Mathematischer Unterschied zwischen weißen und schwarzen Noten in einem Klavier

Das erste, was Sie verstehen müssen, ist, dass Noten nicht eindeutig definiert sind. Alles hängt davon ab, welches Tuning Sie verwenden. Ich nehme an, wir reden hier über gleichschwebendes Temperament . Bei gleicher Stimmung entspricht ein Halbton einem Frequenzverhältnis von$\sqrt[12]{2}$; Auf diese Weise ergeben zwölf Halbschritte eine Oktave. Warum zwölf?

Letztendlich wollen wir von unseren musikalischen Frequenzen schöne Verhältnisse kleiner ganzer Zahlen. Beispielsweise soll eine reine Quinte einem Frequenzverhältnis von entsprechen$3 : 2$, oder$1.5 : 1$, aber in gleichschwebender Stimmung nicht; stattdessen entspricht es einem Verhältnis von$2^{ \frac{7}{12} } : 1 \approx 1.498 : 1$. Wie Sie sehen können, ist dies keine Quinte; es ist jedoch ziemlich nah.

Ebenso soll eine reine Quarte einem Frequenzverhältnis von entsprechen$4 : 3$, oder$1.333... : 1$, aber in gleicher Stimmung entspricht es einem Verhältnis von$2^{ \frac{5}{12} } : 1 \approx 1.335 : 1$. Auch dies ist kein perfekter Vierter, aber ziemlich nah dran.

Usw. Was hier vor sich geht, ist ein äußerst praktischer mathematischer Zufall: mehrere Potenzen von$\sqrt[12]{2}$zufällig gute Annäherungen an Verhältnisse kleiner ganzer Zahlen, und davon gibt es genug, um westliche Musik zu spielen.

So funktioniert dieser Zufall. Sie erhalten die weißen Tasten von$C$Verwendung (eines Teils) des Quintenzirkels. Beginnen mit$C$und gehen Sie eine fünfte hinauf, um zu bekommen$G$, Dann$D$, Dann$A$, Dann$E$, Dann$B$. Dann gehen Sie eine fünfte runter, um zu bekommen$F$. Das sind die "Nachbarn" von$C$im Quintenzirkel. Sie erhalten die schwarzen Tasten von hier aus mit dem Rest des Quintenzirkels. Nachdem Sie zwölf Mal eine „perfekte“ perfekte Quinte nach oben gegangen sind, erhalten Sie ein Frequenzverhältnis von$3^{12} : 2^{12} \approx 129.7 : 1$. Dies geschieht ziemlich nahe$2^7 : 1$, oder sieben Oktaven! Und wenn wir ersetzen$3 : 2$von$2^{ \frac{7}{12} } : 1$, dann erhalten wir genau sieben Oktaven. Mit anderen Worten, der Grund, warum Sie es sich leisten können, diese Intervalle zu identifizieren, ist, weil$3^{12}$passiert, ziemlich in der Nähe zu sein$2^{19}$. Anders gesagt,

zufällig eine gute rationale Annäherung, und dies ist die Hauptgrundlage der gleichschwebenden Stimmung. (Der andere große Zufall hier ist der$\log_2 \frac{5}{4} \approx \frac{4}{12}$; Dies ermöglicht es uns, auch große Terzen in eine gleichschwebende Stimmung zu bringen.)

Das ist eine grundlegende Tatsache der Mathematik$\log_2 3$ist irrational, daher ist es für jede Art von gleichschwebendem Temperament unmöglich, "perfekte" perfekte Quinten zu haben, unabhängig davon, wie viele Noten Sie verwenden. Sie können jedoch gute rationale Näherungen aufschreiben, indem Sie sich den fortgesetzten Bruch von ansehen$\log_2 3$und Konvergenten aufschreiben, und diese entsprechen gleichtemperierten Tonleitern mit mehr Tönen.

Natürlich können Sie auch andere Arten von Temperament verwenden, z. B. Well Temperament ; wenn du dich daran hältst$12$Noten (was nicht jeder tut!), werden Sie gezwungen sein, einige Intervalle besser und einige Intervalle schlechter klingen zu lassen. Insbesondere wenn Sie nicht die gleiche Temperatur verwenden, klingen verschiedene Tonarten unterschiedlich. Dies ist ein Hauptgrund dafür, dass viele westliche Komponisten in verschiedenen Tonarten komponierten; während ihrer Zeit machte dies tatsächlich einen Unterschied. Wenn Sie also bestimmte ausreichend alte Stücke spielen, spielen Sie sie nicht so, wie sie gehört werden sollten - Sie verwenden die falsche Stimmung.

Bearbeiten: Ich nehme an, es ist auch gut, etwas darüber zu sagen, warum wir uns für Frequenzverhältnisse interessieren, die Verhältnisse kleiner ganzer Zahlen sind. Das hat mit der Physik des Klangs zu tun, und ich kenne mich hier nicht besonders gut aus, aber das ist mein Verständnis der Situation.

Sie wissen wahrscheinlich, dass Schall eine Welle ist. Genauer gesagt ist Schall eine Longitudinalwelle, die von Luftmolekülen getragen wird. Vielleicht denken Sie, dass es eine einfache Gleichung für den Klang gibt, der durch eine einzelne Note erzeugt wird$\sin 2\pi f t$wenn der entsprechende Ton Frequenz hat$f$. Das kommt eigentlich nur bei elektronisch erzeugten Tönen vor; Jeder Ton, den Sie in der Natur erzeugen, trägt Obertöne mit sich und hat eine Fourier-Reihe

wo die Koeffizienten$a_n, b_n$bestimmen Sie die Klangfarbe ; Deshalb klingen verschiedene Instrumente unterschiedlich, selbst wenn sie die gleichen Töne spielen, und das hat mit der Physik der Vibration zu tun, die ich nicht so gut verstehe. Also jeder Ton, den Sie bei einer Frequenz hören$f$hat mit ziemlicher Sicherheit auch Komponenten bei der Frequenz$2f, 3f, 4f, ...$.

