Warum ist die Stringtheorie auf ihrem Weltblatt eine zweidimensionale (konforme) Quantenfeldtheorie?

Ja, man kann die gewöhnliche Quantenmechanik basierend auf punktförmigen Teilchen diskutieren, indem man die auf der Weltlinie definierte 0+1-dimensionale Quantenfeldtheorie (dh Quantenmechanik) verwendet. So beginnen tatsächlich mehrere Lehrbücher der Stringtheorie, einschließlich Polchinskis Lehrbuch.

Die Funktionen des Grüns$G(x,y)$können als traditionelle "Feynman-Summe über alle Weltlinien" berechnet werden und werden auf die Übergangsamplitude abgebildet, damit das Teilchen von einem Punkt zum anderen gelangt. Damit die punktförmigen Teilchen jedoch wie in einer QFT interagieren, benötigt man einzelne Weltlinien mit Knotenpunkten – die genauso aussehen wie die Knoten in Feynman-Diagrammen oder den ganzen Diagrammen. Es ist kein Zufall: Die Feynman-Diagramme beschreiben die Topologie der Weltlinien in den relevanten Geschichten, in denen die punktförmigen Teilchen verschmelzen und sich aufspalten!

Ein Vorteil der Stringtheorie und ein Grund, warum sie letztendlich UV-endlich ist, besteht darin, dass die Weltblätter glatt und nicht singulär sind, selbst wenn die Wechselwirkungen der Teilchen (Strings) zulässig sind, dh wenn sich die Strings verbinden und teilen.

Das Weltblatt Momentum entlang der$\sigma$Richtung des Weltblattes ist bekannt als$L_0-\tilde L_0$, und dieser Operator verschwindet. Nur Zustände, deren Eigenwert unter diesem Operator Null ist, sind physikalische Zustände einer Zeichenkette (es gibt zusätzliche Bedingungen).

Es gibt einen einfachen Grund, warum das Momentum null sein muss. Die Theorie auf dem Weltblatt ist eine 2-dimensionale Gravitationstheorie – wegen der Wahl der Koordinaten$(\sigma,\tau)$auf dem Weltblatt ist und muss unphysikalisch sein (Diffeomorphismus-Symmetrie). Und wie in anderen Gravitationstheorien kann man so etwas wie Einsteins Gleichungen ableiten. In$d=2$Dimensionen, der Einstein-Tensor$R_{ab}-Rg_{ab}/2$ist identisch gleich Null, also reduzieren sich Einsteins Gleichungen auf

$$T_{ab} = 0$$ was auch impliziert, dass die Impulsdichte $T_{++},T_{--}$und auch der Gesamtimpuls muss unter anderem verschwinden.

In Anlehnung an „diskrete Erregungen der Saite“, die Bedingung$L_0-\tilde L_0=0$denn das Verschwinden des Gesamtimpulses wird auf die Bedingung übersetzt, dass die "Gesamtanregung der linkslaufenden Quanten" die gleiche ist wie für die "rechtslaufenden Quanten" für einen geschlossenen String (in dieser Gleichung können additive Verschiebungen auftreten aufgrund der Summe aller ganzen Zahlen usw.). Für offene Saiten existiert die entsprechende Bedingung nicht, da die Translationssymmetrie entlang der$\sigma$Die Richtung des Weltblatts wird durch die Endpunkte des offenen Strings explizit unterbrochen.

Eine allgemeine Theorie der Einstein-ähnlichen Gravitation wäre auf der Quantenebene aufgrund verschiedener Divergenzen immer schlecht definiert. Die Weltblatttheorie, die die Störungsstringtheorie beschreibt, ist eine spezielle 1+1-dimensionale Theorie der Quantengravitation, die dieses Problem vermeidet, weil sie überhaupt keine physikalischen Freiheitsgrade des metrischen Tensorfeldes enthält. Das liegt an den drei Komponenten des metrischen Tensors$h_{\tau\tau},h_{\tau\sigma},h_{\sigma\sigma}$kann durch 3 Parameter, die Funktionen von sind, lokal auf vorbestimmte nicht singuläre Werte gesetzt werden$\sigma,\tau$ebenfalls, nämlich durch zwei Parameter für einen Diffeomorphismus und einen Parameter für die Weyl-Skalierung (für jeden Punkt unterschiedlich). Deshalb ist die Weyl-Symmetrie für die Konsistenz der Stringtheorie im Raumzeit-Lorentz-kovarianten Formalismus notwendig. Die konforme Symmetrie ist die Restsymmetrie, die vom Diffeomorphismus und der Weyl-Symmetrie übrig bleibt, selbst nachdem wir eine privilegierte Form der Weltblattmetrik festgesetzt haben. Konforme Transformationen sind diejenigen, die die Winkel beibehalten, dh die Metrik bis zu einer Weyl-Skalierung beibehalten (was auch getan werden kann, weil es eine Symmetrie ist).