Warum ist die potentielle Energie gleich dem negativen Integral einer Kraft?

Wenn Sie an einem Objekt konservativ arbeiten, entspricht die Arbeit, die Sie leisten, der negativen Änderung der potenziellen Energie$W_c = - \Delta U$. Wenn Sie beispielsweise ein Objekt gegen die Schwerkraft der Erde anheben, wird die Arbeit sein$-mgh$. Die Schwerkraft verrichtet Arbeit an dem Objekt, indem sie es zur Erde zieht, aber da Sie es in die andere Richtung schieben, ist die Arbeit, die Sie an der Kiste verrichten (und daher die Kraft), negativ. Das Feld leistet negative Arbeit, wenn Sie die potenzielle Energie eines Teilchens erhöhen.

Mathematisch ist es genau das$F=\frac{dW}{dx}$, was bedeutet, dass wenn die Arbeit konservativ ist, dann$F=\frac{-dU}{dx}$, seit$W_c = - \Delta U$. Dann$-dU = Fdx$, Also$U = - \int F dx$.

Wir können auch sagen, dass Arbeit negativ ist, wenn Kraft und Verschiebung entgegengesetzt sind, da$W = \vec F \cdot d\vec x = Fdxcos\phi$. Wann$\phi=\pi$, dann$\cos\phi = -1$. Ein konzeptionelles Beispiel dafür ist Reibung. Auf ein Objekt, das eine Ebene hinabgleitet, wirkt kinetische Reibung. Die Reibung ist in der Richtung (die Rampe hinauf) entgegengesetzt zur Bewegung/Verschiebung des Objekts. Wir sagen also, dass die Reibungskraft negative Arbeit leistet.

Es geht darum, Erhaltungsgrößen zu finden oder zu konstruieren.

Wenn ein Objekt unter Kräften steht, ist der KE des Objekts im Allgemeinen keine Konstante mehr. Aber können wir etwas hinzufügen, damit wir wieder eine Erhaltungsgröße haben?

Die Leute haben das mit dem Work-KE-Theorem abgeleitet

$$\Delta KE = \int_{t_i}^{t_f} \textbf{F}_{net} \cdot \textbf{v} dt$$ wo $$\textbf{F}_{net}=\textbf{F}_1+\textbf{F}_2+\cdots$$ ist die auf das Objekt wirkende Nettokraft.

Dann fanden wir das für einige Kraft

$$\int_{t_i}^{t_f} \textbf{F}_{k} \cdot \textbf{v} dt = \int_{\textbf{r}_i}^{\textbf{r}_f} \textbf{F}_{k} \cdot d\textbf{r}$$ die wegunabhängig ist und als konservative Kräfte bezeichnet wird. Kräfte, die diese Eigenschaft nicht erfüllen, heißen nichtkonservative Kräfte.

Also wollen wir diese Begriffe auf die LHS "verschieben" und das haben wir

$$\Delta KE - \int_{\textbf{r}_i}^{\textbf{r}_f} \sum_{conservative} \textbf{F}_{k} \cdot d\textbf{r} = \int_{t_i}^{t_f} \sum_{nonconservative} \textbf{F}_{k} \cdot \textbf{v} dt$$

Wir haben also die Minusseite, weil wir sie auf die andere Seite der Gleichung „verschoben“ haben.

Nun, wenn wir definieren

$$PE_k(\textbf{r}_f)-PE_k(\textbf{r}_i)=-\int_{\textbf{r}_i}^{\textbf{r}_f} \textbf{F}^{conservative}_k\cdot d\textbf{r}$$ dann haben wir $$\Delta KE + PE_1(\textbf{r}_f)-PE_1(\textbf{r}_i) + PE_2(\textbf{r}_f)-PE_2(\textbf{r}_i)+\cdots = \text{Work done by nonconservative forces}$$

Wenn es keine nichtkonservativen Kräfte gibt oder wenn die nichtkonservativen Kräfte keine Arbeit leisten, dann haben wir die Energieerhaltung, wobei die Gesamtenergie als die Summe von KE und PE definiert ist.

Beachten Sie, dass es völlig in Ordnung ist, PE ohne das Minuszeichen zu definieren, wenn Sie akzeptieren können, dass die Gesamtenergie KE - PE ist.

Was Ihre letzte Frage betrifft, können Sie sich vorstellen, dass Sie eine Kraft anwenden, die nur "etwas" größer ist als die konservative Kraft. Dann bewegt sich das Objekt sehr langsam. Wenn es nahe an der endgültigen Position ist, reduzieren Sie Ihre Kraft, sodass sie nur „etwas“ geringer ist als die konservative Kraft, damit das Objekt langsamer wird.

Die potentielle Energie (PE) ist die kinetische Energie (KE), die Sie aus einer Aktion gewinnen könnten , wenn sie stattfinden würde. Die Energie, die Sie in einen Ball stecken, um ihn 10 Fuß nach oben zu bewegen, ist die gleiche Energiemenge, die Sie wieder herausbekommen könnten , wenn Sie ihn zu seinem Ausgangspunkt zurückkehren lassen (unter ähnlichen Bedingungen).

*** Beachten Sie die eingegebenen Wörter und steigen Sie aus . Eine dieser Aktionen wird als negativ und die andere als positiv betrachtet. Es spielt keine Rolle, welche, solange Sie mit Ihren Zeichen konsistent bleiben.

In diesem Beispiel ist die Arbeit, die am Ball geleistet wird, um ihn nach oben zu bewegen, die Menge an Energie, die benötigt wurde, um ihn dorthin zu bringen. Und per Definition ist Arbeit gleich dem Integral der Kraft über den Weg. -> Wenn wir sagen, dass die Energie, die wir in den Ball stecken, positive Arbeit ist, dann ist die Energie, die wir aus dem Ball herausholen können, negative Arbeit.

Oder, anstatt negative Arbeit zu sagen, könnten wir sagen, es ist die Arbeit, die von einer entgegengesetzten Kraft zum Original geleistet wird. Was zum Integral der negativen Kraft führt.

Ich hoffe das hilft!

Edit: Leichte Formulierungsanpassung

Potentielle Energie ist definiert als die Arbeit, die wir an dem System leisten müssen, um es aus einer anderen Ruhekonfiguration in eine bestimmte Ruhekonfiguration zu bringen, in der es keine potentielle Energie hat – dh in der keine Kräfte wirken. Wenn Sie im Sinne dieser Definition denken, wissen Sie, welches Zeichen Sie verwenden müssen und was das Zeichen bedeutet.

Wenn wir also gegen eine abstoßende Kraft drücken müssen – zB um eine +ve elektrische Ladung nahe an eine andere zu bringen – dann die Kraft$F$die wir liefern, ist in der gleichen Richtung wie die Verschiebung$dx$. Die Arbeit, die wir geleistet haben, ist +ve und die potentielle Energie des Systems ist +ve. Wenn die Kraft mit der Entfernung variiert, müssen wir integrieren$F dx$. Hier gibt es kein Minuszeichen. Die potentielle Energie ist +ve.

Im Fall einer Anziehungskraft - zB zwischen 2 Massen oder zwischen +ve und -ve Ladungen - müssen wir jedoch in die entgegengesetzte Richtung der Verschiebung drücken, um zu verhindern, dass die Objekte aneinander stoßen, wie wir es zulassen zu nähern. Nun sind die verrichtete Arbeit und die potentielle Energie -ve. Anstatt dass wir am System arbeiten müssen, hat das System an uns gearbeitet.