Wenn Sie zwei Noten von Frequenzen spielen$f, f'$zusammen, dann entspricht der resultierende Klang dem, was Sie erhalten, wenn Sie ihre Fourier-Reihen hinzufügen. Nun ist es nicht schwer zu sehen, ob$\frac{f}{f'}$ein Verhältnis kleiner ganzer Zahlen ist, dann stimmen viele (aber nicht alle) der Obertöne in der Frequenz überein; das Ergebnis klingt eine komplexere Note mit bestimmten Obertönen. Andernfalls erhalten Sie Dissonanzen, da Sie beide Arten von Obertönen gleichzeitig hören und ihre Frequenzen ähnlich, aber nicht ähnlich genug sind.

Bearbeiten: Sie sollten sich wahrscheinlich David Bensons "Music: A Mathematical Offering" ansehen, das Buch, das Rahul Narain in den Kommentaren für die vollständige Geschichte empfohlen hat. Es gab vieles, was ich nicht wusste, und ich bin nur in der Einleitung!

Die erste Antwort ist großartig, also werde ich versuchen, die Frage aus einem anderen Blickwinkel anzugehen.

Erstens gibt es mehrere verschiedene Skalen, und verschiedene Kulturen verwenden unterschiedliche. Es hängt von der Mathematik der Instrumente ebenso ab wie von kulturellen Faktoren. Unsere Waage hat eine sehr lange Geschichte, die bis zu den alten Griechen und insbesondere zu Pythagoras zurückverfolgt werden kann. Sie bemerkten (durch Hören), dass Saiteninstrumente unterschiedliche Töne erzeugen konnten, indem sie die Länge der Saite anpassten, und dass einige Kombinationen besser klangen.

Die Griechen interessierten sich sehr für Mathematik, und es erschien ihnen „richtig“, nach „perfekten“ Kombinationen zu suchen – perfekt bedeutet, dass sie in Form von Brüchen kleiner ganzer Zahlen ausgedrückt werden sollten. Sie bemerkten, dass, wenn Sie die Saitenlänge verdoppeln oder halbieren, Sie die gleiche Note erhalten (das Konzept einer Oktave); andere Fraktionen, wie z$2/3$,$3/4$, produzierte auch "harmonische" Kombinationen. Das ist auch der Grund, warum einige Kombinationen besser klingen, wie es physikalisch erklärt werden kann. Wenn Sie mehrere Sinuswellen kombinieren, hören Sie mehrere unterschiedliche Töne, die das Ergebnis der Interferenz zwischen den ursprünglichen Wellen sind. Einige Kombinationen klingen besser, während andere das erzeugen, was wir „Dissonanz“ nennen.

Theoretisch können Sie also mit einer beliebigen Frequenz (oder Note) beginnen und mit diesen Verhältnissen eine Skala von "harmonischen" Noten erstellen (ich verwende Anführungszeichen, weil der Begriff harmonisch eine sehr spezifische Bedeutung in der Musik hat, und ich bin breit und unpräzise sprechen). Die Dur- und Moll-Tonleitern der westlichen Musik lassen sich ungefähr aus diesem Schema ableiten. Beide Tonleitern (Dur und Moll) haben$7$Anmerkungen. Die weißen Tasten im Klavier entsprechen der Dur-Tonleiter, beginnend mit dem C-Ton.

Wenn Sie nun die C-Note erhalten und die "perfekten" Brüche verwenden, erhalten Sie die "wahre" C-Dur-Tonleiter. Und da beginnt der Spaß.

Wenn Sie eine Note in der C-Dur-Tonleiter nehmen, können Sie diese Note als Beginn einer anderen Tonleiter behandeln. Nehmen Sie zum Beispiel die Quinte von C (es ist das G) und bauen Sie eine neue Dur-Tonleiter, die jetzt mit G anstelle von C beginnt. Sie erhalten weitere sieben Noten. Einige von ihnen sind auch auf der C-Skala; andere sind sehr ähnlich, aber nicht genau gleich; und einige fallen in die Mitte der Noten in der C-Tonleiter.

Wenn Sie diese Übung mit allen Noten wiederholen, werden Sie am Ende bauen$12$verschiedene Skalen. Das Problem ist, dass das Intervall nicht regelmäßig ist und es einige Ungenauigkeiten gibt. Sie müssen das Instrument neu stimmen, wenn Sie die perfekte Tonleiter haben möchten.

Das Konzept der „chromatischen“ Tonleiter (mit$12$Noten in gleichen Abständen) wurde erfunden, um dieses "Problem" zu lösen. Die chromatische Skala ist eine mathematische Annäherung, die für die meisten Menschen (aber nicht alle) nah genug ist. Menschen mit "perfektem" Ohr können die Unvollkommenheiten hören. In der chromatischen Tonleiter werden die Noten unter Verwendung der zwölften Wurzel von zwei gleichmäßig verteilt. Es ist eine geometrische Folge, die mit guter Präzision alle möglichen Dur- und Moll-Tonleitern abgleicht. Die Erfindung der chromatischen Tonleiter ermöglicht es Spielern, Musik in beliebigen Tonleitern zu spielen, ohne das Instrument neu zu stimmen – Sie müssen die Tonleiter nur anpassen, indem Sie eine feste Anzahl von Positionen oder Halbtönen von der Basisposition der ursprünglichen Tonleiter „versetzen“.

Alles in allem ist das nur Konvention und ein bisschen Glück. Die weißen Tasten sind ein "historischer Zufall", da sie die Tasten der Dur-Tonleiter von C sind. Die anderen werden benötigt, um eine Transposition zu ermöglichen. Denken Sie auch daran, dass (1) die Tasten eine Mindestbreite haben müssen, um einen einzelnen Finger zu ermöglichen, und (2) wenn Sie die schwarzen Tasten nicht hätten, wäre die Oktave zu breit für "normale" Hände zum Spielen . Das Schema mit ein paar Zwischentonarten wird also sowieso benötigt, und die chromatische Tonleiter, die wir verwenden, ist mindestens so gut (oder besser) wie jede andere mögliche Tonleiter.

