Warum geht bei einem vollkommen unelastischen Stoß maximale kinetische Energie verloren?

Soweit ich das beurteilen kann, brauchen wir hier eher ein intuitives Verständnis als ein mathematisches. Die Intuition wird durch die mathematischen Ausdrücke etwas getrübt. Aber wenn wir annehmen, dass die beiden kollidierenden Körper die gleiche Masse haben, werden die Ausdrücke stark vereinfacht. Obwohl nicht sofort offensichtlich, gelten die Ergebnisse für willkürliche Kombinationen von Massen.

Lassen Sie mich Masse in Frage stellen$m$. Nennen wir die Anfangsgeschwindigkeiten der beiden Körper$\vec{v_1}$Und$\vec{v_2}$, und die Endgeschwindigkeiten$\vec{v_1'}$Und$\vec{v_2'}$unsere einzige Einschränkung ist, dass das Momentum erhalten bleiben muss. So:

$m \vec{v_1} + m \vec{v_2} = m \vec{v_1'} + m \vec{v_2'}$

Da wir die Massen als gleich angenommen haben, reduziert sich dies sofort auf:

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_1'} + \vec{v_2'}$

Nun, die Geschwindigkeit des Massenzentrums (manchmal nennen wir es Impulszentrum, besonders wenn es um relativistische Systeme geht), die wir nennen werden$\vec{V}$Ist:

$\vec{V} = \frac{m \vec{v_1} + m \vec{v_2}}{m + m}$

Auch hier reduziert sich aufgrund gleicher Massen leicht auf:

$\vec{V} = \frac{\vec{v_1} + \vec{v_2}}{2}$

Transformieren wir die Anfangsgeschwindigkeiten auf dieses neue System und nennen wir die jeweiligen Anfangsgeschwindigkeiten der Körper in diesem (Schwerpunkt-)System$\vec{u_1}$Und$\vec{u_2}$, sie sind:

$\vec{u_1} = \vec{v_1} - \vec{V}$

$\vec{u_2} = \vec{v_2} - \vec{V}$

Substitution des Ausdrucks für$\vec{V}$Erträge:

$\vec{u_1} = \vec{v_1} - \frac{\vec{v_1} + \vec{v_2}}{2}$

$\vec{u_2} = \vec{v_2} - \frac{\vec{v_1} + \vec{v_2}}{2}$

Vereinfachung führt zu:

$\vec{u_1} = \frac{\vec{v_1} - \vec{v_2}}{2}$

$\vec{u_2} = \frac{\vec{v_2} - \vec{v_1}}{2}$

Oooh ... Also,$\vec{u_1}$Und$\vec{u_2}$sind gleich und gegensätzlich! Dies legt die Definition einer Relativgeschwindigkeit nahe:

$\vec{r} = \frac{\vec{v_1} - \vec{v_2}}{2}$

So jetzt

$\vec{u_1} = \vec{r}$

$\vec{u_2} = -\vec{r}$

Warum all dieser Ärger? All diese Arbeiten zeigen im Wesentlichen zwei Dinge:

• Im Schwerpunktsystem haben die Körper die gleiche Größe und entgegengesetzt gerichtete Geschwindigkeiten.

• Im ursprünglichen Rahmen können die Geschwindigkeiten ausgedrückt werden als:

$\vec{v_1} = \vec{V} + \vec{r}$

$\vec{v_2} = \vec{V} - \vec{r}$

Nennen wir die kinetische Energie im ursprünglichen Rahmen$T$, wir können es ausdrücken als:

$T = \frac{1}{2}m v_1^2 + \frac{1}{2}m v_2^2$

Also,$v_1^2$Ist$\vec{v_1}\cdot\vec{v_1}$Und$v_2^2$Ist$\vec{v_2}\cdot\vec{v_2}$. So:

$T = \frac{1}{2}m (\vec{V} + \vec{r})\cdot (\vec{V} + \vec{r}) + \frac{1}{2}m (\vec{V} - \vec{r})\cdot (\vec{V} - \vec{r})$

Lassen Sie uns diese verrückte Sache erweitern:

$T = \frac{1}{2}m (V^2 + r^2 + 2 \vec{V}\cdot\vec{r}) + \frac{1}{2}m (V^2 + r^2 - 2 \vec{V}\cdot\vec{r})$

Hier geschieht ein kleines Wunder. Es gibt eine perfekte Auslöschung der Punktprodukte. Diese perfekte Aufhebung tritt nur dann auf, wenn$\vec{V}$ist die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts; für jeden anderen Rahmen bleiben die Kreuzbegriffe bestehen. Als solches ist der Schwerpunktrahmen etwas Besonderes. (Dies funktioniert genauso gut, wenn die Massen nicht gleich sind, nur mit komplizierteren Ausdrücken.)

