Warum ist die Winkelgeschwindigkeit eine Vektorgröße? [Duplikat]

In drei Dimensionen kann jede Drehung als Winkelverschiebung um eine Achse ausgedrückt werden. Die Winkelgeschwindigkeit eines Festkörpers ist dann definiert als der Vektor, der entlang der (momentanen) Rotationsachse zeigt und dessen Betrag gleich der (momentanen) Geschwindigkeit der Winkelverschiebung um diese Achse ist.

In 2D brauchen wir nur$1$Parameter, um eine Drehung eindeutig zu spezifizieren, und so können wir Winkelverschiebung und Winkelgeschwindigkeit als skalare Größen behandeln.

In jeder anderen Anzahl von Dimensionen stoßen wir auf Probleme. Der Grund dafür ist, dass Drehungen in der Regel nicht um eine Achse , sondern in einer Ebene stattfinden . In drei Dimensionen wird eine Ebene durch den Ursprung eindeutig durch eine einzelne, senkrechte Achse bestimmt, während in zwei Dimensionen nur eine nennenswerte Ebene vorhanden ist. In höheren Dimensionen werden die Dinge komplizierter.

Eine Rotationsmatrix in$n$Dimensionen ist eine orthogonale Matrix mit Determinante$+1$- mit anderen Worten, ein Element von$SO(n)$. Die Dimensionalität von$SO(n)$Ist$\frac{n(n-1)}{2}$, was der Anzahl von Parametern entspricht, die benötigt werden, um eine Rotation vollständig zu spezifizieren. Wenn$n=3$, das entspricht$3$Parameter, was bedeutet, dass wir eine bestimmte Drehung mit einem eindeutigen 3D-Vektor verknüpfen können. Wenn$n=2$, das entspricht$1$Parameter, also brauchen wir nur einen Skalar. Allerdings wann$n=4$, eine Rotation benötigt$6$Parameter vollständig bestimmt werden müssen, sodass weder ein Skalar noch ein 4D-Vektor ausreichen, um die Aufgabe zu erledigen.