Die gegebenen Antworten sind aus musikalischen, mathematischen und soziologischen / historischen Gründen ziemlich gut. Aber sie übersehen den grundlegenden Grund, warum es sie gibt$12$Noten in einer westlichen Tonleiter (bzw$5$Noten in einer östlichen Pentatonik usw.) und warum es gerade diese sind$12$Notizen (bzw$5$).

Qiaochu hat es fast auf den Punkt gebracht, indem er darauf hinwies, dass wir Noten mögen, die einfache ganzzahlige Verhältnisse sind. Aber warum? Der grundlegende Grund ergibt sich aus der Physik üblicher früher Instrumente – Flöten (einschließlich der menschlichen Stimme) und gezupften Saiten – und aus der Physik des Trommelfells im Ohr.

Wie Qiaochu feststellte, besteht Schall nicht aus einer einzelnen Sinuswellenfrequenz, sondern aus einer Summe vieler Sinuswellen. Die „Note“, die wir hören, ist die Frequenz der primären (lautesten) Welle, die von diesen Instrumenten kommt. Aber auch in dieser Welle existieren Frequenzen, wenn auch weitgehend von der Primärwelle verdeckt. Diese werden informell als Harmonische oder Obertöne bezeichnet.

Die ersten Obertöne von Flöten und gezupften Saiten sind ähnlich und sehr einfach: Wenn die Primärfrequenz auf Frequenz normalisiert wird$1$, dann ist typischerweise die zweitlauteste Harmonische$1/2$(eine Oktave darüber), die Terz ist normalerweise$1/3$(eine Oktave und eine Quinte darüber), die vierte ist normalerweise$1/4$(zwei Oktaven), die Quinte ist normalerweise$1/5$(zwei Oktaven und eine große Terz), und die Sexte ist normalerweise$1/6$(zwei Oktaven und eine Quinte). Wenn die primäre Note C1 ist, werden diese ungefähr in C2, G3, C4, E4 und G4 übersetzt. Wenn die Obertöne auf diese Weise fortgesetzt werden – und das tun sie nicht immer –, erscheinen verschiedene andere Noten.

Dies ist wichtig, denn wenn Sie ZWEI Instrumente zusammen spielen möchten, möchten Sie, dass ihre Obertöne übereinstimmen, selbst wenn sie unterschiedliche Noten spielen. Sonst klingt das Übermaß an Obertönen schlecht fürs Ohr. Im schlimmsten Fall erzeugen sehr nahe, aber nicht vollständig überlappende Harmonische "Beats" - scheinbar abwechselnd laute und leise Zeitabschnitte - die beim Hören irritierend und hart im Ohr sind.

Damit Obertöne in mehreren Instrumenten oder sogar aufeinanderfolgenden Noten zusammenfallen, müssen Sie Noten auswählen, damit sie dort spielen, wo sich ihre Obertöne stark überlappen. Das ist zum Beispiel auch der Grund, warum die große Quarte nützlich ist, obwohl sie nicht oft früh erscheint. Denn wenn ein Instrument C spielt und das andere Instrument eine große Quarte, aber eine Oktave tiefer spielt , überlappen sie sich gut.

Ich glaube, diese Notenauswahl (die sozusagen Obertöne in Harmonie garantiert) hat die Entwicklung der Skalenauswahl beeinflusst - insbesondere die Pentatonik, dh die schwarzen Noten) und die Unterteilung der Oktave in$12$Stücke.

Ein frühes Instrument, das völlig aus dem Gleichgewicht geraten ist, ist die Glocke. Glocken und Gongs können auf eine Vielzahl von Obertönen gestimmt werden, aber die gebräuchlichsten – Gießereiglocken – haben einen sehr lauten, ungewöhnlichen dritten Oberton: kleine Terz oder Es. Es ist so laut und unpassend, dass es schrecklich, sogar störend klingt, wenn es zusammen mit Streichern, Flöten, Stimmen usw. gespielt wird. Tatsächlich müssen ganze Musikstücke speziell für Carillons (große Mehrglockeninstrumente) geschrieben werden, um eine ordnungsgemäße Überlappung zu gewährleisten von Harmonien. Im Allgemeinen bedeutet dies, dass das gesamte Stück in vollständig verminderten Akkorden geschrieben werden muss. Dur-Akkorde klingen aufgrund des Zusammenstoßes zwischen der großen Terz im Akkord und der kleinen Terz, die von der lauten dritten Harmonischen des Grundtons kommt, mit am schlechtesten.

Die Mathematik der Frequenzbeziehungen hier ist Klang (Wortspiel beabsichtigt), aber sie helfen nicht, das Klavierlayout mit weißen und schwarzen Tasten zu erklären.

Hier ist der historische Imperitiv, der zu diesem Layout für "Western Music" geführt hat.

Betrachten Sie zunächst den Dur-Dreiklang: Grundton + dritte + fünfte Note der "diatonischen Tonleiter". Sie folgen der harmonischen Reihe: 1 – Grundton 2 – Oktave (Verdopplung der Grundtonfrequenz) 3 – Quinte (Dreifach des Grundtons – 3:2-Verhältnis zur Oktave) 4 – Doppeloktave (4x) 5 – Zehntel (Doppeloktave von a dritte) 6 - Oktave Quinte

Dies sind Noten, die ein statisches Rohrstück erzeugen kann, wenn man hineinbläst: das Signalhorn.

Kombinationen dieser Noten erzeugen Frequenzen, die Chöre himmlisch klingen lassen. Die Frequenzen richten sich aus und verschmelzen zu reinen komplexen Schwingungen, die die Summe und die Unterschiede (harmonische Obertöne) dieser Beziehungen sind.

