Warum gibt es zwölf Noten in einer Oktave?

Dazu bedarf es eines Ausflugs in die Musikgeschichte.

Ursprünglich wurden Instrumente gebaut, um einfach Noten zu spielen, die zusammen "richtig" klangen. Warum einige Noten richtig und andere falsch klangen, war für den größten Teil der Menschheitsgeschichte nicht von großer Bedeutung, bis Pythagoras ( ja, der Typ mit dem Theorem ) bemerkte, dass es mit Intervallen zu tun hatte, und eine Musiktheorie auf der Grundlage reiner Quinten aufstellte . Diese Theorie hatte jedoch ihre Probleme und wurde von späteren Leuten verbessert, was schließlich zu einer sogenannten „ gerechten Intonation “ führte.

Grundsätzlich klingen Noten harmonisch, wenn die Frequenz der Noten nahe an einem einfachen Intervall liegt, wie 3/2 oder 5/4. Diese Theorien waren wichtig, weil sie es verschiedenen Instrumentenbauern ermöglichten, Instrumente herzustellen, die zusammen Tonleitern spielen konnten, wodurch Orchester entstanden.

Aber gerade das Stimmen hat ein Problem: Man kann im Grunde nur die Tonleiter spielen, für die das Instrument gebaut ist, weil die Abstände zwischen den Tönen unterschiedlich sind. Wenn Sie eine Melodie in der falschen Tonleiter spielen, klingt sie verstimmt. Das bedeutet, wenn Sie mit dem Instrument mitsingen wollen, müssen Sie einen Sänger finden, dessen Tonumfang zu dem Lied in der Tonleiter passt, für die das Instrument gebaut ist. Sie können das Lied nicht transponieren, um es an den Sänger anzupassen. Außerdem erforschten Musiker die Grenzen dessen, was man mit rein intonierten Instrumenten machen konnte.

Daraus entstand dann die gleichschwebende Stimmung . Es teilt die Tonleiter in gleiche Intervalle auf, was bedeutet, dass Sie eine Melodie in andere Tonarten transponieren können, und bedeutet auch, dass Sie dramatische Akkordwechsel und andere interessante Dinge tun können. Sie können die Oktave zwar in 11 oder 13 Noten aufteilen, wenn Sie dies wünschen, aber für die meisten Menschen wird es verstimmt klingen . Aber wenn Sie es in 12 Noten aufteilen, kommen Sie den sieben Noten der reinen Intonation nahe genug, um es erträglich zu machen, außer für einige wenige Pechvögel, die angeblich mit überaktiver perfekter Tonhöhe belastet sind. Die fünf Töne, die zwischen den sieben Grundtönen liegen, werden erwartungsgemäß „Halbtöne“ genannt.

Es gibt andere gleiche Temperamente als die 12 Töne pro Oktave, die gut klingen, aber sie haben im Allgemeinen keine ganzzahlige Anzahl von Noten pro Oktave. Wendy Carlos hat viel damit experimentiert und Skalen wie die Gamma -Skala mit leicht verblüffenden 34,29 Noten pro Oktave erstellt.

Diese Frage auf math.se ist Ihrer Frage ziemlich ähnlich und die Antworten geben viele Details:

Mathematischer Unterschied zwischen weißen und schwarzen Noten in einem Klavier?

Was hier vor sich geht, ist ein äußerst praktischer mathematischer Zufall: Einige der Potenzen von 2^(1/12) sind zufällig gute Annäherungen an Verhältnisse kleiner ganzer Zahlen, und davon gibt es genug, um westliche Musik zu spielen.

Zwei Punkte, die vielleicht nicht vollständig beantwortet wurden.

• Warum ist C-Dur die Referenztonleiter für Naturtöne?

