Zusammenhang zwischen Energieerhaltung und Impulserhaltung?

Zu beachten ist, dass bei inelastischen Stößen die Energie innerhalb des Systems nicht erhalten bleibt . Ein Teil der Energie geht als thermische Energie verloren, und schließlich braucht es etwas Energie, um die Blöcke zusammenzuhalten. Dies bedeutet jedoch nicht, dass das Energieerhaltungsgesetz falsch ist. Es bedeutet nur, dass Energie das System, das Sie studieren, verlassen hat (Blöcke$A$Und$B$). Wenn Sie die Energiemenge messen würden, die das System verlassen hat, würden Sie sehen, dass im Allgemeinen immer noch Energie erhalten bleibt.

Als Hinweis für die Zukunft nehmen wir im Allgemeinen nur an, dass vollkommen elastische Stöße sowohl Impuls als auch Energie erhalten.

Ich habe mich auch darüber gewundert - die Einschränkungen, die den Lösungen elastischer Kollisionen durch die dualen Erhaltungsgesetze von Impuls und kinetischer Energie auferlegt werden - und ob es eine Kombination von Massen gibt, die dazu führen kann, dass sich zwei Massen nach einer Kollision mit derselben Geschwindigkeit bewegen . Viele hier haben a priori als Vermutung zitiert , dass die Situation eine unelastische Kollision impliziert, aber es war für mich nicht sofort offensichtlich, dass dies so sein muss.

Das Lösen der simultanen Gleichungen wurde sehr schnell sehr chaotisch, also habe ich die Gleichungen für eine theoretische Masse der Einheit eins und Geschwindigkeit = 2 gezeichnet, die mit einer identischen stationären Masse in einer einzigen Dimension kollidiert (möglicherweise Wagen auf einer Schiene oder eine perfekt gerade Kollision von Billardkugeln). ). Die Diagramme zeigen die Ergebnisse nach der Kollision für die Geschwindigkeiten von Masse 1 (x-Achse) und Masse 2 (y-Achse) unter Impulserhaltung und Erhaltung der kinetischen Energie. Die einzig möglichen Lösungen müssen beide erfüllen, daher untersuchen wir die Schnittmengen:

Es gibt wie erwartet zwei Lösungen, eine unmögliche, bei der Masse 1 Masse 2 im Wesentlichen ungehindert passiert, ohne Auswirkung auf Masse 1 (Geschwindigkeit Masse 1 = 2, Geschwindigkeit Masse 2 = 0), und die andere (und einzig mögliche Lösung) wobei Masse 1 stoppt und ihren vollen Impuls auf Masse 2 überträgt, die sich nun mit Geschwindigkeit 2 wegbewegt (denken Sie an den weißen Spielball, der tot stoppt, wenn er einen anderen Ball voll trifft).

Betrachten wir nun den Fall mit Masse 2 doppelt so groß wie Masse 1:

Wir sehen die machbare Lösung darin, dass die leichtere Masse 1 von der schwereren Masse 2 abprallt (Masse 1 Geschwindigkeit ~ -0,65, Masse 2 vorwärts bei ~ 1,3). Natürlich wird Masse 1 in jedem Fall, in dem sie leichter ist, bis zu einem gewissen Grad zurückprallen und Masse 2 nach vorne getrieben werden. Also keine Möglichkeit für$m1 < m2$in dem sie mit gleicher Geschwindigkeit verschmelzen können.

Betrachtet man den umgekehrten Fall, mit$m1 > m2$, in diesem Fall Masse 1 doppelt so groß wie Masse 2:

Wir sehen jetzt, wie Masse 1 einen positiven Impuls behält (Geschwindigkeit ~0,65) und Masse 2 schnell abschießt (Geschwindigkeit ~2,7). Daraus können wir das für jeden ableiten$m1 > m2$, m2 wird eine Geschwindigkeit >2 erreichen, und die ursprüngliche Masse 1, nachdem sie Masse2 etwas Impuls verliehen hat, wird die Geschwindigkeit innerhalb der Grenzen #0< v2 < 2$ beibehalten. Auch hier gibt es keine Lösung für zwei beliebige Massen, die sowohl die Impuls- als auch die Energieerhaltung erfüllen und es den beiden Massen ermöglichen, etwas anderes zu tun, als in gewissem Maße voneinander "abzuprallen" - was Sie vermutlich aus einer elastischen Kollision schließen könnten!