Chöre können sich selbst dynamisch stimmen, um diese Frequenzausrichtungen zu erzeugen, die als perfekt konsonant empfunden werden. Die fröhliche westliche Musik konzentriert sich auf die 3 Dur-Akkorde der diatonischen Tonleiter: 1+3+5 Grundton-Dur-Akkord – weiße Tasten C – E – G 4+6+1 4. Akkord – weiße Tasten F – A – C 5+7+ 2 5. Akkord - ganze Tonarten G - B - D

Die Grundlagen der westlichen Volksmusik sind die 1 - 4 - 5 Akkordfolgen. Lerne C, F und G auf einer Gitarre und du kannst den Großteil des klassischen Country-Songbuchs spielen.

Setzen Sie die Noten dieser Akkorde in eine Tonleiter und Sie erhalten diese Reihe von 7 weißen Tasten: C - D - E - F - G - A - B (wiederholen Sie, bis Sie es nicht mehr hören können).

Die westliche Tonleiter basiert also auf Frequenzbeziehungen, die Kombinationen von Noten in ihrer reinsten Form in Konsonanz "klingen" lassen ... wie die gregorianischen Gesänge der römischen Kirche.

Eine einfache "westliche Tastatur" könnte also nur aus diesen 7 Noten bestehen, die über das gesamte Frequenzspektrum wiederholt werden. Schauen Sie sich das Layout einer griechischen Leier (eine Harfe) an und das werden Sie finden. Eine der diatonischen Tonleiter folgende Abfolge, die durch die geradzahlige (in Oktaven angepasste) Stimmung angenehm klingt, wenn man nur über die Saiten klimpert.

OK ... das Hinzufügen der schwarzen Tasten ist ein Kompromiss beim Stimmen bestimmter Noten, sodass Sie diese 1 + 3 + 5-Akkorde von jedem Startpunkt aus aufbauen und somit ein Lied spielen können, das an jedem Startpunkt nach oben oder unten angepasst ist. Das Klavier wird niemals diesen klanglichen mathematischen Einblick in die „Musik der Sphären“ erreichen, den der sich selbst anpassende Chor kann, um einen Akkord mathematisch perfekt auszurichten, aber es ist die „Tastatur“ für den modernen Komponisten … das effektive „musikalische QWERTY“. " dass ein Komponist oder Pianist anfängt, Akkord-"Formen" als Handpositionen zu visualisieren.

Mit viel Übung kann ein Pianist Klang in Form von Finger- und Handbewegungen vorab visualisieren, ähnlich wie ein solider Tippschreiber beginnt, Wörter und Sätze als Bewegungssequenz zu setzen.

Das Hinzufügen der schwarzen Tasten wurde als "Wohltemperierte" Stimmung bezeichnet, und Bach war einer der ersten Komponisten, der ganze Kompositionen schuf, die durch die Dur- und Moll-Tonarten der 12 Tonleitern funktionierten, die Ihnen beim Betrachten der Tastatur am Anfang auffielen.

Wenn Sie in andere Musikkulturen schauen, werden Sie andere Ansätze finden, Klangbeziehungen zu standardisieren, die sich nicht auf die Akkorde 1 - 4 - 5 konzentrieren. Diese Musik ist für ein kulturell geschultes westliches Ohr von Natur aus weniger vorhersehbar, und dieser Mangel an Vorhersagbarkeit kann die Musik frustrierend oder aufregend machen ... Musik "spricht" zu uns in Form von reinen Sinneseindrücken, die uns bewegen, aufregen, langweilen oder verwirren können .

Daher ist die Klaviertastatur als perfektes Übertragungssystem für eine Person konzipiert, um die Bandbreite an Komplexität zu erzeugen, die westliche Musik erreicht hat.

Die modernen Keyboard-Synthesizer sind jetzt in der Lage, die gesamte Bandbreite des westlichen Orchesters in Bezug auf "Instrumente" zu erzeugen, und ich hoffe, dass jemand einen erstellt, der die Noten basierend auf dem umgebenden Kontext mikroanpasst ... eine Note leicht nach oben oder unten verschiebt vom „wohltemperierten“ Kompromiss bis hin zu der Tonhöhe, die einen Akkord „klingen“ lässt und die oberen harmonischen Obertöne erzeugt, die ein großes Orchester wirklich „himmlisch“ machen.

Vielleicht wurde es schon gemacht.

Die Mathematik in diesem Thread ist großartig, aber ich bin mir nicht sicher, ob sie die ursprüngliche Frage zum "Unterschied zwischen weißen und schwarzen Noten" beantwortet.

Die anderen Antworten in diesem Thread bieten genug Mathematik, um zu verstehen, dass jede Oktave mehr oder weniger natürlich in zwölf Halbtöne unterteilt werden kann. Die westliche Musiktradition entwickelte sich weiter und basierte auf der sogenannten "diatonischen Tonleiter".

Eine Tonleiter ist eine Folge von Tonhöhen innerhalb einer Oktave; Skalen können durch die Anzahl der Halbtöne zwischen jeder aufeinanderfolgenden Note definiert werden.

Zum Beispiel besteht die Ganztonskala ausschließlich aus Ganztönen; Es hat sechs verschiedene Tonhöhen, von denen jede zwei Halbtöne höher ist als die letzte. Sie könnten es also mit der Zeichenfolge „222222“ darstellen – das heißt, nehmen Sie eine Note, dann die Note 2 Halbtöne höher, dann die Note 2 Halbtöne höher usw., bis die letzte „2“ Sie zu der Note eine Oktave darüber bringt wo du angefangen hast.

Die diatonische Tonleiter, auf der die westliche Musik basiert, könnte ebenfalls durch die Zeichenfolge „2212221“ dargestellt werden.

Wenn Sie mit einem C auf einer Tastatur beginnen und nach oben gehen, werden Sie sehen, dass die weißen Tasten diesem Halbtonmuster entsprechen. Das ist im Allgemeinen der Grund, warum die schwarzen Tasten in diesem bestimmten Muster sind.