  Die angelsächsische Schreibweise verschleiert die Geschichte ein wenig. Die Tradition aus der Kirchenmusik führte in Italien (damals kurz nach Frankreich und Spanien) dazu, Noten der Referenz-Dur-Tonleiter mit konventionellen Silben zu benennen: Ut Re Mi Fa Sol La Si (dies entspricht CDEFGAB ) aus dem lateinischen Liedtext einer sehr bekannten Stück von damals. Letzterer EinzelbuchstabeDie Notation nimmt einen anderen Ausgangspunkt, aber der Referenzcharakter der C-Dur-Tonleiter hat sich in allen westlichen Ländern gehalten, auch wenn Sie Hinweise auf Notationen und Keyboards finden können, die andere Noten als Referenz verwenden. Einer der Haupteinflüsse war der Bau von Tasteninstrumenten (insbesondere der Kirchenorgel). Das aktuelle Tastaturlayout ist ein Kompromiss zwischen der typischen Breite der Hände, dem einfachen Spielen der Ut-Dur-Tonleiter (heute meist als Do oder C bezeichnet ) und dem Zugriff auf alle Halbtöne und ein paar anderen Dingen. Andere Designs waren nicht so erfolgreich.

  Man muss auch wissen, dass die Theoretisierung und Standardisierung der Musik zumindest bis ins 19. Jahrhundert unter der Schirmherrschaft der Kirchen (orthodox, katholisch, reformiert, ...) stand, die auf Einheitlichkeit drängten. Das neunzehnte Jahrhundert hat eine noch größere Standardisierung und Internationalisierung von Stimmung, Musikunterricht und Klavierbeherrschung als Bezugs- und Kompositionsinstrument erlebt. Die letzten drei Jahrhunderte haben die meisten der unterschiedlichen Traditionen (in Bezug auf Tonleitern, Modi, Stimmung) in Europa nach und nach unterdrückt oder in Vergessenheit geraten lassen. Heutzutage wird Musiklernenden die C-Dur-Tonleiter als Grundlage der Musiktheorie als Beweis beigebracht und die Moll-Tonleiter und ihre Varianten werden nicht immer fair behandelt.

• Warum gibt es einen Halbton zwischen E & F und B & C und nicht anderswo?

  Außerhalb der Dur-Tonleiter gibt es mehrere Tonleitern/Modi mit einer unterschiedlichen Anzahl von Noten, bei denen die Halbtöne nicht zwischen der 3. und 4. Note und zwischen der 7. und 8. Note platziert sind. Die drei Moll-Tonleitern (harmonisch, aufsteigend, absteigend) zum Beispiel, aber auch dorisch , phrygisch , Sie können einen Lexikonartikel darüber lesen .

Das hat mit Harmonie zu tun. Noten kollidieren am wenigsten, wenn ihre Frequenzen übereinstimmen . Zum Beispiel stimmen eine Note und ihre Oktave alle zwei Zyklen oder ein Verhältnis von 2/1 überein. Andere Verhältnisse, die gut klingen, sind 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 6/5 und 8/5; diese werden die grundlegenden Konsonantenintervalle genannt. Intervalle, die kollidieren, sind die dissonanten Intervalle.

Warum also zwölf Noten?

Die gleichschwebende Zwölftonleiter ist die kleinste gleichschwebende Tonleiter, die alle sieben konsonanten Grundintervalle in guter Näherung – innerhalb eines Prozents – enthält und mehr konsonante als dissonante Intervalle enthält.

Diese Seite (von der ich zitiert habe) enthält weitere Einzelheiten: http://thinkzone.wlonk.com/Music/12Tone.htm

Eine Quinte ist das kleinste Nicht-Oktav-Konsonantenintervall mit einem Frequenzverhältnis von 3:2. Wenn Sie anfangen, reine Quinten zu stapeln, ist das erste Ergebnis, das ziemlich nahe an gestapelten Oktaven (2:1) liegt, 12 Quinten, was sich als 531441:4096 herausstellt, im Gegensatz zu 128:1 für 7 Oktaven. Das ist so nah wie möglich für eine vernünftige Anzahl von Noten pro Oktave. Wenn Sie also nach einer Tonalität suchen, die aus gestapelten Oktaven und nahezu perfekten Quinten besteht, werden Sie bei einer Zwölftonteilung so ziemlich ankommen.

Dies dient zufällig auch einigen anderen Intervallen (z. B. großen und kleinen Terzen), aber schlimmer als Quinten. "Mitteltontemperament" versucht, eine Reihe von großen Terzen rein zu bekommen, was dazu führt, dass mehrere andere Intervalle sowie einige Terzen schlechter klingen, und "wohltemperierte Stimmung" erhält mehrere reine Quinten und einige schöne Terzen im Austausch für einige unangenehmere Quinten.

