Wenn "Alle S ist P" wahr ist, widerspricht es "Kein Nicht-S ist Nicht-P"?

Ich habe ein Problem, auf das ich in einem Logik-Lehrbuch gestoßen bin, das ich nach mehreren Versuchen nicht herausfinden kann.

Angenommen, wir nehmen an, dass "Alle S ist P" wahr ist.

Lässt uns dies auf den Wahrheitswert von „No Non-S is Non-P“ schließen, wobei Non-X die komplementäre Klasse von X ist?

Die Lehrbuchantwort ist, dass der Wahrheitswert nicht bestimmt werden kann. Ich scheine jedoch beweisen zu können, dass die Aussage falsch ist. So mache ich es:

  1. Wenn "Alle S ist P" wahr ist, ist es auch wahr, dass S auf eine Sammlung von Objekten verweist, die kleiner oder gleich der Sammlung von Objekten ist, auf die P verweist.
  2. Wenn S<=P, dann kann kein Nicht-P S sein.
  3. Alle Nicht-P müssen daher Nicht-S sein.
  4. Da alle Nicht-P Nicht-S sind, muss es durch Subalternation einige Nicht-P geben, die Nicht-S sind.
  5. Wenn es ein Nicht-P gibt, das Nicht-S ist, dann gibt es ein Nicht-S, das Nicht-P ist.
  6. Wenn es etwas Nicht-S gibt, ist Nicht-P, dann muss die Aussage „Kein Nicht-S ist Nicht-P“ notwendigerweise falsch sein, weil sie im Widerspruch zu der früheren Aussage steht, zu der man durch gültige Schlussfolgerungen aus wahren Prämissen gelangt ist und muss daher wahr sein.

Wenn ich es jedoch in ein Venn-Diagramm für "Alle S ist P" zeichne, gibt es einen Fall, in dem sich P auf die Sammlung ALLER Objekte bezieht, was bedeutet, dass Nicht-P nicht existiert, daher müssen alle Nicht-S P sein Dies lässt einen seltenen Fall zu, in dem die Aussage gilt, daher ist der Wahrheitswert der Aussage unbestimmt.

Beide Argumentationslinien scheinen richtig, aber widersprüchlich. Was schief gelaufen ist?

Ja, die beiden Aussagen sind in der aristotelischen Ogik widersprüchlich. Ihre Argumentation ist nicht einmal nahe daran, WARUM die beiden Aussagen widersprüchlich sind. Du hast versehentlich recht. Sie müssen verstehen, dass es verschiedene Arten von Logik mit unterschiedlichen Regeln gibt. In der mathematischen Logik wäre dies also überhaupt keine Frage. Es würde nie gefragt werden. Schlussfolgerungsregeln in der aristotelischen Logik würden zeigen, dass die beiden Aussagen, die Sie angeben, tatsächlich widersprüchlich sind. Das heißt, beide Aussagen können nicht gleichzeitig wahr sein, beide können nicht falsch sein. Wenn 1 wahr ist, muss das andere falsch sein und umgekehrt.
In der aristotelischen Logik können Sie Inferenzregeln wie Obversion, Konvertierung usw. verwenden, um zu beweisen, dass "Kein Nicht-s ist Nicht-p" IDENTISCH (keine logische Äquivalenz) mit dem Satz vom Typ O ist: Einige s sind nicht p. Das Oppositionsquadrat zeigt, dass Sätze vom Typ A im Widerspruch zu Sätzen vom Typ O stehen. Ihre Argumentation sollte nahe am Stoff des deduktiven Denkens gewesen sein – nicht Ihrer eigenen Erfindung. Vielleicht verwechseln Sie die Logik, da alle Logiken dasselbe sind. Vielleicht dachten Sie, Logik sei diskrete Mathematik oder so etwas. Es gibt mehr Gegenstand der Logik als der Mathematik.

Antworten (1)

Aus "traditioneller" Sicht haben Sie Recht.