Natürlich können Sie eine Tonleiter auf jeder Tonhöhe beginnen, nicht nur auf C. Deshalb beinhaltet die "gleiche" diatonische Tonleiter in einer anderen Tonart einen einzigartigen Satz von Kreuzen und Bs.

Nun kann die diatonische Tonleiter auch durch '2212221' beliebig oft nach links oder rechts verschoben dargestellt werden. Zum Beispiel sind „2122212“, „1222122“ usw. auch diatonisch; diese werden die "Modi" der diatonischen Tonleiter genannt. Jeder diatonische Modus kann nur auf den weißen Tasten des Klaviers gespielt werden, indem auf einer anderen Tonhöhe begonnen wird.

2212221 wird als ionischer Modus bezeichnet (dies wird allgemein auch als Dur-Tonleiter bezeichnet) und kann auf den weißen Tasten gespielt werden, beginnend mit C.

2122212 ist der dorianische Modus und kann auf den weißen Tasten gespielt werden, beginnend mit D.

1222122 ist der phrygische Modus, beginnend mit E.

2221221 ist der lydische Modus, beginnend mit F.

2212212 ist der mixolydische Modus, beginnend mit G.

2122122 ist der Äolische Modus (die Moll-Tonleiter), beginnend mit A.

1221222 ist der (fantastische) Locrian-Modus, beginnend mit B.

Jeder Modus hat seinen eigenen einzigartigen "Klang", der (zumindest meiner Meinung nach) genau aus der unterschiedlichen Platzierung der Halbtöne innerhalb jeder Tonleiter stammt.

Und natürlich gibt es unzählige nicht-diatonische Tonleitern, die überhaupt nichts damit zu tun haben, wie die moderne Tastatur entstanden ist.

BEARBEITEN, um eine kürzere, weniger implizite Antwort hinzuzufügen: Die weißen Tasten allein können verwendet werden, um die oben aufgeführten diatonischen Skalen zu spielen; Die schwarzen Tasten sind "anders", weil sie die verbleibenden chromatischen Tonhöhen sind, die in diesem Satz diatonischer Skalen nicht verwendet werden.

Gibt es mathematisch gesehen einen Unterschied zwischen weißen und schwarzen Noten, oder machen wir die Unterscheidung nur aus historischen Gründen?

Es gibt keinen mathematischen Unterschied zwischen den weißen und schwarzen Noten. Benachbarte Noten auf modernen Klaviertastaturen sind normalerweise im Abstand von 1/12 einer Oktave gestimmt. Quiaochu erklärt dies am vollständigsten, aber es läuft darauf hinaus, dass es keinen Unterschied gibt.

Wir haben nicht immer und tun es heute nicht immer gleichschwebend auf Tasteninstrumenten, aber selbst dann wäre der Unterschied zwischen weißen und schwarzen Noten willkürlich.

Die Unterscheidung hat historische und kulturelle Gründe. Hier ist ein cooles Bild, das die Orgel von Nicholas Farber (1361) zeigt, die ein 8 + 4-Layout anstelle des modernen 7 + 5-Layouts verwendete, das wir heute sehen. http://en.wikipedia.org/wiki/Musical_keyboard#Size_and_historical_variation

Es gibt Beispiele für heute verwendete Instrumente, die eine chromatische Tastatur ohne Unterscheidung zwischen den "weißen" und den "schwarzen" Noten verwenden. Sehen Sie sich die Instrumente vom Typ Bayan und Bandoneon an.

Am New England Conservatory in dem Klassenzimmer, in dem sie eine Klasse über Vierteltöne unterrichten, halten sie zwei Klaviere einen Viertelton voneinander entfernt gestimmt. In diesem Fall muss eine volle 24-stimmige chromatische Vierteltonoktave abwechselnd auf den beiden Klavieren gespielt werden.

Dies ist nur der Anfang dieses speziellen Kaninchenbaus.

Beachten Sie auch, dass viele Kulturen eine pentatonische Tonleiter verwenden . Dies würde dem Spielen nur der Noten CDEGA entsprechen. Wie in Qiaochus Antwort erklärt, möchten wir Noten, die sich in kleinen rationalen Intervallen befinden, und insbesondere Noten, die sich in kleinen rationalen Intervallen vom Tonikum befinden. Welcher Notensatz genau gewählt wird, ist von Kultur zu Kultur unterschiedlich, wobei westliche Musik die 7 weißen Tasten verwendet, viele andere Kulturen jedoch nur die 5 Pentatoniken verwenden.

Beginnen Sie bei F und gehen Sie eine Quint nach oben (bis C).

(Bei einer Tastatur mit 12-Tasten-Oktaven sind das 7 Schritte.) Wiederholen Sie diesen Vorgang (durch den Quintenzirkel). Sie werden alle weißen Tasten und dann alle schwarzen Tasten anschlagen – F, C, G, D, A, E, B, F#, C#, G#, D#, A# – beachten Sie, dass diese Tasten normalerweise mit Bs dargestellt werden ). Es stellt sich also heraus, wenn Sie Töne auf 3 : 2 (fünft) oder 4 : 3 (viert) aufteilen, ist das kleinste gemeinsame Vielfache zwölf. In der Praxis ist das 3:2 so ähnlich, dass es eine Art „sicheres“ oder zufriedenes Gefühl vermittelt. Das 4 : 3 gibt ein etwas kantigeres Gefühl, aber eines, das diesem sicheren Gefühl etwas perfekt entgegenwirkt. Eine Quarte + eine Quinte ergeben also eine Oktave. Wir wollen also alle zwölf Tonarten, weil wir sagen, dass wir wollen, dass die fünfte (Dominante) und die vierte (Subdominante) zusammenkommen und ein Ganzes bilden.