Im Laufe der Jahrtausende hat das Stimmen also seinen Schwerpunkt von reinen Terzen auf reine Quinten verlagert und sich schließlich darauf festgelegt, nur die Oktaven rein zu machen und den Rest der Tonleiter um eine gleichschwebende Quinte herum aufzubauen, was zu 12 gleichschwebenden Halbtönen führt.

Wenn zwei Noten zusammen gespielt werden, klingen sie nur dann angenehm, wenn ihre Wellenkurven alle paar Zyklen zusammenkommen. Wir nennen sie harmonisch klingend.

Wenn die Wellenkurven nie oder nicht innerhalb weniger Zyklen zusammenkommen, klingen sie disharmonisch.

Wellenkurven kommen nur zusammen, wenn die beiden Frequenzen Vielfache voneinander sind. Wenn beispielsweise eine Frequenz 200 Zyklen pro Sekunde und die andere 600 Zyklen pro Sekunde beträgt, stimmen ihre Schallkurven genau dreimal pro Sekunde überein und sie klingen harmonisch.

Indem Sie jede Oktave in 12 Intervalle unterteilen, maximieren Sie die Anzahl angenehm klingender Notenpaare. Das liegt daran, dass die Zahl 12 durch mehr kleine Zahlen teilbar ist als jede andere Zahl unter 60. Sie ist durch 1,2,3,4 und 6 teilbar. Die Zahl 60 würde angenehmere Kombinationen ermöglichen (1,2,3, 4 und 5), aber es wäre lächerlich, eine Oktave in 60 Intervalle zu unterteilen.

In der modernen westlichen Musik werden also 12 Intervalle verwendet. Das bietet die maximale Anzahl an angenehm klingenden Kombinationen, um Harmonie zu schaffen.

Eine gleichschwebende Stimmung hat Frequenzen in einer geometrischen Reihenfolge . Typischerweise wird davon ausgegangen, dass Oktaven perfekt dargestellt werden, daher können Frequenzen mit f = A * 2 ^ (i / n) berechnet werden, wobei A die Standardtonhöhe (oft 440 Hz), i eine beliebige ganze Zahl und n die ist Anzahl Noten pro Oktave.

Die möglichen Frequenzverhältnisse sind ebenfalls geometrisch und würden mit r=2^(i/n) angegeben. Ein erfreuliches Verhältnis ist 3/2, dem wir uns sehr annähern wollen. Andere wichtige Verhältnisse sind die einfachen, wie 4/3 und 5/3.

Eine Visualisierung könnte hier hilfreich sein. Indem wir die Anzahl der Noten pro Oktave variieren, können wir prüfen, wie gut die einfachen Verhältnisse durch die geometrische Folge angenähert werden. Ich verwende eine logarithmische Skala auf der horizontalen Achse, sodass die geometrische Sequenz gleichmäßig verteilt erscheint (ähnlich wie Klaviertasten).

Wir sehen, dass 12 Noten eine viel bessere Arbeit leisten, um 3/2 anzunähern, als die meisten Entscheidungen. Es nähert sich auch anderen Verhältnissen ziemlich gut an.

Eine weitere Überlegung ist, wie fein abgestimmt das menschliche Ohr auf exakte Frequenzen ist. Kollmeier et al. schätzen, dass die gerade wahrnehmbaren Unterschiede etwa 0,6 % betragen (Kollmeier, Brand & Meyer 2008, S. 65), was das kleinste Verhältnis ist, wenn es 116 Noten pro Oktave gibt. Das setzt also eine vernünftige Obergrenze für Noten pro Oktave.

Der Grund ist DAS GEHIRN. Das Gehirn mag Frequenzen, die einfache Proportionen haben. Es denkt, dass sie zusammenpassen. Sie sollten sich wirklich zuerst fragen, warum es Oktaven gibt?

Nun, die Oktave repräsentiert eine Verdoppelung / Halbierung von Hertz (Zyklen pro Sekunde).

Also, mittleres Midi-C ist 256 Hz, und wenn Sie Ihre Computernummern kennen, werden Sie feststellen, dass die Cs der nächsten Oktave bei 512, 1024, 2048 usw. liegen und die unteren Oktaven bei 128, 64 und (pimp your ride). ) 32.

Erdbeben treten übrigens bei etwa 11 Hertz auf.

