Warum ist die Quantenmechanik umkehrbar?

Schon vor dem College lernen wir Studenten also, dass es diese wunderbare alternative Möglichkeit gibt, viele körperliche Probleme in Bezug auf Energien zu betrachten . Aber sie scheinen einige Informationen über das Problem zu verlieren. Ebenso verliert die kinetische Energie Richtungsinformationen. Wenn wir aufs College kommen, erfahren wir, dass nach zwei Menschen tatsächlich Formalismen benannt sind, der Lagrangesche Formalismus von Joseph-Louis Lagrange und der Hamiltonsche Formalismus von William Rowan Hamilton, die diese Energien verwenden, um die Welt zu beschreiben. Sie können alsoVerwenden Sie Energien, um die Welt zu verstehen, wenn Sie die Informationen nur auf andere Weise verfolgen! So belegt zum Beispiel in der Hamilton-Mechanik das System einen Punkt im „Phasenraum“, wo alle Positions- und Impulskomponenten der Teilchen ziemlich genau spezifiziert sind, aber die Gesamtenergiefunktion, der Hamilton-Operator, sagt dem Punkt, wie man sich durch den Phasenraum bewegt Zeit. Alle diese Informationen werden an anderer Stelle durch diese Erfindung des Phasenraums wieder hinzugefügt.

Es scheint eine Eigenschaft dieser Formalismen zu sein, dass sie mit irreversiblen Prozessen wie Energieverlust nicht gut zurechtkommen. Sie sind „umkehrbare“ Theorien der klassischen Mechanik, was bedeutet, dass, wenn Sie die klassische Mechanik mit ihnen beschreiben, wenn Sie alle Impulse in dem Problem umkehren, sich alles zeitlich rückwärts zu bewegen scheint. Wenn ich sage „nicht gut machen“, verstehen Sie mich bitte nicht als „unmöglich“, ich meine nur „kein erstklassiger Bürger“. Um beispielsweise etwas in Kontakt mit einem System zu modellieren, das auf konstanter Temperatur gehalten wird, benötigen Sie ein Phasenraummodell dieses anderen Systems – sagen wir eine Reihe harmonischer Oszillatoren mit zufälligen Phasen und unterschiedlichen Frequenzen, von denen jeder eine durchschnittliche Energiemenge hat diese Temperatur. Sie müssen dann Annäherungen vornehmen und über die Zustände der Oszillatoren mitteln. um diese zeitliche Unumkehrbarkeit und den Informationsverlust aus einer Beschreibung herauszuholen, bei der Informationen naturgemäß niemals verloren gehen können. (Ich meine nicht, dass dies ein physikalisches Detail der Information ist, sondern ein mathematisches Detail ihrer Codierung im Ansatz. Information ist eine Positionskoordinate im Phasenraum, wie verliert man einekoordinieren ? Verändert der Raum die Dimensionalität ? Also muss ich die Informationen selbst wegwerfen, weil die Theorie es nicht tun wird.)

Wir haben es nicht geschafft, die Quantenmechanik mit dem alten Ansatz der Kräfte aufzubauen, bei dem Informationen implizit waren, sodass Irreversibilität einfach zu modellieren war. Lassen Sie mich Ihnen einen kurzen Überblick über die Hamiltonsche Konstruktion, die klassische Quantenmechanik, geben: eine Art, die Welt zu betrachten, bei der wir die Welt mit Matrizen ^[1] anstelle von Zahlen darstellen. Die Matrizenmultiplikation hat die Eigenart, dass$AB\ne BA$im Allgemeinen, so dass die Reihenfolge der Multiplikation normalerweise wichtig ist: Wir verwenden dies, um Dinge wie die Heisenberg-Unschärferelation und dergleichen zu verstehen. Das allgemeine Prinzip ist das

• der Zustand der Welt ist ein komplexer Spaltenvektor ^[2] , den wir nennen$|\psi\rangle$
• es entspricht einem komplex-konjugierten Zeilenvektor, den wir nennen$\langle \psi|$
• wir sagen nur Durchschnittswerte von Messungen voraus, und wir sagen sie voraus, indem wir dieser messbaren Größe eine Matrix zuordnen$M$
• Was wir in unseren Experimenten tatsächlich beobachten, die „Quanten“ oder mysteriösen ganzen Zahlen, sind einige diskrete Zahlen, die die Matrix charakterisieren, die ihre Eigenwerte genannt werden
• und der Durchschnitt, den wir für diese Messung vorhersagen$\langle M \rangle$im Staat$|\psi\rangle$ist dann durch die Matrixmultiplikation gegeben, $$\langle M \rangle = \langle \psi|M|\psi \rangle.$$

Diese letzte Operation hinterlässt auf der rechten Seite eine 1x1-Matrix, die wir einfach als Zahl interpretieren. Um zu gewährleisten, dass es sich um eine reelle Zahl handelt, müssen wir einschränken$M$um eine spezielle Art von Matrix zu sein: Sie muss gleich ihrer "Adjungierten" sein, die ihre Matrix-Transponierte mit allen komplex-konjugierten Elementen ist. Wir nennen diese Matrizen "hermitische" Matrizen, und der entscheidende Punkt ist, dass sie alle schlechten imaginären Zahlen für alle unsere Vorhersagen über Durchschnittswerte verschwinden lassen, was gut ist, weil die meisten Zahlen, mit denen wir es in dieser Welt zu tun haben, nicht komplex sind Zahlen.