Um diesen Thread zu ergänzen, können Sie verstehen, warum bestimmte Noten zusammen gut / schlecht klingen, indem Sie sich trigonometrische Summen- / Produktformeln ansehen, z.

cos(a) + cos(b) = 2 * cos(a - b) * cos(a + b)

Das bedeutet, wenn Sie zwei Töne/Frequenzen „a“ und „b“ hinzufügen, entspricht dies dem Nehmen einer Welle der Frequenz „a + b“ und der Modulation ihrer Amplitude mit einer anderen der Frequenz „a – b“. Die Frequenz 'a + b' ist eine schnellere Schwingung und die Frequenz 'a - b' ist eine langsamere Schwingung.

Wenn die beiden Originalfrequenzen nah beieinander liegen (z. B. A = 440 Hz und A# = 466 Hz), ist die „a – b“-Komponente als unangenehme Niederfrequenzschwebung zu hören (hier 26 Hz).

Wenn die beiden ursprünglichen Frequenzen ganzzahlige Verhältnisse voneinander sind (z. B. 3/2, 4/3) wie bei Akkorden, dann sind die resultierenden 'a + b'- und 'a - b'-Frequenzen ebenfalls ganzzahlige Verhältnisse voneinander. Die resultierende Welle ist einfach und klingt harmonisch. Aus diesem Grund sind ganzzahlige Notenverhältnisse in der Musik so wichtig.

Es hilft, Sinussummen grafisch darzustellen, um dies in Aktion zu sehen.

Ich bin kein Musiker, aber meines Wissens sind Audiowellen nur dann "rund/klingend" zu spüren, wenn sie sich schneller als eine bestimmte Frequenz wiederholen. Diese Frequenz ist wahrscheinlich die unserer Gehirnwellen: Wach und in einem nicht meditierenden Zustand zu sein, das ist schneller als 18 oder mehr Hz; Sie können weder schneller zittern noch niedrigere Frequenzen als Ihre Gehirnwellen hören.

Audiowellen haben eine Länge von

(Qiaochu Yuan antwortete schneller als ich, während ich am Telefon war. Scheint vollständiger zu sein, als ich hätte antworten können. Ich habe nichts hinzuzufügen.)

Viele, viele Antworten darauf bereits, aber im Rahmen der pythagoreischen Stimmung gibt es tatsächlich eine klare mathematische Unterscheidung zwischen schwarzen Tasten und weißen Tasten, die meiner Meinung nach noch nicht explizit angegeben wurde.

Die Einteilung der chromatischen Tonleiter in$7$natürliche Noten (weiße Tasten in einem Klavier) und$5$versehentliche (schwarz) erscheinen mir etwas willkürlich.

Anscheinend sind benachbarte Noten in einem Klavier (einschließlich Weiß oder Schwarz) immer durch einen Halbton getrennt. Warum dann die Unterscheidung?

Bei gleicher Stimmung ist das Verhältnis der Frequenzen zweier um einen Halbton getrennter Tonhöhen$\sqrt[12]{2}$, egal was die Stellplätze sind. Aber in anderen Stimmungen kann das Verhältnis nicht gleich gehalten werden. In der pythagoräischen Stimmung, die versucht, Quinten so perfekt wie möglich zu machen, gibt es zwei verschiedene Arten von Halbtönen, einen breiteren Halbton, wenn die höhere Tonhöhe eine schwarze Taste ist, und einen schmaleren Halbton, wenn die höhere Tonhöhe eine weiße Taste ist. Daher gibt es zumindest in der pythagoräischen Stimmung eine klare mathematische Unterscheidung zwischen weißen und schwarzen Tasten.

Welche Noten weiße und welche schwarze Tasten sind, hängt natürlich davon ab, welche Note verwendet wird, um mit dem Aufbau der Tonleiter zu beginnen. Ab$F$erzeugt die traditionellen Namen für die Tasten.

Um zu sehen, wie das funktioniert, beginnen Sie mit$F$und aufsteigende Quinten erzeugen,

Sie finden, dass der Halbton bei endet$F$, also das Intervall dazwischen$E$Und$F$, ist ein diatonischer Halbton, während der Halbton auf endet$F\sharp$, das heißt, der Halbton dazwischen$F$Und$F\sharp$, ist ein chromatischer Halbton. Die anderen diatonischen Halbtöne enden bei$G$,$A$,$B$,$C$,$D$, Und$E$, während die anderen chromatischen Halbtöne bei enden$G\sharp$,$A\sharp$,$C\sharp$, Und$D\sharp$.

Einige Dinge zu beachten:

1. Wenn Sie mit einer anderen Note als beginnen$F$, werden die diatonischen und chromatischen Halbtöne unterschiedlich angeordnet, aber Sie werden immer sieben diatonische und fünf chromatische Halbtöne erhalten, wobei die chromatischen Halbtöne in einer Dreier- und einer Zweiergruppe erscheinen, wie in der traditionellen Tastaturbelegung.
2. Es wurden sehr viele Stimmsysteme entwickelt, die mit den Definitionen der Halbtöne spielen oder neue einführen. Nur bei gleichschwebender Stimmung wird die Unterscheidung zwischen den beiden Halbtönen vollständig aufgehoben.

Noch ein Detail: Ab der Oktave kann man größere Intervalle schrittweise in kleinere unterteilen, indem man Noten aus der Quintfolge hinzufügt. In der Anfangsphase haben Sie die Oktave.

• $12$Quinten werden hinzugefügt, wobei ein pythagoräisches Komma von jedem diatonischen Halbton weggeschnitten wird, wodurch ein a entsteht$29$-Notenskala mit$17$Pythagoräische Kommas ($23.5$Cent) und$12$Intervalle von$66.8$Cent;
• $12$Weitere Quinten werden hinzugefügt, wobei jeweils ein pythagoreisches Komma entfernt wird$66.8$Cent-Intervall, wodurch a$41$-Notenskala mit$29$Pythagoräische Kommas ($23.5$Cent) und$12$Intervalle von$43.3$Cent;
• $12$weitere Quinten werden hinzugefügt, wobei jeweils ein pythagoräisches Komma entfernt wird$43.3$Cent-Intervall, wodurch a$53$-Notenskala mit$41$Pythagoräische Kommas ($23.5$Cent) und$12$Intervalle von$19.8$Cent.

