt habe, eine ernstere Antwort.

Die Definition der logischen Gültigkeit ist, dass ein Argument genau dann gültig ist, wenn die Schlussfolgerung nicht falsch sein kann, wenn alle Prämissen wahr sind. Wir können das ziemlich einfach symbolisieren:

ARG(A,...,Z, ξ)gilt wennA ∧ ... ∧ Z ≡ ξ

Wo A,...,Zist eine beliebige Anzahl von Prämissen, A ∧ ... ∧ Zist die Verbindung aller Prämissen und ξist die Schlussfolgerung oder mit anderen Worten, wenn die Verbindung aller Prämissen logisch äquivalent zur Schlussfolgerung ist.

Informell sollte dies funktionieren, da die obige Formel beinhaltet, dass die Schlussfolgerung nicht falsch sein kann, wenn alle Prämissen wahr sind, und dass die Schlussfolgerung äquivalent falsch ist, wenn eine der Prämissen falsch ist. Ich bin nicht schlau genug, um einen formalen Beweis dafür zu finden, aber ich vermute, dass ein solcher Beweis unmöglich ist.

Sie verletzen die Aufgabe: Schlussfolgerung kann willkürlich sein, während Ihre A ∧ ... ∧ Z ≡ ξSchlussfolgerung feststeht.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihren Einwand verstehe. ξin meiner Formel steht für irgendeinen Schluss.
Nun, Schluss muss nicht sein A ∧ ... ∧ Z ≡ ξ. Es kann seinA ∧ ... ∧ Z !≡ ξ
Ich glaube, Sie missverstehen grundlegend, was diese Formel ist. Ich sage nicht, dass diese Formel das einzig gültige Argument ist; Ich sage, dass jedes gültige Argument als diese Formel umgeschrieben werden kann. Das von Ihnen angegebene Gegenbeispiel kann nicht als Formel für logische Gültigkeit dienen, da es ausdrückt, dass die Schlussfolgerung nur dann wahr ist, wenn mindestens eine der Prämissen falsch ist.
Konkreter gesagt, ich sage, dass das im OP angegebene gültige Argument umgeschrieben werden kann als A & B = C(Entschuldigung für die Änderung des Begriffs; ich telefoniere) und ebenso kann jedes gültige Argument in diese Form umgeschrieben werden.
Ich bin mir nicht sicher, ob dies sogar das Scheitern von Versuch Nr. 1 in der Frage löst. Sie verstehen anscheinend nicht, was OP fragt. ARG(A, B, C) von OP ist definiert als (A ∧ B) → C, aber welche Formel, die unabhängig von der Gültigkeit von ARG(A, B, C) und nur von A, B und C abhängig ist, könnte zeigen die Gültigkeit von ARG(A, B, C)?
Es tut uns leid, dass es lange gedauert hat, Feedback zu geben. Bitte beachten Sie folgendes Argument: „Alle Kelche sind sterblich. Sokrates ist ein Kelch. Also ist Sokrates sterblich.“ Dieses Argument ist gültig, aber es ist nicht der Fall, dass A ∧ B ≡ C (vorausgesetzt, dass ≡ "wenn und nur wenn" bedeutet). Sind Sie einverstanden? Ich denke, das ist ein Gegenbeispiel zu Ihrem Versuch.

Offensichtlich muss man in der Metasprache arbeiten (siehe : Tautologie ) :

Valid[ARG(A,B,C)] iff Taut[(A ∧ B) → C] .

Wir können die Funktion Taut definieren, indem wir ein gewisses Maß an Mengenlehre voraussetzen: Wir müssen das Objekt Wahrheitswert, dh eine Funktion , definieren

v : Prop → { 0,1 } ,

wobei Prop die Menge der Aussageatome (oder Aussagevariablen) der Sprache ist: P1, P2, P3,...

Dann erweitern wir die Bewertungen auf alle Formeln der Sprache, indem wir die üblichen Wahrheitstabellen für die propositionalen Konnektoren verwenden.

Beispiel: Wenn Formel α P1 ∧ P2 ist und wir v(P1)=1 und v(P2)=0 haben, dann v(α)=0 , und so weiter.

Nachdem wir die Menge Val aller Bewertungen definiert haben, haben wir:

Taut[α] genau dann, wenn ∀v ∈ Val : v(α)=1 .

All diese "Maschinen" brauchen eine Metasprache; daher ist es schwierig, eine Formel der Sprache selbst herzustellen, die die "semantischen" Eigenschaften der Sprache ausdrücken kann.

Siehe: Selbstreferenz , Lügnerparadoxon , Tarskis Wahrheitsdefinitionen und Arithmetisierung der formalen Sprache .

Vielen Dank. Der Unterschied zwischen "Satzatomen" und "Satz" ist mir immer noch nicht klar. Können Sie ein Beispiel für einen Satz geben, der nicht ist, und ein Satzatom und einen, der ist ? Dies ist der letzte Schritt für mich, um Ihre Antwort vollständig zu verstehen.
@PedroA - A ist ein "Atom" und A ∧ B ist ein "komplexer Satz: Der erste ist "unzerlegbar (gemäß der Syntax der Prop-Logik).
Kann man Argumentvalidität als Formel definieren?
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