Jede Gesellschaft beginnt mit der Oktave. Weil 1/2. Ich habs?

(Ich schlage vor, dass die 2. Wiener Schule übrigens die Oktave aufgibt und auch die Instrumente stimmt. Beides macht für sie keinen Sinn. Der aktuelle Stand der Dinge mit Oktaven und Stimmungen und dergleichen ist reine Heuchelei. Lasst es, Jungs! Auch Partituren. Und in der Öffentlichkeit zu spielen. Es kommt sowieso niemand.)

Hhhhh...

Wie teilt man die Oktave?

Wenn wir es auf C beginnen und es in 3 teilen (was ein schönes gehirnfreundliches Verhältnis ist), erhalten wir eine schöne 3-Noten-Skala:

C, E, G#, C

Wie wäre es, es in vier zu teilen:

C, Es, Fis, A, C

„Das ist schön“, sagt das Gehirn, „aber es ist zu SYMMETRISCH. Diese beiden Skalen scheinen einfach endlos zu sein, ich kann nicht sagen, was was ist. Ich weiß! Warum mischst du die Proportionen nicht so? sind sie etwas ungleichmäßiger? Dann kann ich den Basston herausfinden.

Und so wurde das "Proto Major Thingy" geboren:

C, E, G, C

und das "Proto Minor Thingy":

C, Es, G, C

"Moment mal", sagt das Gehirn, "du hast eine Note verpasst, oder?".

"Wo?"

"Zwischen G und C, ich bin mir ziemlich sicher, dass du etwas zwischen G und C hattest".

C, E, G, A, C ?

„Das ist SCHÖN! Rock and Rollish. Na los, was ist mit dem anderen?“

C, Es, G, Bb, C ?

„Hey, was ist mit dem Bb? Das haben wir noch nie gehört.

"Es ist 10/12".

"Du meinst 5/6tel. Okay. Spiel es noch einmal".

C, Es, G, Bb, C

„Kay, das ist bluesig. In Ordnung! Aber es ist 70.000 Jahre her und es gibt jede Menge armer Bastarde, die in der Landschaft herumlungern und von Säbelzahntigern und dergleichen zermalmt und gefressen werden. Lotta Beerdigungen. Viel Traurigkeit. Wie Trump heutzutage, sollten Sie wissen ! Brauche Abwechslung.“

"Permutationen?"

"Zeig mir."

C, D, E, G, A, C
C, D, E, G, Bb, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C

"Was ist der F-Anteil?"

"4/3"

"Großartig! Ich mag es. 5 Noten. Geben wir ihm einen ausgefallenen griechischen Namen. Verfeinern Sie es ein bisschen. Penta ...?"

"Tonic?".

"Das ist wunderbar".

„Ich habe nur Spaß gemacht. Weißt du, zu wörtlich …“

"Macht nichts. Es ist großartig. Wir gehen mit Pentatonic. Mehr! Wir BRAUCHEN MEHR! Jetzt gibt es Häuptlinge, Lehmhütten, Schmuck"

"Ich brauche ein paar Regeln".

"kay. Ähm... behalte die kleine Terz oder die große Terz und die Quint, wo sie ist, und bewege einfach die anderen herum... Ich weiß, so: bewege die Septime nach oben, die Sexte nach unten, die Quarte nach oben, und die zweite nach unten!"

C, D, E, G, A, C
C, D, E, G, Ab, C
C, D, E, G, Bb, C
C, D, E, G, B, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Es, F#, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C
C, Eb, F#, G, A, C
C, Db, E, G, A, C
C , Db, E, G, Ab, C
C, Db, E, G, Bb, C
C, Db, E, G, B, C

„Hey, wenn wir sie alle überlagern, bekommen wir 12 Unterteilungen der Oktave! Brillant!“

C, Db, D, Es, E, F, F#, G, Ab, A, Bb, B, C

"Deshalb werde ich das GEHIRN genannt, mein Sohn. Oh, und gerne geschehen."