Beachten Sie, dass bei einigen Schritten in diesem Prozess die beiden erhaltenen Intervalle mehr annähernd gleich sind als bei anderen, und dass Tonleitern, deren Intervalle nahezu gleich sind, sehr gut durch eine gleichschwebende Tonleiter angenähert werden. Die Längen der Skalen, in denen dies geschieht, stimmen mit den Nennern der Konvergenten der Kettenbrucherweiterung von überein$\log_2 3$, das heißt bei$2$,$5$,$12$,$41$,$53$,$306$,$665$usw. Eine spektakuläre Verbesserung ist in der zu sehen$665$-Tonleiter, wo die beiden Intervalle sind$1.85$Cent und$1.77$Cent. Im Gegensatz dazu sind die Intervalle in der$306$-Tonleiter liegen relativ weit auseinander:$5.38$Cent und$3.62$Cent. Aus dieser Perspektive ist die$12$-Notenskala ist bemerkenswert gut.

Ich sollte betonen, dass dies nur der Anfang einer Diskussion über Stimmsysteme ist. Es ist wünschenswert, andere kleine ganzzahlige Verhältnisse als zu berücksichtigen$\frac{3}{2}$wie zum Beispiel$\frac{5}{4}$(die große Terz) und$\frac{6}{5}$(die kleine Terz), was verschiedene Anpassungen erfordert. Es ist auch wünschenswert, Musik in verschiedenen Tonarten spielen zu können, was andere Kompromisse erzwingt. Viele dieser Probleme werden in den anderen Antworten diskutiert.

Nur damit Sie sehen, dass andere Stimmungen möglich sind und damit auch andere Tastaturen:

http://www.kylegann.com/tuning.html

Andere Antworten erklären die chromatische 12-Noten-Tonleiter gut. Wenn man aus diesen 12 Tönen beginnt, eine Reihe von Tönen aufzubauen, die mit einer einzelnen Note beginnt und den Quintenzirkel hinaufgeht, gibt es zwei natürliche Haltepunkte, an denen Sie eine vollständig klingende Tonleiter haben, die die Oktaven umfasst und relativ gleiche Abstände hat zwischen den Noten ohne Lücken: fünf Noten, was Ganzton- und Moll-Terz-Intervalle ergibt; und sieben Noten, die Ganzton- und Halbtonintervalle ergeben. Diese beiden Skalen (Pentatonik und Heptatonik) entsprechen dem Abstand der schwarzen Tasten und weißen Tasten auf der Tastatur. Sie sind Spiegelbilder voneinander um den Quintenzirkel herum. Die zwei Farben der Noten sind also nicht "verschieden", sondern eher eine natürliche Unterteilung in zwei symmetrische Skalen, die aus entgegengesetzten Richtungen um den Quintenzirkel herum aufgebaut sind.

Im Standard-Stimmungssystem ist C "privilegiert", weil es (im Wesentlichen) die Note ist, bei der wir mit dem Aufbau des Quintenzirkels beginnen, um diese beiden Tonleitern zu erstellen.

Der „Quintenzirkel“ ist ein Nebenprodukt der Vorliebe für diatonische Tonleitern. Wenn Sie die chromatische (12-Ton-) Tonleiter ohne die weiße und erhabene schwarze Anordnung anlegen, würden Sie die gleiche Logik verwenden, um einen "Kreis von Septimen" zu beschreiben (Zählen von Halbtönen von C bis G).

Die Anordnung ergibt also einen soliden Sinn, wenn sie auf die menschliche Hand angewendet wird. Wir müssen in der Lage sein, interessante Distanzen mit dem „Oktav“-Intervall zu überbrücken, das für die meisten Pianisten sehr nützlich ist, da es eine Grundvoraussetzung für alle ist, die älter als 10-12 sind. Einige Pianisten können relativ leicht Zehntel überspannen, aber sie sind in der Minderheit. Die Klaviermusik von Rachmaninoff ist durchsetzt von diesen massiven, aber musikalisch sonoren Intervallen. Das ist die große Terz, erweitert auf das reine natürliche Intervall (10 Tasten auseinander) der "Signalhorn"-Obertonreihe.

Ich kann die 10tel auf den Weiß-zu-Weiß-Instanzen erreichen, aber die Schwarz-zu-Weiß (z. B. Bb bis D) sind mir zu hoch. Und sie schnell und genau zu spielen, ist das Zeichen wahrer Beherrschung des Instruments ... es ist, als könnte man dunken: Die Genetik hilft, und kein Aufwand kann einem kleinhändigen Pianisten helfen.

Ich denke, in einer winzig kleinen Nussschale ... der Grund für die 12-Teilung liegt darin, dass eine sehr praktische Lösung für westliche Musik und das Layout von Schwarz / Weiß zu dieser Form "entwickelt" wurden, weil es keine Überarbeitung gab.

Daran ist nichts besonders "mathematisches". Mit anderen Worten … Quadrat zwei: Es ist eine willkürliche Wahl.

Wenn Sie nach etwas suchen, das eine 12-geteilte Oktave als praktische Lösung verwendet und auf Einfachheit ausgelegt ist, sehen Sie sich das Layout des russischen Bajan (Akkordeon) an. Es ist ziemlich toll.

Für etwas, das auf Einfachheit ausgelegt ist, aber die Oktave nicht in 12 Teile unterteilt, sind Ihre üblichen bundlosen Saiteninstrumente gute Beispiele.

Auch hier wurde alles, was ich gesagt habe, oben erwähnt. Hüten Sie sich nur vor den offenkundig „mathematischen“, sie sagen nicht viel über die Musik aus, sondern stecken sie eher in eine schicke Zwangsjacke.

