Warum ist die von einem Raketentriebwerk geleistete Arbeit bei höheren Geschwindigkeiten größer? [Duplikat]

Der entscheidende Punkt dieser Frage ist, dass es intuitiv so aussieht, als würde die Energieerhaltung nicht richtig funktionieren. Eine Rakete wird durch eine chemische Reaktion angetrieben, die chemische Energie mit konstanter Geschwindigkeit freisetzt. Wie kann also eine konstante Geschwindigkeit der Energiefreisetzung zu einem stärkeren Anstieg von KE führen, wenn man schnell fährt?

Um dies zu verstehen, ist es hilfreich, sich eine „Spielzeugmodell“-Rakete vorzustellen, die nach denselben Prinzipien funktioniert, aber einfacher zu analysieren ist. Betrachten wir konkret eine 10-kg-Kugel (Rakete) und eine 1-kg-Kugel (Auspuff), die an einer masselosen Feder (Treibstoff) befestigt ist.

Angenommen, diese Feder hat genug Energie gespeichert, dass die Rakete, wenn sie anfänglich in Ruhe ist, sie auf 1 m/s antreiben kann, und durch Impulserhaltung wird der Auspuff auf -10 m/s getrieben. Umgekehrt, wenn die Rakete mit 5 m/s startet, wird die Rakete nach dem „Verbrennen“ des Treibstoffs mit 6 m/s angetrieben und der Auspuff bewegt sich mit -5 m/s.

Lassen Sie uns nun die Energie überprüfen. Im ersten Fall stieg der KE der Rakete von 0 J auf 5 J, im zweiten Fall von 125 J auf 180 J. Die Feder speichert in beiden Fällen gleich viel Energie, warum also steigt der KE um 5 J bei niedriger Drehzahl und um 55 J bei hoher Drehzahl?

Beachten Sie, dass wir vergessen haben, die Energie zu berechnen, die in den Auspuff geflossen ist. Dies ist der zentrale Fehler der meisten dieser Analysen. Im ersten Fall stieg der KE des Auspuffs von 0 J auf 50 J, während im zweiten Fall der KE vorher und nachher 12,5 J betrug. In beiden Fällen betrug die Gesamtänderung von KE (sowohl der Rakete als auch des Auspuffs) 55 J.

Bei niedrigen Geschwindigkeiten wird die meiste Energie des Kraftstoffs im KE des Auspuffs „verschwendet“. Bei höheren Geschwindigkeiten geht mehr in die Rakete und weniger in den Auspuff. Bei einer echten Rakete passiert das Gleiche ständig. Sowohl Energie als auch Schwung bleiben erhalten, und tatsächlich wird dem Fahrzeug mehr Leistung zugeführt, wenn die Geschwindigkeit unter konstantem Schub zunimmt.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, dies anzuzeigen.

Am einfachsten ist es meiner Meinung nach, dass die kinetische Energie mit dem Quadrat der Geschwindigkeit skaliert

$$K=\frac 12 m v^2$$

Wenn wir davon ausgehen, dass der Raketen-Booster eine konstante Beschleunigung liefert, dann finden wir das beim Vergleich von Anfangs- und Endgeschwindigkeit

$$\Delta v=v_\text{final}-v_\text{init}=at$$

Für die gleiche Zeitdauer ist die Geschwindigkeitsänderung also gleich, unabhängig davon, wie hoch die Startgeschwindigkeit tatsächlich ist. Da wir eine quadratische Abhängigkeit von der Geschwindigkeit in haben$K$, das bedeutet, dass die kinetische Energie stärker zunimmt, wenn wir mit einer größeren Geschwindigkeit beginnen. dh

$$\Delta K=\frac 12 m v_\text{final}^2-\frac 12 m v_\text{init}^2=\frac 12 m (v_\text{final}-v_\text{init})(v_\text{final}+v_\text{init})=\frac 12 m\, \Delta v (\Delta v+2v_\text{init})$$

Wie wir sehen können, ist die Summe der Geschwindigkeiten im Ausdruck for$\Delta K$trägt zu einer größeren Änderung der kinetischen Energie bei. Da die geleistete Arbeit gleich der Änderung der kinetischen Energie ist, muss es sein, dass die Rakete mehr Arbeit leistet, wenn wir mit einer größeren Geschwindigkeit starten.

Die zweite Möglichkeit, dies zu sehen, und die man argumentieren könnte, ist die gleiche wie die erste, besteht darin, die Definition von Arbeit zu betrachten

$$W=\int\vec F \cdot \mathrm d\vec x$$

Oder in einer Dimension mit konstanter Kraft

$$W=F\,\Delta x$$

Nun, wenn wir wieder von einer konstanten Beschleunigung ausgehen, wissen wir das

$$\Delta x = \frac 12 a t^2 + v_\text{init}t$$

Damit die Arbeit erledigt ist

$$W=F\left(\frac 12 a t^2 + v_\text{init}t\right)$$

Wieder einmal sehen wir, dass die Anfangsgeschwindigkeit die Arbeit bestimmt. Eine qualitative Erklärung daraus ist, dass das Objekt bei größerer Geschwindigkeit in der gleichen Zeit mehr Strecke zurücklegt. Wenn wir uns also die Zeit ansehen, zu der die Kraft ausgeübt wird, je schneller sie sich bewegt, desto größer ist die Distanz, über die die Kraft ausgeübt wird. Daher erledigen wir mehr Arbeit, wenn sich das Objekt anfänglich schneller bewegt.

Das vermeintliche Problem hinter all dem ist, dass es so aussieht, als ob wir mehr Energie bekommen, wenn wir die gleiche Kraft für die gleiche Zeit anwenden. Aber wenn Sie es durcharbeiten, stellen Sie fest, dass dies überhaupt kein Problem darstellt. Dies gilt sogar für Objekte, die in die Nähe der Erdoberfläche fallen. Obwohl die Kraft konstant ist, verrichtet die Schwerkraft immer mehr Arbeit an dem Objekt, während es fällt. Oder mit anderen Worten, die Rate der Energieumwandlung von potentieller in kinetische Energie nimmt zu, wenn das Objekt fällt.

In beiden Fällen (stationär und schnell fliegend) ist die Änderung der gesamten kinetischen Energie des Raketen-Treibstoff-Systems gleich der chemischen Energie, die während einer einsekündigen Verbrennung freigesetzt wird. Wenn die Rakete stationär war, geht das Treibmittel von der Ruhe in die Rückwärtsbewegung über, wodurch seine kinetische Energie erhöht wird. Wenn die Rakete (sehr) schnell geflogen ist, bewegt sich das Treibmittel von einer schnellen Vorwärtsbewegung (mit der Rakete) zu einer langsameren Vorwärtsbewegung (Hinterherhinken), wodurch seine kinetische Energie verringert wird. Dies reicht aus, um qualitativ zu verstehen, warum die kinetische Energie der Rakete im zweiten Fall stärker ansteigt.

Die beiden Fälle sind durch eine Galilei-Transformation (Wahl eines sich gleichmäßig bewegenden Bezugsrahmens) miteinander verbunden. Die Konsistenz wird durch die Tatsache sichergestellt, dass für jedes isolierte System (wie die Rakete + Treibmittel) die Änderung der gesamten kinetischen Energie zwischen einem Zeitpunkt und einem anderen eine Galilei-Invariante ist (die gleiche in jedem sich gleichmäßig bewegenden Referenzrahmen).