Unser kinetischer Energieausdruck ist jetzt:

$T = \frac{1}{2}m V^2 + \frac{1}{2}m V^2 + \frac{1}{2}m r^2 + \frac{1}{2}m r^2$

Das ist wirklich cool. Die kinetische Energie spaltete sich in zwei verschiedene Teile auf. Eins, wir können anrufen$T_c$, das ist die kinetische Energie aufgrund der Bewegung des Massenschwerpunkts, die gerade ist:

$T_c = \frac{1}{2}m V^2 + \frac{1}{2}m V^2$

Der zweite Teil, den wir nennen können$T_r$, die die kinetische Energie aufgrund der Bewegung relativ zum Massenmittelpunkt ist:

$T_r = \frac{1}{2}m r^2 + \frac{1}{2}m r^2$

Und natürlich:

$T = T_c + T_r$

Betrachten wir nun, was nach der Kollision passiert. Im Schwerpunktsystem (das, wie wir jetzt wissen, etwas Besonderes ist) ist der anfängliche Gesamtimpuls null ($m \vec{r} - m \vec{r} = \vec{0}$) Der Endimpuls muss also Null sein. Nach der gleichen Transformationsüberlegung können die Endgeschwindigkeiten im ursprünglichen Rahmen ausgedrückt werden als:

$\vec{v_1'} = \vec{V} + \vec{r'}$

$\vec{v_2'} = \vec{V} - \vec{r'}$

Hier,$\vec{r'}$ist die Relativgeschwindigkeit im Endzustand (nach dem Stoß). Bei ziemlich gleicher Ableitung die endgültige kinetische Energie$T'$kann ausgedrückt werden als (offensichtlich im ursprünglichen Rahmen):

$T' = T_c + T_r'$

$T_c = \frac{1}{2}m V^2 + \frac{1}{2}m V^2$(genauso wie vorher)

$T_r' = \frac{1}{2}m r'^2 + \frac{1}{2}m r'^2$

Die kinetische Energie aufgrund der Bewegung des Massenschwerpunkts ändert sich also nicht. Das liegt im Wesentlichen an der Impulserhaltung. Was sich ändern kann, ist die Bewegung relativ zum Schwerpunkt, die von den Details (und der Elastizität) der Kollision abhängt.

Für einen vollkommen elastischen Stoß gilt:

$|\vec{r}| = |\vec{r'}|$

Allgemein gilt wegen Energieerhaltung:

$|\vec{r'}| \leq |\vec{r}|$

(Es sei denn, etwas Energie wird aus einer anderen Quelle freigesetzt, aber darum geht es uns hier nicht.)

Für einen vollkommen unelastischen Stoß gilt$\vec{r'} = \vec{0}$. Die kinetische Energie nach der Kollision ist dann nur die Energie aufgrund der Bewegung des Massenschwerpunkts - das System wird in einen Topf geworfen und seine "Komponenten" tragen keine kinetische Energie mehr.

Nur um den Schlüsselpunkt zu wiederholen: Der Schwerpunktrahmen ist insofern etwas Besonderes, als die kinetische Energie in jedem_anderen_Referenzrahmen als Summe der kinetischen Energie des Massenschwerpunkts in diesem Referenzrahmen plus der kinetischen Energien ausgedrückt werden kann der Körper im Bezugsrahmen des Massenmittelpunkts. Da Sie also nach einer Kollision die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts eines Systems nicht ohne Einwirkung äußerer Kräfte ändern können, ist dieser Teil der kinetischen Energie festgelegt. Was Sie verlieren können, ist die kinetische Energie der Körper im System aufgrund der Bewegung relativ zum Massenmittelpunkt. Und das passiert nur bei einem vollkommen unelastischen Stoß, bei dem die Körper aneinander haften und im Schwerpunktrahmen bewegungslos sind.

Als solches ist das die meiste kinetische Energie, die verloren gehen kann. QED.

Dies kann leicht in ein Kalkül umgewandelt werden.$1$eingeschränktes Minimierungsproblem.