Ich habe das nicht weiter untersucht, aber ich sehe keinen Grund zu der Annahme, dass sich das Ergebnis nicht auf elastische Kollisionen verallgemeinern lässt, bei denen sich beide Massen bewegen, oder auf zwei oder drei Dimensionen.

Außerdem war ich daran interessiert, das als Verhältnis von zu finden$m1:m2$erhöht wurde, wurde die von Masse 2 erreichte Geschwindigkeit auf 4 begrenzt (oder, wie ich vermute, auf das Doppelte der Anfangsgeschwindigkeit) - wieder nehme ich an, dass es eine Grenze geben muss, besonders wenn man bedenkt, dass gleichzeitig (Masse 1 wird relativ viel schwerer) Die Geschwindigkeit von Masse 1 nähert sich einer Grenze von 2 (sie wird von der kleinen Masse 2 ziemlich unbeeinflusst) - es gibt also wenig Impulsverlust und die Geschwindigkeit von Masse 2 ist notwendigerweise eingeschränkt.

Ich hoffe, Sie können sehen, wie ich es jetzt kann (und wie es den erfahreneren Befragten hier vermutlich klar war), dass es unmöglich ist, dass beide Massen bei einem elastischen Stoß die gleiche Geschwindigkeit erfahren. Auch, dass das Verhalten durch Lösung der simultanen Gleichungen vollständig deterministisch ist!

BEARBEITEN Ich denke, es macht Sinn, dass die maximale Nachkollisionsgeschwindigkeit für Masse 2 doppelt so hoch ist wie die (einer relativ sehr schweren) Masse 1 - dies kann gesehen werden, indem der Referenzrahmen so angepasst wird, dass Masse 1 stationär ist und Masse 2 sich ihr nähert mit Geschwindigkeit = -2 ..... eine ausreichend schwere Masse 1 wirkt ähnlich wie eine Wand, und Masse 2 prallt mit Geschwindigkeit = +2 elastisch davon ab, eine Nettoänderung von +4 .... also die maximale Geschwindigkeit Differential$|v2 - v1|$ist durch die Größe des anfänglichen Geschwindigkeitsunterschieds begrenzt (wie wenn ein Teilchen von einer Wand abprallt).

Machen wir ein konkretes Beispiel mit Zahlen:

Nehme an, dass$v_a = 6m/s$Und$v_b = 0 \rightarrow E_k = 0.5 * 6^2 = 18, p_a = 1 * 6 = 6, v_{cm} = p/M = 2$

. Nach dem Energie- und Impulserhaltungssatz gilt:

Kinetische Energie und Impuls bleiben nur bei einem vollkommen elastischen Stoß erhalten, wenn die Körper aneinander haften, ist der Stoß unelastisch und es bleibt nur Impuls erhalten:

Danach wäre die Kollisionsgeschwindigkeit ohnehin geringer , da KE auf mehr Masse verteilt werden sollte, aber etwas KE geht beim Crash verloren. Wie viel?

Impuls bleibt erhalten:$p_{ab} = 6$, aus diesem Datum können Sie seine Geschwindigkeit berechnen:

Ein Teil der Energie wurde auf B übertragen, aber zwei Drittel der kinetischen Energie wurden in andere Energieformen umgewandelt. Der allgemeine Energieerhaltungssatz wurde jedenfalls nicht verletzt

Die Schwerpunktsgeschwindigkeit ist die gleiche, obwohl sich KE geändert hat.

Bitte beachten Sie, dass der Impuls erhalten bleibt, da wir davon ausgehen, dass auf der Kontaktfläche keine Reibung vorhanden ist .