Das Problem ist die existentielle Bedeutung kategorialer Aussagen :

Wenn eine Aussage einen Begriff enthält, so dass die Aussage falsch ist, wenn der Begriff keine Instanzen hat, dann hat die Aussage in Bezug auf diesen Begriff eine existenzielle Bedeutung. Es ist zweideutig, ob eine universelle Aussage der Form „Alles A ist B“ als wahr, falsch oder sogar bedeutungslos zu betrachten ist, wenn es kein As gibt.

Im traditionellen Syllogismus wird der Schluss von „Alle S sind P“ auf „Einige S sind P“ ( Subalternation ) durch die Annahme lizenziert, dass es Ss (und damit auch Ps) gibt.

In der modernen Logik ist es zwar (normalerweise) richtig, dass "Für alle x Px" "Einige x sind Px" impliziert, die moderne Übersetzung des kategorialen Satzes lautet jedoch: "Für alle x (wenn Sx, dann Px)". gilt auch, wenn es keine Ss gibt, und wir können daher nicht korrekt folgern: "Es gibt einige x (Sx und Px)".

Formal:

∀x(Sx → Px)

ist äquivalent zu:

¬∃x(Sx & ¬Px)

was wiederum ist:

∀x(¬Px → ¬Sx) [Schritte 1-3].

Jetzt haben wir Subalternation [Schritt 4]:

∃x(¬Px & ¬Sx)

was aus heutiger Sicht nicht richtig ist.

Betrachten Sie Ihre Aussage:

"wenn P sich auf die Sammlung ALLER Objekte bezieht, bedeutet das, dass Nicht-P nicht existiert";

somit ist ∃x (¬Px & ¬Sx) falsch : es gibt keine Nicht-P s, während ∀x(¬Px → ¬Sx) vage wahr ist .

Das bedeutet, dass für die moderne Logik der Schluss von: ∀x(¬Px → ¬Sx) auf ∃x(¬Px & ¬Sx) nicht gültig ist .

Das bedeutet nicht, dass ∃x(¬Px & ¬Sx) immer falsch ist : Wenn S für "Fische" und P für "Wasser_lebend" stehen, haben wir, dass "Alle Fische sind Wasser_lebend" wahr ist , und somit auch "Alle nicht -Water_living" sind keine Fische" [Schritte 1-3].

Aber das widerspricht nicht der Tatsache, dass auch „Es gibt einige Nicht-Wasser_Lebende, die Nicht-Fische sind“ wahr ist .

Das ist der Schlüssel zur Lehrbuchantwort:

Ein gültiges Argument ist eines, das aus wahren Prämissen auf eine wahre Schlussfolgerung schließen lässt.

Für die moderne Logik ist Subalternation nicht gültig; aber das bedeutet nicht, dass die Schlussfolgerung immer falsch ist .

Vielen Dank für die Antwort. Ich verstehe jetzt, dass die Annahme einer existenziellen Bedeutung gelten muss, damit die Subalternation gelten kann, weil keine Schlussfolgerung mehr als die Prämissen implizieren kann.
Ich kann jedoch nicht verstehen, wie das den obigen Widerspruch aufhebt. Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege (ich weiß, dass ich irgendwo bin), aber es scheint mir, dass die existentielle Bedeutung in beiden Fällen angenommen wird. Für die Solidität der Schritte 1-6 muss existenzieller Import notwendig sein. Existenzielle Bedeutung ist auch der Schlüssel für uns, um zu sagen, dass P existiert, nur dann kann sich P auf alle Objekte beziehen. Wie kann eine gemeinsame Annahme eine Quelle des Widerspruchs sein?
Ihre Aussage Nr. 3 hat im All-is-P-Fall keine existentielle Bedeutung. (Sie geben es als wahr an, selbst wenn es keine Fälle von Nicht-P gibt.)
Wenn "Alle S ist P" wahr ist, widerspricht es "Kein Nicht-S ist Nicht-P"?
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