Sie möchten die gesamte kinetische Energie minimieren

angesichts der Einschränkung durch die Erhaltung des Impulses

Sie können das dann leicht zeigen (Arbeit bleibt Ihnen überlassen).$K$unter dieser Einschränkung minimiert wird, wenn

dh wenn sich die Objekte mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen. Da dies natürlich bei einer vollkommen unelastischen Kollision geschieht, minimiert diese Art der Kollision die kinetische Energie des Systems.

Es ist ein wichtiges Ergebnis, dass die kinetische Energie eines Systems aus einer beliebigen Anzahl von Teilchen in dem Bezugssystem, das dem Massenmittelpunkt zugeordnet ist, minimal ist . Wenn Sie also die maximal mögliche Energie verlieren möchten, müssen Sie am Ende eine solche endgültige Konfiguration im Rahmen des Massenschwerpunkts haben, sodass sich keines der Teilchen bewegt (Dies ist die niedrigste kinetische Endenergie, die Sie erreichen können, nämlich 0). Die obige Situation ist nur möglich, wenn alle Teilchen kurz nach dem Stoß im Schwerpunktrahmen zur Ruhe kommen, also alle Teilchen aneinander " kleben" .

Dieses Argument ist den Argumenten in anderen Antworten überlegen, da dieses Argument für eine beliebige Anzahl gleichzeitig kollidierender Teilchen gültig ist .

Für den üblichen Fall von zwei Teilchen kann die kinetische Energie im Schwerpunktsystem geschrieben werden als

Wo$m_1$Und$m_2$sind die Massen der Teilchen, und$v_{\rm rel}$ist die Größe der relativen Geschwindigkeit der beiden Teilchen. Wie erwartet, wenn beide Partikel im Bezugsrahmen des Massenzentrums aufhören sich zu bewegen (stationär werden oder nach der Kollision haften bleiben).$v_{\rm rel}$Null wird und damit auch die kinetische Energie. Und das ist der physikalische Grund, nach dem Sie suchen.

Aber nur weil ke in einigen Frames 0 ist, heißt das nicht, dass es in jedem anderen Frame so gering wie möglich ist, oder?

Ich möchte etwas Wichtiges hervorheben : ! Kinetische Energie kann niemals negativ sein

Null ist die minimal mögliche kinetische Energie!

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Nur etwas Kontext:

Der Bezugsrahmen des Massenzentrums ist besonders nützlich bei der Untersuchung von Kernkollisionen.

Schau einfach hier .

Wenn wir nach dem Satz von Noether eine Galilei-Transformation machen und einem System sich bewegender Teilchen einen Gesamtimpuls von geben$\vec p$, Dann$\vec p - m_{tot}\vec v_{cm}=0$, Wo$m_{tot}$die Gesamtmasse der Teilchen und$\vec v_{cm}$die Geschwindigkeit des Schwerpunktrahmens.
Das heißt, unabhängig davon$\vec v_{cm}$, können wir das bewegte CM-Koordinatensystem jederzeit in ein CM-Koordinatensystem mit Nullgeschwindigkeit umwandeln, in dem es offensichtlich ist, dass die Teilchen nach einem inelastischen Stoß aneinander haften und einen Impuls von Null und somit eine Geschwindigkeit von Null haben (die eigentliche Definition eines nicht bewegten CM-Rahmen ist der Rahmen, in dem der Gesamtimpuls vor und nach dem Stoß Null bleibt), was bedeutet, dass die kinetische Energie das Minimum von Null Joule hat.

Für eine vollkommen unelastische Kollision gibt es ein Bezugssystem (das Zentrum des Impulsrahmens), in dem der Endzustand eine kinetische Energie von Null hat und Null das absolute Minimum ist.

Meine Frage ist, warum führt diese von allen möglichen Kombinationen von Endgeschwindigkeiten, die den Impuls erhalten, zum größten Verlust an kinetischer Energie?

Es gibt eine niedliche geometrische Interpretation, die ich zeigen möchte.

Wir betrachten Kollisionen in einer Dimension. Lassen$m_1$,$m_2$seien die Massen der beiden Objekte;$v_1$,$v_2$seien die Geschwindigkeiten.

Die Geschwindigkeiten der beiden Objekte können durch einige Modifikationen als Punkte in einer Ebene dargestellt werden. Seit

Wir könnten inspiriert werden, unsere Punkte als zu zeichnen

Betrachten wir nun eine bestimmte Momentaufnahme, so ist die Menge aller Punkte, die ein konstantes KE haben, durch einen Kreis definiert :

um den Ursprung zentriert, mit Radius$\sqrt{2\,\text{KE}}$.

