Warum ist der Logarithmus der Anzahl aller möglichen Zustände eines Systems differenzierbar?

Die Temperatur eines Systems ist definiert als

( ∂ ln ⁡ ( Ω ) ∂ E ) N , X ich = 1 k T
Wo Ω ist die Anzahl aller zugänglichen Zustände (Wege) für das System. Ω kann nur diskrete Werte annehmen. Was bedeutet das aus mathematischer Sicht? Viele Leute sagen, wir haben 10 23 Teilchen also Ω ist eine nahezu kontinuierliche Funktion der Energie. Warum ist 10 23 eine nette Nummer, aber 1000 ist nicht? Wann kann man sicher sein, dass sie unterscheiden können ln ⁡ ( Ω ) ?

Wenn Sie mir zustimmen, kennen Sie eine alternative genaue Definition für Temperatur?

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Die Definition der Temperatur, die sich aus der Boltzmann-Gleichung ergibt, hängt nicht von dieser Art von Problemen ab, sondern wird auch in anderen Zusammenhängen gedacht.
Sie zählen Staaten grundsätzlich mit Fakultäten, und für solch große Zahlen funktioniert die Näherung von Stirling sehr gut. Diese Annäherung ist kontinuierlich.

Antworten (2)

Aus mathematischer Sicht bedeutet dies, dass es nicht differenzierbar ist. Das Problem ist, dass Sie die Diskretion benötigen, um Zustände zählen zu können. Wenn Sie die Diskretion durch etwas Glattes ersetzen, erhalten Sie etwas Differenzierbares, aber Ihre Definition von Entropie macht keinen Sinn mehr. Dies ist nur einer der Punkte, an denen Mathematiker zurückschrecken, aber in der Praxis funktioniert es für die Menge an Teilchen, die in der statistischen Physik behandelt werden, einwandfrei.

Wenn Sie sich Systeme ansehen, an denen wenige Teilchen beteiligt sind, würde diese Definition natürlich nicht funktionieren. Dies liegt daran, dass die Temperatur eine makroskopische Größe ist (wie beispielsweise der Druck). Sie wissen einfach nicht, wie hoch die Temperatur oder der Druck eines einzelnen Teilchens sind.

Mathematisch gesehen muss man nicht differenzieren. Sie können den Partialoperator durch den Differenzoperator ersetzen und die diskrete Ableitung nehmen (vorausgesetzt, Sie kennen die genauen Energiezustände). Sie erhalten die richtige Antwort bis zu dem Punkt, an dem die Begriffe Entropie und Temperatur ihre Bedeutung verlieren, nämlich um einige Zustände herum. In diesem Sinne ist sogar 1000 eine schöne Zahl, aber 5 ist es nicht! Die Thermodynamik ist eine statistische Theorie. Mit 1000 "Stichproben" kann man Statistiken machen, mit 5 nicht.

Warum ist der Logarithmus der Anzahl aller möglichen Zustände eines Systems differenzierbar?
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