Eine Änderung von KE ohne Impulsänderung ist nicht nur möglich, sondern sehr häufig, da p = mv Impuls linear und KE quadratisch variiert . Sie können das gleiche Produkt durch eine Vielzahl von Faktoren erhalten: 6 = 6 * 1, = 3 * 2, = 2 * 3, = 1 * 6, = 0,5 * 12 usw., verschiedene Faktoren geben den gleichen Impuls

Alle diese Faktoren ergeben dieselben Werte für m*v, aber da die Zahl für v quadriert werden muss, erhalten Sie alle unterschiedlichen Werte zwischen Impuls und Energie, daher ergeben dieselben Faktoren Impuls = 6 , aber KE =3, =6, =9 , =18, =72 usw. entspricht der gleiche Impuls vielen verschiedenen Werten von KE

Für welche Fälle ist die Verwendung von Momentum vorteilhaft...

Sie haben gerade gesehen, dass die Impulserhaltung bei inelastischen Stößen von entscheidender Bedeutung ist, da die Energie nicht erhalten bleibt

Das Problem bei Ihrer Lösung besteht darin, dass sich die inelastische Kollision und die Annahme, dass die kinetische Energie erhalten bleibt, gegenseitig ausschließen. Sie können das in Ihrer Mathematik sehen, wenn Sie versuchen, nach zu lösen$v_2$.

Gleichung umschreiben$(1)$gibt$v_1=\left(m+M\right)v_2/m$die eingefügt in$(2)$Erträge

Dies sagt Ihnen, dass ein inelastischer Stoß nur dann gleichzeitig mit der Erhaltung der kinetischen Energie stattfinden kann, wenn eine der Massen masselos ist ($M=0$). In diesem speziellen Setup ist dies dasselbe wie das zu sagen$M$war von vornherein nie vorhanden, und es gab nicht wirklich eine Kollision.

Sowohl Energie als auch Impuls bleiben wie immer erhalten. Aber um zu verstehen, warum diese Aussage stimmt, muss man sich das von Ihnen beschriebene System etwas genauer anschauen:

Damit die Blöcke A und B nach der Kollision zusammenkleben, sollte die Kraft zwischen ihnen Null sein, wenn die Geschwindigkeitsdifferenz Null ist – andernfalls würde diese Kraft weiterhin Block B beschleunigen und Block A verzögern.

Stellen wir uns nun eine kleine Feder zwischen A und B vor - dies stellt dar, wie die Kraft eines Objekts auf ein anderes zu einer gegenseitigen Verformung und der Speicherung elastischer Energie führt, aber ich mache daraus eine echte (masselose) Feder zur Veranschaulichung.

Wenn A mit der Feder in Kontakt kommt, beginnt diese Feder zusammengedrückt zu werden und gleichzeitig beginnt B, die Kraft von A zu spüren. Aber der Schlüssel hier ist, dass die Feder zusammengedrückt wird. Und dass diese Kompression bedeutet, dass Energie gespeichert wird. Drücken Sie die Feder weiter zusammen, bis sich A und B mit derselben Geschwindigkeit bewegen: Dies entspricht der maximalen Kompression der Feder. Wenn sich die Blöcke weiter bewegen, beginnt sich die Feder wieder auszudehnen und beschleunigt B relativ zu A, bis sie sich trennen und die Feder wieder ihre natürliche Länge hat. Das ist der Vorgang eines elastischen Stoßes – die Energie wird während des Stoßes elastisch gespeichert und am Ende zurückgegeben.

Bei einer unelastischen Kollision bleibt die "Feder zusammengedrückt. Wenn ich die Feder magisch "verriegeln" könnte (sie zum Haften bringen), ist die gespeicherte Energie in der Feder (die Sie berechnen können sollten, genau gleich der "fehlenden Energie" in der blockiert die Bewegung) bleibt dort. Bei einem inelastischen Stoß nimmt nun die Feder die elastische Energie auf und wandelt sie in Wärme um. Dies ist immer noch Energieerhaltung - aber Umwandlung von kinetischer Energie in thermische Energie.

Ich hoffe, das obige klärt die Dinge. Sie sollten versuchen, die Mathematik für dieses Masse-Feder-Masse-System aufzuschreiben. Lass es mich wissen, wenn du damit zu kämpfen hast.

Impuls und Energie bleiben zwar erhalten, aber definitiv ist die Summe der individuellen Impulse der Teilchen nicht gleich der Summe der einzelnen KE der Teilchen. auch kann es unterschiedliche Werte von KE für denselben Impuls geben. So kann durch Manipulation der Gleichungen kein Ergebnis erzielt werden.