Schauen Sie sich dieses Papier an , das sich mit dem regulären 12-Eck und der Musiktheorie befasst. Es wird Ihnen helfen, diese Frage zu beantworten, sowie viele andere, die dieser ähnlich sind.

Wenn Sie nur eine sich wiederholende Reihe von Tasten auf Ihrem Klavier hätten, wäre es etwas schwierig, visuell einige Referenzpunkte zu erhalten. Ich denke, das ist der Hauptgrund, warum wh

Ich stimme der Theorie zu, dass die Unterscheidung zwischen den Noten als visuelle Hilfe und Referenzpunkte verwendet wird. Darüber hinaus sollte es als vertikal aufsteigendes Instrument behandelt werden, als ob Sie eine Art Leiter hinaufsteigen würden, und diese Vorzeichen (im Fall von C die schwarzen Noten) sind die Griffe, um auf die nächste Ebene zu gelangen . Da wir sie als führende Noten bezeichnen würden. Es gibt noch einen weiteren Grund, warum es so viele Noten gibt. Fast alle Skalen sind eine Variation der Dur-Tonleiter oder des Äolischen Modus. Diese Tonleiter ist so konzipiert, dass sie eine bestimmte Anzahl von Tönen und Halbtönen hat, um ihr das Gefühl einer Dur-Tonleiter zu geben. Wenn es zu viele Töne oder zu viele Halbtöne gäbe, wäre es nicht dasselbe, weil es zu viel Dissonanz oder ausnahmslos Konsonanz erzeugen würde. Deshalb gibt es eine Standardstimmung für Klaviere, dh A440. Wenn das Vibrationsintervall geändert werden würde, wäre es nicht dasselbe, denn wenn die Vibrationen nicht synchron sind, wird die Resonanz vollständig ausgeschaltet sein. Deshalb kann es auf einem Klavier nur so viele Töne geben, die für das menschliche Ohr sinnvoll sind. Andere Stimmungen sind möglich, aber der gleiche Effekt wird erzielt, indem die Intervalle streng eingehalten werden, um die Harmonie zu bewahren. Um auf Ihre Frage zurückzukommen. Mathematisch gesehen gibt es einen Grund für diese bestimmte Reihenfolge von weißen und schwarzen Tasten. Die meisten seiner Beziehungen befassen sich mit der Modustheorie von 12 Noten und dem Zirkel von Quinten, wo, wenn Sie die Noten auf dem Klavier erweitern würden, sie einen perfekten Kreis in verminderten Akkorden von C als Kardinalpunkten bilden würden.

Eines Tages werde ich das ernsthaft studieren! In all diesen Antworten steckt Wahrheit, die weißen Noten geben uns unsere do-re-mi (Dur-Tonleiter) beginnend bei C, diese Tonleiter hat eine Mischung aus Tönen und Halbtönen und diktiert, wohin die schwarzen Noten gehen sollen und wie viele wir brauchen . Die Neustimmung auf gleichschwebende Stimmung ist ein Fudge, und wenn Sie eine gestimmte Tastatur analysieren würden, sind nicht alle Halbtöne gleich weit auseinander. Andere Intervalle werden ebenfalls beeinträchtigt, sodass eine große Terz in einer Tonart möglicherweise weiter voneinander entfernte Noten hat als eine in einer anderen Tonart. Komponisten sind sich dessen seit langem bewusst und wissen, dass die Tonart, die sie für eine Komposition auswählen, einen signifikanten Unterschied in der „Stimmung“ machen kann (das heißt, nachdem Sie Dur oder Moll ausgewählt haben).

Klassische indische Musik verwendet ein System von Tonleitern (Ragas). Es gibt mehrere Hundert davon, und sie werden an bestimmte Stimmungen, Tageszeiten, Anlässe usw. angepasst. Dies sind keine zufälligen Variationen irgendeiner westlichen Skala und haben nichts mit den Tastaturen zu tun, die wir üblicherweise verwenden.

Unser Tastatursystem ist nur für Tastaturen gedacht - ein Saiteninstrument spielt für eine bestimmte Note möglicherweise nicht genau dieselbe Tonhöhe wie ein Klavier (es sei denn, es handelt sich um eine offene Saite), da sie dazu neigen, etwas zu verwenden, das näher an der ursprünglichen pythagoräischen Tonleiter liegt.

PS Ich bin ein berufstätiger Musiker mit einem Bachelor-Abschluss in Mathematik!

Wenn Sie wirklich alles darüber wissen wollen, sollten Sie „ Von der Tonempfindung “ von Helmholtz lesen.

Eine etwas grafische Darstellung dessen, worüber Carlos Ribeiro sprach.

„Wenn Sie eine Note in der C-Dur-Tonleiter nehmen, können Sie diese Note als Beginn einer anderen Tonleiter behandeln. Nehmen Sie zum Beispiel die Quinte von C (es ist G) und bauen Sie eine neue Dur-Tonleiter, beginnend mit G anstelle von C. Sie erhalten weitere sieben Noten. Einige von ihnen sind ebenfalls auf der C-Tonleiter, andere sind sehr ähnlich, aber nicht genau gleich, und einige fallen in die Mitte der Noten in der C-Tonleiter.

Beachten Sie die Halbtonintervalle EF und BC auf der C-Skala. Wenn wir versuchen, dieselbe Tonleiter ab D zu reproduzieren, stoßen wir auf ein Problem. Alphabetisch sollte die dritte Note ein F sein, aber F ist einen Halbton zu tief für diese Stelle. Um dieselbe Tonleiter beizubehalten, müssen wir eine NEUE Note namens F# einführen.

• C - D - EF - G - A - BC (C-Skala)
• D - E - F#G - A - H - C#D (D-Tonleiter)
• E - F#-G#A - B - C#-D#E (E-Tonleiter)
• F - G - AA# - C - D - EF (F-Skala)
• usw.
  Beachten Sie, dass beim tatsächlichen Schreiben von Musik das A–A# als A–Bb geschrieben wird, damit die „A“-Linie des Notensystems nicht mehrdeutig ist.