Für die westliche Musik waren die Griechen die ersten, die die Mathematik herausfanden, die natürlicherweise in den harmonischen Obertönen auftritt, die von Hörnern und anderen Blasinstrumenten erzeugt werden. Die Griechen wendeten die gleichen mathematischen Verhältnisse (Goldener Schnitt) auf Saiten an. Pythagoras erfand die pythagoräische Stimmung von (3:2) perfekten Quinten und Oktaven (2:1), um den natürlich vorkommenden harmonischen Obertönen zu entsprechen. Später erfanden die Griechen 7 modale Skalen basierend auf der pythagoreischen Stimmung. Sieben Modi mit acht Noten in einer Tonleiter. Diese Skalen waren ionisch, dorisch, phrygisch, lydisch, mixolydisch, äolisch und lokrisch. Wir verwenden immer noch Ionian (Major) und Aeolian (Moll). Der Fehler bei natürlichen Obertönen besteht darin, dass die Oktaven zwischen den einzelnen Modi leicht voneinander abweichen. Aristoxenus erfand im 4. Jahrhundert v. Chr. die 12 Töne zwischen Oktaven, um zu versuchen, das gleiche Verhältnis zwischen jeder Note zu verwenden. Später wurden Tonarten erfunden, um diese 12 Töne als Ausgangsbasis für jede Tonleiter zu verwenden. Das Problem war, dass diese Tasten von Natur aus leicht voneinander entfernt sind. Um dieses Problem zu lösen, förderte JS Bach im frühen 17. Jahrhundert die Verwendung der temperierten Tonleiter. Er egalisierte die natürlich vorkommende Lücke zwischen jedem der zwölf Halbtöne. Blechblasinstrumente in der Barockzeit hatten eine Tasche mit unterschiedlich großen Haken, um sie für jede Tonart anzupassen, in der sie spielten. Streichinstrumente mussten auch für jeden Tonartwechsel neu gestimmt werden. Durch die Verwendung der temperierten Tonleiter könnte ein Spieler zwischen allen verschiedenen Tonarten wechseln, ohne neu zu stimmen. Er egalisierte die natürlich vorkommende Lücke zwischen jedem der zwölf Halbtöne. Blechblasinstrumente in der Barockzeit hatten eine Tasche mit unterschiedlich großen Haken, um sie für jede Tonart anzupassen, in der sie spielten. Streichinstrumente mussten auch für jeden Tonartwechsel neu gestimmt werden. Durch die Verwendung der temperierten Tonleiter könnte ein Spieler zwischen allen verschiedenen Tonarten wechseln, ohne neu zu stimmen. Er egalisierte die natürlich vorkommende Lücke zwischen jedem der zwölf Halbtöne. Blechblasinstrumente in der Barockzeit hatten eine Tasche mit unterschiedlich großen Haken, um sie für jede Tonart anzupassen, in der sie spielten. Streichinstrumente mussten auch für jeden Tonartwechsel neu gestimmt werden. Durch die Verwendung der temperierten Tonleiter könnte ein Spieler zwischen allen verschiedenen Tonarten wechseln, ohne neu zu stimmen.

Ein einfaches Bild ist manchmal besser als eine große Erklärung, daher möchte ich auch dazu ermutigen, die Grafiken in diesem Link zu überprüfen. Sie können beispielsweise mit der Maus über die 10edo zu den 19edo fahren, um die Unterschiede zwischen verschiedenen Abteilungen zu sehen: http://www.tonalsoft .com/enc/e/edo-11-odd-limit-error.aspx (sehen Sie sich nur die stärksten Konsonanzen an: 3 - 1/3** , 5 - 1/5 und 3/5 - 5/3 , der Rest von Die Grafik ist im Vergleich wirklich nicht wichtig.)

Im Grunde zeigt sich deutlich, dass die 12-Ton-Teilung die einzige ist, die die Verhältnisse 3/2 und 4/3 (die wichtigsten *** nach der Oktave) nahezu rein macht. Und die Terzen/Sexten (Verhältnisse mit der Zahl „5“, die zweitwichtigsten ***) sind auch nicht so schlecht. Keine andere Division durch eine stattliche Anzahl von Noten, 10 bis 19, kann sich dieser auch nur annähernd annähern. Dies ist mathematisch bemerkenswert und der Grund, warum wir 12 Noten verwenden und nicht 13, 11 usw.

** ("1/3" bedeutet nur ein 4/3-Verhältnis mit Verschiebungen um 2 Oktaven, es ist nur die Art, wie sie die Zahlen ursprünglich darstellen.)