Eine wirklich schöne Sache an diesem Formalismus ist also, dass diese Eigenwerte mit entsprechenden Eigenzuständen einhergehen , was ein Zustand ist, in dem es absolut keine Unsicherheit gibt, das System hat genau diesen und den gemessenen Wert. Ich könnte daher einen gegebenen Vektor sowohl anhand seiner Komponenten gemäß dem Impulsoperator als auch dem Positionsoperator verstehen, und jeder Satz von Eigenzustandskomponenten könnte verwendet werden, um denselben Vektor wieder aufzubauen.

Die Schlüsselfrage, die Sie gestellt haben, lautet: Was passiert im Laufe der Zeit? Die Antwort ist, dass wir der Einstein-Planck-Gleichung nachjagen, dass die Energie eines Photons proportional zu seiner Frequenz gegeben ist$f$durch eine Konstante$\hbar$als:

$$E = 2\pi~\hbar~f.$$ Und wir tun dies so, wie es der Formalismus vorschreibt, die Gesamtenergie wird durch eine hermitische Matrix gegeben, die wir nennen$H$, für den "Hamiltonian" des Systems. Dies hat eine Reihe von Eigenwerten$E_n$mit Eigenzuständen$|n\rangle$. Und wir bauen Ihren physikalischen Zustand aus diesen Eigenzuständen auf, $$|\psi\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} \psi_n |n\rangle$$ und schließlich lassen wir sie mit der gegebenen Frequenz um den Raum der komplexen Zahlen rotieren, $$|n\rangle\mapsto e^{-iE_nt/\hbar} |n\rangle.$$ Einmal beschreiben wir die Exponentialfunktion der Matrix$\exp$wir können sehen, dass dies darauf hinausläuft, das zu sagen $$|\psi(t)\rangle= \exp\left({-i~H~t\over\hbar}\right) |\psi_0\rangle$$ die auch über die berühmte Schrödinger-Gleichung beschrieben werden kann, $$i\hbar \frac{\mathrm d\vphantom{t}}{\mathrm d t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle.$$ Was wir meinen, wenn wir sagen, dass die Physik vollständig reversibel ist, ist, dass der obige Ausdruck für$|\psi(t + \delta t)\rangle$verliert keine Informationen: Es kann nicht die gleiche Ausgabe bei zwei unterschiedlichen Eingaben erzeugen$|\psi(t)\rangle$Bedingungen. Normalerweise gibt es immer einen anderen Hamiltonian$H\mapsto -H$, wodurch jede Zeitentwicklung rückgängig gemacht wird, die Sie ursprünglich durchgeführt haben. Auf diesen Operator bezieht sich insbesondere der Begriff "einheitlich".$\exp\left({-i~H~t\over\hbar}\right)$die nicht nur umkehrbar ist, sondern ihre Inverse ist auch ihre konjugierte Transponierte.

Es gibt einen Aspekt, der nicht so „einheitlich“ ist, und es ist der nicht gut verstandene Prozess, bei dem wir eigentlich nicht die Mittelwerte, sondern die Eigenwerte sehen, was manchmal als „Wellenfunktionskollaps“ oder einfach als „Messproblem“ bezeichnet wird “, und zB die Viele-Welten-Interpretation für die Quantenmechanik versucht sehr streng, alles einheitlich zu machen, einschließlich dieses Messprozesses, indem diese anderen „Welten“ erfunden werden, um die verlorenen Informationen zu halten.

Es gibt auch eine geringfügige Weiterentwicklung des obigen Formalismus, der den Informationsverlust besser darstellt, und dies wird stattdessen als Zustandsmatrix-Formalismus oder „Dichtematrizen“ oder so bezeichnet$\langle \psi|M|\psi\rangle$du hast$\operatorname{Tr}(\rho~M)$und anstelle der Schrödinger-Gleichung haben Sie die Lindblad-Gleichung,

$$i\hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = H\rho-\rho H +\sum_{k=1}^N \left( A_k \rho A_k^\dagger -\frac12 A_k^\dagger A_k \rho - \frac12 \rho A_k^\dagger A_k \right)$$ was sich auf die Schrödinger-Gleichung reduziert, wenn diese Abweichungen vorliegen$A_k=0$, und die als kontinuierliche Messung (die obige nichteinheitliche Operation) interpretiert werden kann, die auf ein größeres System angewendet wird, das dann ignoriert wird. Das ist also eine Quantenmechanik, die diese einheitliche umkehrbare Dynamik nicht mehr hat.

1. Technisch gesehen sind die "Matrizen", von denen ich spreche, häufiger Differentialoperatoren mit ähnlichen Eigenschaften wie Matrizen; manchmal sind sie unendlichdimensional.
2. Wenn die „Matrix“ ein Differentialoperator ist, dann ist der „Vektor“ wiederum eine Funktion.