Ebenso, da die Impulserhaltung definiert ist als

die Menge aller Punkte mit konstantem Impuls wird durch eine Gerade definiert :

Wenn wir uns die Anfangsgeschwindigkeiten als einen bereits existierenden Punkt auf der Ebene vorstellen, wird eine Kollision als diskontinuierlicher Schluckauf dargestellt. Die Erhaltung der kinetischen Energie als Kreis und die Erhaltung des Impulses als Linie wird in den meisten Fällen einen anderen Schnittpunkt darstellen. Dieser Schnittpunkt bezeichnet einen elastischen Stoß.

Wenn jedoch kinetische Energie verloren geht, wie bei einem unelastischen Stoß, dann sind wir auf eine Scheibe innerhalb der Ebene beschränkt. Die Verschmelzung mit der Impulserhaltung sperrt uns in ein Liniensegment ein, das unten in Blau dargestellt ist.

Wo auf diesem Linienabschnitt verlieren wir die meiste kinetische Energie? Der Radius unserer$\text{KE}$Kreis wurde definiert durch$\sqrt{2\,\text{KE}}$, was bedeutet, dass wir wollen, dass unser neuer Punkt, während wir uns immer noch auf dem Segment mit konserviertem Impuls befinden, so nah wie möglich am Ursprung sein soll.

Mit anderen Worten, wenn wir eine Linie vom Ursprung zum unelastischsten Punkt ziehen würden, wäre sie senkrecht zur Impulslinie.

Aber die Steigung der Impulslinie ist bereits gegeben als$-\sqrt{m_1/m_2}\,$. Also muss die unelastischste Linie die Gleichung haben

Beachten Sie, dass dieser Satz erwartungsgemäß von den Anfangsbedingungen invariant ist.

$\rule[0.1pt]{300pt}{0.4pt}$

Um diese Antwort mit der Diskussion über das Ändern von Referenzrahmen zu verbinden, beachten Sie einfach, dass eine Änderung des Rahmens Übersetzungen des Ursprungs um die entspricht$\sqrt{m_2/m_1}$Linie; die Linie der vollkommenen Inelastizität. Wenn der Ursprung zufällig auf der Impulslinie landet, ist dieser Rahmen der Schwerpunktrahmen.

Diese Interpretation wurde von einem YouTube-Video von 3Blue1Brown inspiriert .

Wenn ich Ihre Frage richtig verstehe, wäre die Antwort einfach zu erkennen, was der COM-Rahmen mit einem Zweikörperproblem macht. Wie Sie sich erinnern, kann ein Zwei-Körper-Problem im COM-Frame in ein Ein-Körper-Problem umgewandelt werden. Das bedeutet, dass die Bewegungsgleichungen für den nun neuen einen Körper dem ursprünglichen Szenario entsprechen.

Da die kinetische Energie (zumindest klassisch) nicht negativ sein kann, entspricht das Minimum Null (mit maximalem Verlust), daher kann sie für keinen anderen Rahmen niedriger sein.

Was ich damit meine ist jetzt. Nehmen wir diese unelastische Kollision von einem anderen Rahmen, in dem der KE einen gewissen Wert hat. Wenn diese Kollision stattdessen elastisch wäre, ergibt die Berechnung von KE aus dem gewählten Frame$ einen größeren Wert als im vorherigen Fall. Wenn Sie also im Grunde den kleinstmöglichen Wert (=0) für KE aus dem COM-Frame erhalten, bedeutet dies, dass, wenn Sie einen anderen Frame gewählt haben, bei dem KE nicht Null war, eine von diesem Frame beobachtete elastische Kollision zu einem größeren KE und damit zu einem geringeren Verlust führt. Der Schlüssel ist, dass Sie sich für den Vergleich elastischer und unelastischer Kollisionen an einen Rahmen halten müssen, was auch immer das sein mag.

Wenn Sie keine Infinitesimalrechnung wollen und eine physikalische Interpretation benötigen, hier ist eine:-

Die Bedeutung einer unelastischen Kollision ist, dass eine gewisse Energie der Kollision in potenzielle Energie umgewandelt wird, entweder durch Formänderung oder Wärme oder Schall usw.

Bei einem perfekt inelastischen Stoß wird also die maximale Energiemenge in potentielle Energie umgewandelt. Und durch Energieerhaltung geht maximale kinetische Energie verloren. (Betrachten Sie die Umgebung als Teil des Systems.)