*** (Was ich meine ist, dass, wenn Ihr Gehirn Musik leicht erkennen und sich daran erinnern möchte, Sie eher eine große Menge Quinten, Quart und Terzen brauchen, um mehr oder weniger in Ihrer musikalischen Architektur gestimmt zu sein, sogar melodisch, sonst ist es so meist dissonante Klänge, die zu Lärm führen und für Ihr Gehirn schwer zu merken sind ...)

Tolle Antwort von @john Baldwin oben. Jut wollte hinzufügen, dass diese minimalen Unterteilungen auch am praktischsten zu verwenden sind. Nehmen wir zum Beispiel den Fall des Singens zwischen einer Note, sagen wir C, und seiner höheren Oktave C, erzeugen 7 Intervalle den deutlichsten Klang, plus 5 Kreuze und Bs = 12.

Und wenn wir dann anfangen, es weiter zu unterteilen, bekommt es langsam sehr feine Subharmonien, die das menschliche Gehör wahrnehmen kann. Und diese 12 Unterteilungen wiederholen sich dann auch in den höheren und tieferen Oktaven und so weiter.

Am einfachsten zu erkennen ist 4 Divisionen, was ein Teiler von 12 ist, was eine pentatonische Tonleiter mit der höheren Note bildet und deshalb leicht zu genießen ist.

Basierend auf Ihrer Formulierung der Frage würde ich sagen, dass dies beabsichtigt ist. Es ist kein Zufall, dass 12 Halbtonschritte in eine Oktave passen und nicht 11 oder 13. Obwohl sich die Details ändern können, wenn man von einer einfachen Stimmung ausgeht, werde ich es unter der Annahme einer gleichschwebenden Stimmung erklären. Zuerst sollten Sie wissen, dass es ein Kontinuum von Frequenzen und damit Tonhöhen zwischen zwei beliebigen Noten gibt. Wir haben uns durch Jahrhunderte des Experimentierens auf eine bestimmte Auswahl an Tonkombinationen für die westliche diatonische Tonleiter geeinigt. Die Noten in einer Skala spiegeln wider, was für das Ohr/die Ohren für eine bestimmte Kultur angenehm ist. Im Laufe der Zeit standardisierten die Westler den halben Schritt, indem sie die Oktave unter Verwendung der Beziehung in 12 Schritte aufteilten

f_octave = 2*f_tonic

Sie haben die Einschränkung auferlegt, dass das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Halbschritten gleich ist, egal wo Sie beginnen.

f_1/2 = r*f_tonic (das wäre eine kleine Sekunde)

Da wir die Anzahl der 1/2-Schritte von der Tonika zur Oktave auf 12 erzwingen, erhalten wir die Beziehung

r^12 = 2 oder r = 2^(1/12)

IMO ein paar Posts hier stellen den Karren vor das Pferd. Sie können mit der obigen Definition eines Halbtons nicht zeigen, dass die Oktave nur 12 Halbtöne hat. Vielmehr fragen Sie, wie das Verhältnis sein muss, um sicherzustellen, dass es 12 in einer Oktave gibt.

Zu diesem Zweck gibt es alle möglichen alternativen Chromatismen, die versuchen, N gleiche Schritte in einer Oktave zu platzieren. Diese ergeben die Stimmgleichung,

r = 2^(1/N)

Es gibt einen 24 TET, der 24 gleiche Viertelschritte in einer Oktave enthält. Und man könnte durchaus eine Waage damit bauen

r = 2^(1/13)

oder eine andere Wurzel von 2. Natürlich wären dies KEINE 1/2 Schritte im traditionellen Sinne des Begriffs. Nun ist die Frage, wie wir dorthin gekommen sind, eine längere Geschichte. Vor der 12TET-Stimmung hat die Just-Dur-Tonleiter mit 8 Noten (einschließlich Oktave) mehr als 5 Vorzeichen. Sie können dies googeln und Wiki-Artikel zu diesem Thema finden, aber ich glaube, es gab nur Skalen mit bis zu 17 unabhängigen Noten in der Oktave. Obwohl alle aufeinanderfolgenden Noten wahrscheinlich ein etwas anderes Verhältnis haben. Also nicht wirklich ein 1/2 Schritt. Was Sie einen 1/2-Schritt nennen, hängt davon ab, wie Sie den Begriff gelernt haben.